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第四章 根轨迹法. 4-1 根轨迹与根轨迹方程 4-2 绘制根轨迹的基本法则 4-3 控制系统的根轨迹分析 4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹. 4-1 根轨迹与根轨迹方程. 一、根轨迹的基本概念. 所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在 s 平面上移动的轨迹. 例 4-1. 解为两实根；. 解为两实重根. 解为一对共轭复根. 幅值 条件. 相角条件（ k=…-2,-1,1,2… ）. 二、根轨迹方程. 根轨迹方程. m 个零点 n 个极点 （ n m ）. 必要条件. 充要条件. - PowerPoint PPT Presentation
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第四章 根轨迹法
4-1 根轨迹与根轨迹方程
4-2 绘制根轨迹的基本法则
4-3 控制系统的根轨迹分析
4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-1 根轨迹与根轨迹方程
一、根轨迹的基本概念
所谓根轨迹就是指当系统中某个参量由零到无穷大变化时，其闭环特征根（极点）在 s平面上移动的轨迹
例 4-1
解为两实根；
解为两实重根
解为一对共轭复根
K
2
(0.5 1) 2
K KG s
s s s s
B 2
2( )
2 2
Y s KG s
R s s s K
2( ) 2 2D s s s K 1,2 1 1 2s K
1 20 0 ; 2K s s
1 20.5 1 ; 1K s s
1 21 1 j ; 1 jK s s
R s Y s 0.5 1
K
s s
ωj
0K 0.5K 0K
2 0
1K
1K
二、根轨迹方程
必要条件 充要条件
m 个零点n个极点（ nm ）
( ) 1 ( ) ( ) 0D s G s H s
( ) ( ) 1G s H s
* 1
1
( )( ) ( ) 1
( )
m
iin
jj
s zG s H s K
s p
幅值
条件
* 1
1
1
m
iin
jj
s zK
s p
相角条件（ k=…-2,-1,1,2… ）
1 1
( ) ( ) (2 1)m n
i ii i
s z s p k
根轨迹方程
例 4-2 已知系统开环传递函数
其开环零、极点如图所示，求取系统闭环根轨迹。
根轨迹的绘制过程为：（ 1）寻找平面上所有满足相角条件的 s； （ 2）利用幅值条件确定各点的 K*值。
*1
2 3
( )( ) ( )
( )( )
K s zG s H s
s s p s p
1 1 1 1 2 1 3 2 1s z s s p s p k
1 1 2 1 3*
1 1
s s p s pK
s z
°1p
2p
3p
j
1z 0
1s
1z1p
2p
3p
设控制系统的开环传递函数为
* 1
1
( )( ) ( )
( )
m
iin
jj
s zG s H s K
s p
*
1 m
1 2 n
( ) ( )
( )( ) ( )
LL
K s z s z
s p s p s p
2 ）“×”、 “〇”3）加粗线及箭头
1）实轴、虚轴相同的刻度
4）关键点的标注
！绘制注意点
4-2 绘制根轨迹的基本法则j
0
0K
° 13
1
56
5.53
1
1.3535, K
1.3535, K
K
K
0K
1. 根轨迹的起点和终点2. 根轨迹分支数3. 根轨迹的对称性
5. 实轴上的根轨迹
4. 根轨迹的渐近线
7. 根轨迹的分离点和会合点
6. 根轨迹的起始角和终止角
8. 根轨迹与虚轴的交点9. 根之和
绘制根轨迹的基本法则
1. 根轨迹的起点和终点根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点
幅值条件 1*
1
n
jj
m
ii
s p
Ks z
＝
s 值必须趋近于开环极点 根轨迹起始于开环极点* 0K
s 值必须趋近于开环零点 根轨迹终止于开环零点
'K
2. 根轨迹的分支数
n 阶系统根轨迹有 n个分支
3. 根轨迹的对称性
根轨迹各分支连续且关于实轴对称
4. 根轨迹的渐近线渐近线与实轴的倾角：
渐近线与实轴的交点：
例 4-2 求下面闭环特征方程式根轨迹的渐近线
解：(2 1)
a
k
n m
0 , 1 , 2k
1 1a
n m
j ij i
p z
n m
21( 4)( 2 2) ( 1) 0s s s s K s
12
( 1)
( 4)( 2 2)
K sG s H s
s s s s
0
j
3
5 14
5. 实轴上的根轨迹实轴上某段区域右边的实数零点和实数极点总数为奇数时， 这段区域必为根轨迹的一部分
6. 根轨迹的起始角和终止角起始角：始于开环极点的根轨迹，在起 点处的切线与水平线的正方向夹角
终止角：止于开环零点的根轨迹，在终点处的切线与水平线的正方向夹角
1p 1 1
1 2
)
(2 1)
m n
i ji j
p z p p
k
1z 1 1
1 2
(2 1)
n m
j ij i
z p z z
k
例 4-3 已知系统开环传递函数为
求闭环系统大致根轨迹
K
( 1.5)( 2 j)( 2 j)( )
( 2.5)( 0.5 1.5j)( 0.5 1.5j)
K s s sG s
s s s s
2
3 4
p 2 21 1 2
o
)
(2 1) 79
i ji j j
p z p p
k
，
2
4
z 21
3
21, 2
o
(2 1)
149.5
jj
ii i
z p
z z
k
j
1p
2p
3p
4p
2z
3z
°
°
° 0
7. 根轨迹的分离点和会合点 分离点（或会合点）：根轨迹在 S平面某一点相遇后又立即分开。
根轨迹上的分离点和会合点是与特征方程式的重根相对应的。
分离点 会合点
分离点（或会合点） d坐标值的求取方法 :
检验：当解得多个 s值时，其中 k*值为正实数时或 s是根轨迹上的点才有效。
1、 d坐标值由方程解出
3 、由极值点求解 d
2 、重根法求解 d1 1
1 1n m
j ij id p d z
( ) ( ) ( ) ( ) 0A s B s A s B s
( ) ( ) ( ) 0f s A s K B s
坐标值由 解出 d d0
d
K
s
例 4-4 ：已知 3 2( ) 3 2 0D s s s s K ，试求系统闭环根轨迹的分离点坐标值
方法 1:解方程法
( )( 1)( 2)
KG s
s s s
3
1
1 1 1 10
1 2j js p s s s
（舍去） 1 20.423 , 1.57s s
开环传递函数
方法 2:重根法
'( ) 1, ( ) 0B s B s 3 2( ) 3 2A s s s s
' 2( ) 3 6 2A s s s
( ) ( ) ( ) ( ) 0A s B s A s B s
（舍去） 1 20.423 , 1.57s s
方法 3:极值法 d0
d
K
s
3 23 2K s s s 2d
3 6 2 0d
Ks s
s
1 20.42, 1.57s s （舍去）
8. 根轨迹与虚轴的交点
s j
1 ( ) ( ) 0G j H j
Re 1 ( ) ( ) 0
Im 1 ( ) ( ) 0
G j H j
G j H j
代入特征方程
联立求解，根轨迹与虚轴的交点ω值和相应的临界 K值。
9. 根之和当 ≥ 2时 n m
开环极点之和等于闭环极点之和
1 1
m n
i ji j
s p
根之和不变 K’增大，一些根轨迹分支向左移动，则一定会相应有另外一些根轨迹分支向右移动。
（ 2）劳斯法
（ 1 ）
例 4-5 已知系统的特征方程为
试利用基本法则绘制根轨迹。
解：由“ golden rule”得
j
0
0K
° 13
1
56
5.53
1
1.3535, K
1.3535, K
K
K
0K
4-3 控制系统的根轨迹分析系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系
利用根轨迹分析控制系统的性能
开环零点和极点对根轨迹的影响增加开环极点的影响 增加一个惯性环节
增加开环零点的影响 加入一阶微分环节
系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系
系统闭环主导极点与偶极子
系统闭环零、极点分布与阶跃响应的定性关系 设 n阶系统闭环传递函数为
11 m m-1 1 0
B 1n n-1 1 0
1
( )( )
( )
m
m miin n n
jj
K s zb s b s b s bY s
G sR s a s a s a s a
s s
单位阶跃响应为
01
( ) e k
ns t
kk
y t A A
1
1
1( )
m
iin
jj
K s zY s
ss s
1 1
0 B
1 10
(0)
m m
i ii in n
j jj js
K s z K zA G
s s s
k1 1
k
k kk 1 k
1
k
m m
i ii in n
j jj js s j
K s z K s zA
ss s s s s
若 GB(s)无重极点
0 01 n
11 n
nk
k k
A A AA A
s s s s s s s s
(2) 要远离虚轴，且分布在 线附近；45js
单位阶跃响应为 01
( ) e k
ns t
kk
y t A A
1 1
0 B
1 10
(0)
m m
i ii in n
j jj js
K s z K zA G
s s s
k1 1
k
k kk 1 k
1
k
m m
i ii in n
j jj js s j
K s z K s zA
ss s s s s
定性关系
(1) 各闭环极点 ， j=1,2,…,n ; Re 0js
(3) 闭环极点间距大，闭环零、极点间距小。
1. 闭环主导极点
离虚轴最近的闭环极点，称为闭环主导极点。
2.偶极子
当一对闭环零、极点相距很近时，它们就构成偶极子。
系统闭环主导极点与偶极子
增加开环极点的影响
增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响
增加零点对根轨迹形状的影响
例 1 分析 K的变化对系统稳定性的影响
利用根轨迹分析控制系统的性能
系统稳定的 K的范围为 :
0<K<35
2
( 3)( ) ( )
( 5)( 6)( 2 2)
K sG s H s
s s s s s
例 2 分析 K的变化对系统的影响设负反馈系统的开环传递函数为
求系统闭环根轨迹，并分析 时系统的动态性能。
解 :
（ 1）当 0<K<0.686 时，闭环有两 实极点，响应为非周期的；（ 2）当 0.686 <K<23.4 时，阶跃响 应为振荡衰减过程；（ 3）当 K>23.4 时，阶跃响应又同（ 1
） 但动态过渡过程较快些。
( ) ( )
K s zG s H s z p
s s p
2, 4p z
2 11.7, 23.4K K
1 10.34, 2 0.686K K K
例 2 单位反馈系统的传递函数为
试绘出系统的闭环根轨迹，并分析其性能。
2( ) ( )10
KG s H s
s s
解 :
（ 1）绘出根轨迹，分析系统稳定性；（ 2）估算 时的 K值。
例 3 单位反馈系统如图所示，
% 16.3%
解 : 21% e 100% 16.3%n
0.5
0.5
1s
1,2 0.73 j1.27s
40.73 j1.27 2 10.41K
10.41 16 0.65K
例 4 已知某系统闭环传递函数
试计算 时的 和
B 2
1( )
0.67 1 0.01 0.08 1G s
s s s
解 : 该闭环系统有三个极点 :
1 2,31.5, 4 j9.2s s
B
1( )
0.67 1G s
s
% 1r t st
% 0 3 3 0.67 2st T
该闭环系统有三个极点 :
1 2,31.5, 4 j9.2s s
例 5 已知某系统闭环传递函数
试计算 时的 和
B 2
0.59 1( )
0.67 1 0.01 0.08 1
sG s
s s s
% 1r t st
% 25% n3.5 0.9st
解 :
一个零点 1.7z
B 2 2
1 100( )
0.01 0.08 1 8 100G s
s s s s
4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
系统特征方程的形式为 1-G(s)H(s)=0,
此时因为其相角遵循条件：
零度根轨迹与 180根轨迹的区别体现在：1. 实轴上的根轨迹；2. 渐近线与实轴的夹角；
3. 出射角与终止角。
零度根轨迹
( 其右方开环实数零、极点个数之和为偶数 )
*
1 2
1
( )
1 ( 0, 1, 2, )( )
m
jj kn
ii
K s z
e ks p
a
20, 1, 2
kk
n m
1p 1 1
1 2
2m n
i ji j
k p z p p
1z 1 1
1 2
2n m
j ij i
k z p z z
非最小相位根轨迹
若控制系统具有位于 s右半平面的开环零、极点，则称该系统为非最小相位系统 。
绘制规则 :
（ 1）对于负反馈系统——按前述一般规则绘制；（ 2）对于正反馈系统——按前述零度根轨迹规则绘制。
本章小结本章小结
4-3 控制系统的根轨迹分析系统闭环零、极点分布与阶跃响应的关系
利用根轨迹分析控制系统的性能 开环零点和极点对根轨迹的影响
4-1 根轨迹与根轨迹方程
零度根轨迹非最小相位根轨迹
4-4 零度根轨迹与非最小相位根轨迹
4-2 绘制根轨迹的基本法则
