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第十一章 电路的频率响应. 11.0 内容提要. 目录 11.1 网络函数 11.2 RLC 串联电路的谐振 11.3 RLC 串联电路的频率响应 11.4 RLC 并联谐振电路 11.5 波特图（略） 11.6 滤波器简介（略）. 11.1 网络函数. 为什么要研究网络函数（频率特性） 当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。 频率特性 电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，称为电路和系统的频率特性，又称频率响应. - PowerPoint PPT Presentation
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第十一章 电路的频率响应第十一章 电路的频率响应
11.0 内容提要
• 目录– 11.1 网络函数– 11.2 RLC 串联电路的谐振– 11.3 RLC 串联电路的频率响应– 11.4 RLC 并联谐振电路– 11.5 波特图（略）– 11.6 滤波器简介（略）
11.1 网络函数
• 为什么要研究网络函数（频率特性）– 当电路中激励源的频率变化时，电路中的感抗、
容抗将跟随频率变化，从而导致电路的工作状态亦跟随频率变化。因此，分析研究电路和系统的频率特性就显得格外重要。
• 频率特性– 电路和系统的工作状态跟随频率而变化的现象，
称为电路和系统的频率特性，又称频率响应
11.1 网络函数
• 网络函数– 在线性正弦稳态网络中，当只有一个独立激励源
作用（单输入）时，网络中某一处的电压或电流响应（单输出）与网络输入之比，称为该响应的网络函数。（ P279 ）
– 驱动点函数– 转移函数（传递函数）
def ( j )( j )
( j )
k
sj
RH
E
11.1 网络函数• 驱动点函数 k=j
– 激励是电流源，响应是电压
– 激励是电压源，响应是电流
• 转移函数（传递函数） k!=j
线性网络
( j )I ( j )U
( j )( j )
( j )
UH
I
驱动点阻抗
( j )( j )
( j )
IH
U
驱动点导纳
11.1 网络函数
1( j )U 线性网络 2 ( j )U
1( j )I 2 ( j )I
2
1
( j )( j )
( j )
IH
U
激励是电压源激励是电压源
转移导纳
2
1
( j )( j )
( j )
UH
U
转移电压比
激励是电流源激励是电流源2
1
( j )( j )
( j )
UH
I
转移阻抗
2
1
( j )( j )
( j )
IH
I
转移电流比
11.1 网络函数
• 注意（ P280 ）：– H(j) 与网络的结构、参数值有关，与输入、输出变量的
类型以及端口对的相互位置有关，与输入、输出幅值无关。因此网络函数是网络性质的一种体现。
– H(j) 是一个复数，它的频率特性分为两个部分：•幅频特性•相频特性
– 网络函数可以用相量法中任一分析求解方法获得。– 以网络函数中 jω 的最高次方的次数定义网络函数的阶数。– 由网络函数能求得网络在任意正弦输入时的端口正弦响应
| (j ) |~H (j ) ~
( j )( j )
( j )
RH
E
( j ) ( j ) ( j )R H E
11.2 RLC 串联电路的谐振
• 谐振 (resonance) 是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，谐振现象在无线电和电工技术中得到广泛应用，对电路中谐振现象的研究有重要的实际意义。
• 谐振的定义：– 含有 R、 L、 C 的一端口电路，在特定条件下出现端口电
压、电流同相位的现象时，称电路发生了谐振。
RLC电路U
I
UZ R
I
发生发生谐振谐振
11.2 RLC 串联电路的谐振
• 串联谐振的条件I
R
j L+
_1
j C
U
1( j ) ( ) ( )L CZ R j L R j X XC
00
01
L CX X LC
谐振谐振条件条件
0
0
1
1
2
LC
fLC
谐振角频率
谐振频率
• 实现谐振的方式– （ 1 ）电源频率不变，改变 L 或 C
– （ 2 ） L C 不变，改变 0 由电路本身的结构参数决定，一个 R L C 串
联电路只能有一个对应的 0 , 当外加频率等于谐振频率（固有频率）时，电路发生谐振。
11.2 RLC 串联电路的谐振
I
R
j L
+
_
1
j C
U
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
1j( ) | ( ) | ( )Z R L Z ω ωC
2 2 2 2 2 21| ( ) | ( ) ( )L CZ ω R L R X X R XC
1 1 1
1( ) tg tg tgL C
ωL X XωC XωR R R
幅频幅频特性特性
相频相频特性特性
( )
0 o
–/2
/2
X( )
|Z( )| XL( )
XC( )
R 0
X ( )
O
2 2
2 2 2 2
1| ( ) | ( )
( )L C
Z ω R LC
R X X R X
Z(jZ(jωω)) 频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：频响曲线表明阻抗特性可分三个区域描述：容性区容性区 感性区感性区电阻性电阻性
0 ω ( j ) 0 (j ) 0X ω
Z( j )R
0lim Z( j )
0ω
( j ) 0 (j ) 0X ω
0Z( j ) R
0 ω ( j ) 0 (j ) 0X ω
Z( j )R
lim Z( j )
11.2 RLC 串联电路的谐振
• RLC 串联电路谐振时的特点– （ 1 ） 与 同相。入端阻抗 Z 为纯电阻，即
Z=R 。电路中阻抗值 |Z| 最小。电流 I 达到最大值 I0=U/R (U 一定 )。 UR 最大，有功功率最大。
I
R
j L
+
_
1
j C
U
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
X( )
|Z( )| XL( )
XC( )
R 0
X ( )
O
U
I
RR 是唯一控制谐振是唯一控制谐振峰值的元件峰值的元件
11.2 RLC 串联电路的谐振• （ 2） LC 上的电压大小相等，相位相反，串联总电
压为零，也称电压谐振，即 ， LC 相当与短路，电源电压全部加在电阻上
0L CU U
RU U
LU
CU
RU
I
0
0
L CU U
X
I
R
j L
+
_
1
j C
U
+ +
+
_
_
_
RU
LU
CU
11.2 RLC 串联电路的谐振• （ 2） LC 上的电压大小相等，相位相反，串联总电
压为零，也称电压谐振，即 ， LC 相当与短路，电源电压全部加在电阻上
0L CU U
RU U
LU
CU
RU
I
0 0LU
U j L I j L jQUR
0 0
1C
UU j I j jQU
C CR
0
0
1 1L LQ
R CR R C R
品质因数品质因数
1, 1, ,L C L CQ U U U Q U U U 则 则 产生过电压
特性阻抗特性阻抗
11.2 RLC 串联电路的谐振
• （ 3 ）谐振时的功率0 ( ) 0 ：谐振时 cos 1 ＝
2 20 0
1( )
2 m mP UI UI U I RI U R
20 0( )LQ LI 2
00
1( )CQ I
C
0 0 0( ) sin ( ) ( ) 0L CQ UI Q Q +
_ P
Q
L C
R
电源向电路输送电阻消耗的有功功率电源向电路输送电阻消耗的有功功率达到最大。电源不向电路输送无功。达到最大。电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。等，互相补偿，彼此进行能量交换。
11.2 RLC 串联电路的谐振
• （ 4 ）谐振时的能量关系
2 20
1 1
2 2 CW Li Cu
U
以 为参考相量 20 0 2
12 cos 2 sin QC
U Li t u QU t
R CR
2 2 2 2 20 020 cos sin
LU tW CQ U t
R
2 2 2 2 2 20
1 1
2 2m mCQ U CQ U LI LI
2 20
1cos
2L mW LI t 2 20
1sin
2C mW LI t
11.2 RLC 串联电路的谐振
• 几点结论：– 电感和电容能量按正弦规律变化，最大值相等
WLm=WCm。 L、 C 的电场能量和磁场能量作周期振荡性的能量交换，而不与电源进行能量交换。
– 总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。
– Q 是反映谐振回路中电磁振荡程度的量：品质因数越大，总的能量就越大，维持一定量的振荡所消耗的能量愈小， 振荡程度就越剧烈。则振荡电路的“品质”愈好。一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高 Q 值。
20
00 0
00
20
L LIR R
W
IQ
P
11.3 RLC 串联电路的频率响应
• RLC 串联谐振电路的通用谐振曲线– 定义：物理量与频率关系的图形称谐振曲线– 意义：研究谐振曲线可以加深对谐振现象的认识。– 为了突出电路的频率特性，为了方便不同谐振回路
的比较，常分析输出量与输入量之比的频率特性，比值用分贝表示。此时，谐振曲线称为通用谐振曲线。
– 为了比较不同谐振回路，令R
R
S
( j )( j ) ( j )
( j )
UU H
U
0
ωω ηω
11.3 RLC 串联电路的频率响应
• 电阻电压的频率特性
0
0
11 1( ) [1 ( )]
1 1[1 ( )] 1 ( )
11 ( )
Z R j L R j LC CR
LR j LC R jQ
R C LC
R jQ
1( )
11 ( )S
R
RU j I R
U j I ZH j
jQ
11.3 RLC 串联电路的频率响应
• 电阻电压的频率特性 2 2
1| ( ) |
11 ( )
RR
S
UH j
UQ
1( j ) arctan[ ( )]Q
| ( j ) | cos ( j )RH
相频特性相频特性
幅频特性幅频特性
QQ 越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电压具有较强的抑制能力，急剧下降，电路对非谐振频率下的电压具有较强的抑制能力，所以选择性好。因此， 所以选择性好。因此， QQ 是反映谐振电路性质的一个重要指是反映谐振电路性质的一个重要指标。标。
Q=10
Q=1
Q=0.5
1 21
0.707
( )RU η
U
0 '
通用谐振曲线
谐振时电压达到最大；当谐振时电压达到最大；当ωω 偏离偏离 ωω00 时，输出下降；时，输出下降；即串联谐振电路对不同频即串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出，而对对谐振信号最突出，而对远离谐振频率的信号具有远离谐振频率的信号具有抑制能力。抑制能力。这种对不同输这种对不同输入信号的选择能力称 为入信号的选择能力称 为“选择性”。“选择性”。
1 2/ 1/ 2 0.707 .RU U η η 选择 处的两个频率，对应横坐标分别为 和
1 21 2 2 1
0 0
, , .ω ω
η η ω ωω ω
2 1 ω ω 称为通频带 BW (Band Width)
2 2
1 1
1 21 ( )
RH
Q
根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，根据声学研究，如信号功率不低于原有最大值一半，人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。人的听觉辨别不出，这是定义通频带的实践依据。
( )RU η
U
0 21
0.707
Q=1
21
1 1( ) 1
2 2Q Q
下界（下截止频率）下界（下截止频率）
22
1 1( ) 1
2 2Q Q
上界（上截止频率）上界（上截止频率）
2 1 ω ω 称为通频带 BW (Band Width)
0
2 1 2 1
2 1 0
1
BW /
ωQ
η η ω ω
ω ω ω Q
＝
比值以分贝比值以分贝 (dB)(dB) 表示：表示：20log10UR/U=20lg0.707= –3 dB.
所以， 1 ， 2 称为 3 分贝频率。
11.3 RLC 串联电路的频率响应
所以， 0 又为中心频率。
11.3 RLC 串联电路的频率响应
C 2
1( )
( )( 1)( )
C
s
U ω jQj CH
Z jQU
L2 2
22
( )1 1(1 )
QH
Qηη
C 2 2 2 2( )
( 1)
QH
η Q η
• 电感电压和电容电压的频率特性
L
2
( )( )
1 1( ) (1 )
L
s
U ω j L jQH
ZU jQηη
C C1( ) 1H C1 0
C C2
2
( ) ( 0.707)1
14
QH Q Q
Q
CL d ( )d ( )0 0
d d
HH
HL() 与 HC() 的极值点：令
C2 2
11
2Q
C3 C C3( ) 0H
L1C3
10
L L1( ) 0H
L2 2C2
1 11
2Q
L L2 C C2( ) ( )H H
L3C1
1
L L3( ) 1H
==C2C2，， UUCC(()) 获最大值；获最大值； ==L2L2，， UULL(()) 获最获最大值。且大值。且 UUCC((C2C2)=)=UULL((L2L2)) 。。
QQ 越高越高，， L2L2 和和 C2 C2 越靠近越靠近，，，，，，峰值增高。 峰值增高。 ( j )CH ( j )LH 为低通函数，， 为高通函数；；
1
Cm
HL(Lm)
Lm
HL ( )
HC( )
0
UL/U, UC/U
Q
1
Q>0.707Q>0.707
2 22 2
( )
1 1(1 )
LU Q
UQ
η η
2 2 2 2
( )
( 1)
CU Q
U η Q η
具体见具体见 P288P288～～289289
11.3 RLC 串联电路的频率响应
•牢记公式：
0 0
1 1
2f
LC LC
0
0
1 1L LQ
R CR R C
2 20 0
1 1 L C
C L
0 0
1
RQL C
RQ
0 0 0 0
2 1
ω ω f fQ
ω ω f B
U U
I IR R
02 1
ω RBW
Q L
02 1
fB f f
Q
11.4 RLC 并联谐振电路
• G、 C、 L 并联电路 +
_SI
G C LU
对偶定律：
R L C R L C 串联串联 G C L G C L 并联并联
01ωLC
1( )Z R j LC
1( )Y G j CL
谐振角频率
谐振频率（固有频率） 0
12
fLC
01ωLC
01
2f
LC
R L C R L C 串联串联 G C L G C L 并联并联|Z|
R
0 O
I( )U/R
0 O
U( )IS/G
LU
CU
RU U
I
|Y|
G
CI
LI
G SI I
U
串联谐振又串联谐振又称电压谐振称电压谐振
并联谐振又并联谐振又称电流谐振称电流谐振
UL(0)=UC
(0)=QUIL(0) =IC(0) =QIS
0
0
1 1ω C CQG ω GL G L
0
0
1 1ω L LQR ω RC R C
LCLC 两端电压为零，等效阻两端电压为零，等效阻抗为零，相当于短路抗为零，相当于短路
R L C R L C 串联串联 G C L G C L 并联并联
1, ,L CQ U U U 则 产生过电压 1, ,C LQ I I U 则 产生过电流
LC 两端电流为零，等效导纳为零，相当于开路
20 0( )LQ LI 2
00
1( )CQ I
C
0 0( ) ( ) 0C LQ Q ＋
20 0( )CQ CU 2
00
1( )LQ U
L
0 0( ) ( ) 0L CQ Q ＋
2 20W CQ U 常量 2 2
0 SW LQ I 常量
11.4 RLC 并联谐振电路
• 电感线圈与电容器的并联谐振– 实际的电感线圈总是存在电阻，因此当电感线圈与
电容器并联时，电路如图：
CL
R（ 1 ）谐振条件：
2 2 2 2
1
( )( ) ( )
Y j CR j L
LR j CR L R L
谐振时虚部为零2
20
11 ( ) 1CRR
LC L LLC
此电路发生谐振是有条件的，在电路参数一定时，满足
21 ( ) 0, ,
R
L LR
C
L
C 即 时 可以发生谐振
一般线圈电阻 R<<L，则等效导纳为：
0
1ω
LC
2 2 2 2 21( ) ( )
( ) ( ) ( )
RLRY j C j CLR L R L L
等效电路
谐振角频率
Ge C L
20( )1
ee
L LR
G R CR
2
( 1)L CR
RC L
即
0L
LQ
R
线圈品线圈品质因数质因数
00
eqeq
RQ CR
L
电路品电路品质因数质因数
(b) 电流一定时，总电压达最大值： 0 0 0
LU I Z I
RC
(c) 支路电流是总电流的 Q 倍，设 R<<L
CI
LI
0I
U
00
L C
UI I U C
L
0 0
0 0 0
/ 1
/( / )CL I U L LI
QI I U RC L RC R
0 0L CI I QI I
(a) 电路发生谐振时，输入阻抗近似达最大值：
（ 2 ）谐振特点
2 20
0 0
20)
)( )(
(R L L
Z R LRCRR
11.5～ 11.6( 略 )
• 波特图– 对数坐标绘制的频率响应图
• 滤波器– 选频功能的网络
•带通、带阻、低通、高通– 有源滤波器、无源滤波器– 数字滤波器、模拟滤波器
作 业：
• 11-3
• 11-711-8 11-9
• 11-10 11-12 11-13
•思考 :– 11-1 11-6 11-11
例例11
求图示电路的网络函数 2 S/I US/LU U和
L
.U
sU 2
jω
+
_
+_
jω
22I1I
2I
解解 列网孔方程解电流 2I
1 1(2 j ) 2 SI I U
1 22 (4 j ) 0I I
2 2
2
4 (j ) j6sU
I
2 2
2/
4 j6SI U
2
j2/
4 j6L SU U
转移导纳 转移导纳
转移电压比 转移电压比
((书例书例 11-11-1)1)
例例22
某收音机 L=0.3mH， R=10 ，为收到中央电台560kHz信号，求（ 1 ）调谐电容 C 值；（ 2 ）如输入电压为1.5V求谐振电流和此时的电容电压。
0
1.5 0.15
10
UI A
R
0 2
1 1 = 269
(2 )2f C pF
f LLC
+
_
L
C
R
u解解
0 158.5 1.5 C CU I X V V
例例33 +
_
L
C
R
u
一信号源与 R 、 L 、 C 电路串联，要求 f0=104Hz ，△ f=100Hz ， R=15 ，请设计一个线性电路。
解解 40 0 10
100100
ω fQ
f
40
100 15 39.8
2 10
RQL mH
2 0
1 C 6360 pF
L
0LQ
R
0
1
LC
例4
一接收器的电路参数为：LL=250=250H, H, RR=20=20CC=150pF(=150pF( 调好调好 ), ),
UU11==UU22= = UU3 3 =10=10V, V, 00=5.5=5.510106 6 rad/s, rad/s,
求能收到哪个电台？求能收到哪个电台？
+
_+
_+
L
C
Ru1
u2
u3_
f (kHz)
北京台 中央台 北京经济台
L820 640 1026
X1290 1660 1034
0 – 660 577
1290 1000 1611
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)
1
ωC
I0=0.5 I1=0.0152 I2=0.0173I=U/|Z| (A)
1
0
3.04%II
小得多
∴收到北京台 820kHz 的节目。
820640 1200
I(f )
f (kHz)0
2
0
3.46%I
I
例例55
一接收器的电路参数为： U=10V
=5103 rad/s, 调 C 使电路中的电流最大， Imax=200mA ，测得电容电压为 600V ，求 R、 L、 C及 Q
+
_ L
C
R
u
V解 解
30
1050
200 10URI
60060
10C
C
UU QU Q
U
30
50 60 60
5 10
RQL mH
2 0
1 C 6.67 F
L
例例66
如图 R=10 的线圈其 QL=100 ，与电容接成并联谐振电路，如再并联上一个 100k 的电阻，求电路的Q.解 解
CL
R100k
0100L
LQ
R
0 1000LL RQ R 等效电路
CL
Re
100k
2 60( ) 10
10010e
LR k
R
100 //100 50eqR k
3
0
50 1050
1000eqR
QL
例例7 7
如图RS=50k ， US=100V ， 0=106 ，QL=100 ，谐振时电感线圈获取最大功率，求 L 、 C 、 R 及谐振时I0 、 U 和 P 。解 解
0 100L
LQ
R
CL
R50k
－
＋
－
＋
uS
i0
u
2 0( )
50e S
LR R k
R
0
1
LC 5
0.5
0.002
R
L mH
C F
0 3
1001
2 2 50 10S
S
UI mA
R
0 502
SUU V
0 0 0.05P U I W
2 6 24
3
0.002 10 510 1
0.5 10
CR
L
验证：
