56
Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники Соловова Светлана Алексеевна Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85 г. Ульяновск, 2014 г.

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники

  • Upload
    gotzon

  • View
    72

  • Download
    7

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия» Треугольники. Соловова Светлана Алексеевна Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85 г. Ульяновск, 2014 г. Высота, медиана, биссектриса треугольника. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Подготовка к ГИА модуль «Геометрия»

Треугольники

Соловова Светлана Алексеевна

Полнякова Наталья Николаевна МБОУ СОШ №85

г. Ульяновск, 2014 г.

Page 2: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Высота, медиана, биссектриса треугольника

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противопо-ложной стороны, называется медианой

А

М

АМ – медиана

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника

А

А1

АА1 – биссектриса

Перпендикуляр, проведенный из вершины треуголь-ника к прямой, содержащей противоположную сторону,называется перпендикуляром

Н

А

АН - высота

Page 3: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Средняя линия треугольника

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

К М

КМ – средняя линияСредняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны

А

В

С

АВКМ

АВКМ2

1

Page 4: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Cерединный перпендикуляр

Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через

середину данного отрезка и перпендикулярна к нему

а

А В

а – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему

М

А ВО

m

m – серединный перпендикуляр к отрезку АВ, О – середина отрезка АВМ Є mАМ = ВМ

Page 5: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Точка пересечения серединных перпендикуляров

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке

А

В

С

mn

p

O

ACp

BCn

ABm

,

,

m, n, p пересекаются в точке О

Page 6: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Точка пересечения биссектрис треугольника

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке

А В

С

К

СК – биссектриса <С

М

АМ – биссектриса <А

ВР – биссектриса <В

Р О

О – точка пересечения биссектрис

Page 7: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Точка пересечения высот треугольника

Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке

А С

В

К

М

Р

О

ВСАМ

АВСР

АСВК

О – точка пересечения высот

Page 8: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Точка пересечения медиан треугольника

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1,

считая от вершины

А В

С

К

МРО

ВР , СК, АМ – медианы треугольника АВСО – точка пересечения медиан

СО : КО = 2 : 1АО : МО = 2 :1ВО : РО = 2 : 1

Page 9: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Равнобедренный треугольник Равносторонний треугольник

Треугольник называется равнобедренным, если две его

стороны равны

Треугольник, все стороны которого равны, называется

равносторонним

АВ = ВС

А

В

СА

В

С

АВ = АС = ВС

Page 10: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Свойства равнобедренного треугольника

А

С

В

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

<А = <ВВ равнобедренном треугольнике

биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой

АС = ВС

СК - биссектрисаК

АК = КВ, СК АВ

1. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

2. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

Page 11: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Прямоугольный треугольник

Треугольник, у которого один из углов прямой, называется прямоугольным

АВ и АС – катетыВС - гипотенуза

А

В

С

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме

квадратов катетов

ВС² = АВ² + АС²

Page 12: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Свойства прямоугольного треугольника

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°

С А

В

<A + < B = 90°

< A = 30°CB = AB2

1

30°

Если CB = AB, то <A = 30°2

1

Page 13: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Признаки равенства треугольников

I признакПо двум сторонам и

углу между ними

II признакПо стороне и

прилежащим к ней углам

III признакПо трем сторонам

А N

М

КС

В

Если <A = <K, AB = KM, AC = KN,

то ∆ABC = ∆KMN

А C

B P

Если <B = <PAB = KP, BC = PK,то ∆ABC = ∆KPN

А C

B M

K N

Если АВ = КМ, АС = KN, BC = MN,то ∆АВС = ∆KNM

Page 14: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Признаки равенства прямоугольных треугольников

По двум катетамЕсли АВ = КМ,

АС = KN, то ∆АВС = ∆KMN

А N

М

КС

В

По катету и прилежащему острому углу

Если AB = KM, <B = <M, то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и острому углу

Если ВС = MN, <B = <M,

то ∆АВС = ∆KMN

По гипотенузе и катетуЕсли ВС = МN, АС = KN,

то ∆АВС = ∆KMN

Page 15: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

А

В

С

АВ < ВС + АСАС < АВ + ВСВС < АВ + АС

Page 16: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Сумма углов треугольника равна 180°

A

BC

<A + <B + <C = 180°

16

Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника,

называется внешним

О

<АВО – внешний

Page 17: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним

<3 смежный с <4

<4 + <3 = 180°

(<1 + <2) + <3 = 180°

<1 + <2 = <4

1

2

3 4

17

Page 18: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Зависимость между величинами сторон и углов треугольника

В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол;2) обратно, против большего угла лежит большая сторона

1. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета2. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный

Page 19: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Подобие треугольников

Два треугольника называются подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника

пропорциональны сходственным сторонам другого

А С

ВВ1

А1 С1

<A = <A1 , <B = < B1, <C = <C1, kАС

СА

СВ

ВС

ВА

АВ

111111k – коэффициент подобия

∆АВС ∞ ∆ A1 B1 C1

Page 20: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Признаки подобия треугольников1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

2. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны3. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

А

В

С К М

РЕсли <A = <K, <B = <M,то ∆АВС ∞ ∆КРМ

Если АВ : КР = АС : КМ, <А = <К,то ∆АВС ∞ ∆КРМ РМ

ВС

КМ

АС

КР

АВ

∆АВС ∞ ∆КРМ

Page 21: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Синус, косинус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°

С А

ВСинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе

AB

BCA sin

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе

AB

ACA cos

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему

AC

BCtgA

Page 22: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Основное тригонометрическое тождество

sin² x + cos² x = 1

Теорема о площади треугольника

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними

CabS sin2

1

a

bC

Page 23: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов

а b

c

C

B A

C

c

B

b

A

a

sinsinsin

Page 24: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Теорема косинусов

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними

а b

c

C

B A

Cabbaс cos2222

Page 25: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Решение задач по готовым чертежам

Page 26: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

1. В треугольнике АВС угол А равен 38°. Найдите угол С.

2. В треугольнике АВС угол С равен 118°. Найдите

угол А.

3. В треугольнике АВС угол С равен 52°. Найдите внешний угол СВD.

4. В треугольнике АВС внешний угол при вершине В равен 122°. Найдите

угол С.

Page 27: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

5. Один из внешних углов треугольника равен 85°. Углы, не смежные с данным внешним углом, относятся как 2 : 3. Найдите наибольший из них.

6. В треугольнике АВС угол А равен 60°, угол В равен 70°. Найдите разность углов АСН и ВСН.

7. В треугольнике АВС угол С равен 50°, АD – биссектриса, угол САD равен 28°. Найдите угол В.

8. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

Page 28: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

9. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное

на

10. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

11. Найдите косинус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

12. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

Page 29: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

13. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение, умноженное на

14. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, АС =10, АН =8. Найдите cos B.

15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.

16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.

Page 30: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

15. В треугольнике АВС угол С равен 90°, СН – высота, ВС = 10, ВН = 8. Найдите cos А.

16. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 12. Найдите cos А.

17. В треугольнике АВС, АС = ВС =10, АВ = 16. Найдите tgА.

18. В треугольнике АВС, АС = ВС, АВ =10, высота АН равна 8. Найдите sin А.

Page 31: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

19. В треугольнике АВС, АС = ВС, АН –высота, sin А = 0,8. Найдите косинус

угла ВАН.

20. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АС = 5, СН – высота, АН = 4. Найдите . sin АСВ.

21. В треугольнике АВС, АВ = ВС, АВ = 10, высота СН = 8. Найдите косинус угла АВС.

22. Найдите синус угла АОВ. В ответ укажите значение синуса, умноженное на

Page 32: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

23. Найдите медиану треугольника АВС, прове-денную из вершины С, если стороны квадратных клеток равны 1.

24. Найдите высоту треугольника АВС, опущенную на сторону ВС, если стороны квадратных клеток равны .

25. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

26. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, считая стороны квадратных клеток равными 1.

Page 33: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№1. Средняя линия равностороннего треугольника АВС равна 15см. Найдите периметр этого треугольника.

№2. Периметр равностороннего треугольника АВС равен 90см. Найти длину средней линии этого треугольника.

№3. В равностороннем треугольнике АВС проведены средние линии. Найти периметр получившегося треугольника, если АВ=12см.

№4. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите основание треугольника.

Page 34: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№5. В равнобедренном треугольнике угол при основании равен 20º. Найдите градусную меру угла при вершине. Ответ укажите в градусах.

№6. Чему равен угол при основании равнобедренного треугольника, если угол при его вершине равен 96º? Ответ укажите в градусах.

№7. Периметр равнобедренного треугольника равен 90, а боковая сторона равна 25. Найдите площадь этого треугольника.

№8. Основание равнобедренного треугольника равно 8, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника

Page 35: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№9. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10, угол при основании равен 45º. Найдите площадь треугольника.

№10. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине В равен 110º. Найдите величину угла А. Ответ дайте в градусах.

№11. В треугольнике АВС АВ=ВС, а внешний угол при вершине С равен 117º. Найдите величину угла В. Ответ дайте в градусах.

№12. В треугольнике АВС проведена высота СН. АВ=8, а СН= 5. Найдите площадь этого треугольника.

Page 36: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№13. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 8√2. Найдите катет.

№14. Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна 6. Найдите площадь этого треугольника.

№15. В прямоугольном равнобедренном треугольнике высота равна 3. Найдите площадь треугольника.

№16. Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 5. Найдите гипотенузу.

Page 37: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№17. Катеты прямоугольного треугольника равны 40 и 9. Найдите площадь этого треугольника.

№18. В прямоугольном треугольнике один катет равен 6, а другой на 5 его больше. Найдите площадь треугольника.

№19. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 26, а один из катетов равен 10. Найдите площадь треугольника.

№20. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 10, а один катет на 2 меньше, чем другой. Найдите площадь треугольника.

Page 38: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Тестовые задания из КИМов части 1и части 2

Page 39: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

1.В треугольнике два угла равны 105° и 45°, а площадь равна . Найдите меньшую высоту.2. В прямоугольном треугольнике АВС высота, проведенная из вершины прямого угла равна 3, медиана, проведенная к гипотенузе равна 5. Найдите площадь фигуры, образованной вписанным и описанным кругами.3. Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15°, если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна 1.4.Найдите площадь треугольника, медианы которого равны 3, 4, 5.5.Найдите площадь треугольника, медианы которого 10, 10 и 16.

Page 40: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

6. Найдите площадь треугольника АВС, если известно, что угол ВАС равен 60°, АВ =20, а медиана АМ равна 14.7.Найдите площадь треугольника две стороны, которого равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 5.8.треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведенная к третьей стороне равна 10. Найдите третью сторону.9. В треугольнике АВС известно, что АВ = 8, АС = 6, угол ВАС равен 60°. Найдите биссектрису АМ.10.треугольнике АВС известно, что АВ = х, АС = у, угол ВАС равен 120°. Найдите биссектрису АМ.

Page 41: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

11. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности. Если АМ = 6 и ВМ = 24.12. В равнобедренный треугольник АВС с основанием ВС вписана окружность. Она касается стороны АВ в точке М. Найдите радиус окружности, если АМ = 8 и ВМ = 12.13. В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу на части, равные 6 см и 4 см. Найдите радиус этой окружности14. В прямоугольном треугольнике с углом 60° вписана окружность радиуса .Найдите площадь этого треугольника.

Page 42: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

16. Около равнобедренного треугольника МРК с основанием МК, равным 48, описана окружность с центром О. Радиус окружности равен 25. Найдите расстояние от точки О до боковой стороны треугольника.17. Основание тупоугольного равнобедренного треугольника равно 24, а радиус описанной около него окружности 13. Найдите боковую сторону треугольника..

15. В равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины противолежащей стороны основанию, равно 5. Боковая сторона равна 10. Найдите длину радиуса.

Page 43: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

18.Около равнобедренного треугольника АВС с основанием АВ и углом 120° при вершине описана окружность. Докажите, что отрезок, соединяющий центр описанной окружности с точкой пересечения продолжения высот треугольника, равен диаметру описанной окружности

Page 44: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

Геометрические фигуры и их свойства. Измерение геометрических величин.1. Мальчик прошел от дома по направлению на восток 120 м. Затем повернул на север и прошел 50 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказался мальчик? Решение:

     

Пусть мальчик находится в точке пересечения осей направлений.По т. Пифагора   х=√(1202 +502) = √16900 = 130    Ответ: 130   

Page 45: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

2. Девочка прошла от дома по направлению на запад 240 м. Затем повернула на север и прошла 480 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 240 м. На каком расстоянии (в метрах) от дома оказалась девочка?3. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 42  минут?1 час 42 мин = 1,7 часа4*1,7 = 6,8 км - прошел мальчик3*1,7 = 5,1 км - прошла девочка√(6,82+5,12)=√72,25 = 8,5 км - расстояние между ними

Page 46: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

4. Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка — 3 км/ч. Какое расстояние (в километрах) будет между ними через 1 час 30 минут?1 час 30 мин = 1,5 часа4*1,5 = 6,0 км - прошел мальчик3*1,5 = 4,5 км - прошла девочка√(6,02+4,52)=√56,25 = 7,5 км - расстояние между ними

Page 47: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

8. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 9 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

Решение. Из подобия большого и маленького треугольников:х : (9+3) = 1,8 : 3х : 12 = 0,6х = 0,6*12= 7,2    Ответ: 7,2

Page 48: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

9. Человек ростом 1,5 м стоит на расстоянии 14 шагов от столба, на котором висит фонарь. Тень человека равна трем шагам. На какой высоте (в метрах) расположен фонарь?

10. Человек ростом 1,7 м стоит на расстоянии 15 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 10,2 м. Найдите длину тени человека в метрах.Пусть х - длина тени.Из подобия маленького и большого треугольников следует:х / 1,7 = (х+15) / 10,210,2х = 1,7 (х+15)8,5 х = 25,511. Человек ростом 1,8 м стоит на расстоянии 10 м от столба, на котором висит фонарь на высоте 3,6 м. Найдите длину тени человека в метрах.

Page 49: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№9. Один острый угол прямоугольного треугольника в два раза больше другого. Найдите меньший острый угол. Ответ дайте в градусах.

Решение:

<A + <B = 90°

Пусть <A = x, тогда

<B = 2х

х + 2х = 90°

х = 30°

Ответ: 30°

А С

В

Page 50: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№ 9. (демонстрационный вариант 2013 г)В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС внешний угол при вершине С равен 123°. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.

Решение:

<BAC = <BCA

<BCA = 180° – 123° = 57°

<ABC = 180° – 2·57° = 66°

Ответ: 66°123°

А С

В

Page 51: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№9. В треугольнике АВС АD – биссектриса, угол С равен 50°, угол САD равен 28°. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Решение:

<A + <B + <C = 180°

<CAD = <BAD = 28°

<A = 2·28° = 56°

<B = 180° - 56° - 50° = 74°

Ответ: 74°

А

D

С

В

Page 52: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№ 24 (демонстрационный вариант 2013 г)В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С известны катеты: АС = 6, ВС = 8. Найдите медиану СК этого треугольника

Решение:

С В

А

К

564362

1

2

1

2

1 22 ВСАСАВСК

Ответ: 5

Page 53: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№ 24. В треугольнике АВС угол С равен 28°. Внешний угол при вершине В равен 68°. Найдите угол А.Решение: I способ:

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Следовательно

<A + <C = 68°

<A = 68° – 28° = 40°

Ответ: 40°

А В

С

28

68

II способ:<ABC = 180° - 68° = 112°Сумма углов треугольника равна 180°.Следовательно <A + <B + <C = 180°<A = 180° – 28° – 112° = 40°.Ответ: 40°

Page 54: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№ 25. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, являющейся их серединой. Докажите равенство треугольников АВС и ВАD.

Решение:∆ODB = ∆AOC (по двум сторонам и углу

между ними) AO = OB, DO = OC по условию,<DOB = <AOС как вертикальные,следовательно

DB = AC

А

D

С

В

О

Достроим треугольники АВС и ВАD.

∆ADO = ∆BCO (по двум сторонам и углу между ними)AO = OB, DO = OC по условию,<DOА = <СOB как вертикальные,следовательно АD = ВC

Получили: DB = AC, AD = BC, АВ – общая. Таким образом∆ABC = ∆BAD (по трем сторонам). Что и требовалось доказать.

Page 55: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№25. В треугольнике АВС М – середина АВ, N – середина ВС. Докажите подобие треугольников MBN и ABC.

Решение:

Так как MN || АС,

то <ACB = <MNB (как соответственные),

<ABC – общий,

А В

С

М

N

Так как М и N середины сторон АВ и ВС, то MN – средняя линия ∆АВС

следовательно MN || АС.

следовательно ∆MBN ∞ ∆ABC (по двум углам)

Что и требовалось доказать

Page 56: Подготовка к ГИА  модуль «Геометрия» Треугольники

№ 25. В прямоугольном треугольнике KLM с прямым углом L проведена высота LP. Докажите, что LP² = KP·MP.

Решение: ∆KLM ∞ ∆KPL по двум углам

(<K – общий, <KLM = <KPL = 90°).

∆KLM ∞ ∆MPL по двум углам

(<M – общий, <KLM = <MPL = 90°).

∆KPL ∞ ∆MPL по двум углам

(углы при вершине P прямые, <K = <MLP).

Так как ∆KPL ∞ ∆MPL, то

L

M

K

P

MPKPLPKP

LP

LP

MP 2

Что и требовалось доказать.