無偏極仮想光子構造関数に無偏極仮想光子構造関数に対する標的質量効果及び対する標的質量効果及び

実験との比較実験との比較

北殿義雄（広大理 / 京大理）植田高寛（ KEK ）

佐々木賢（横浜国大）植松恒夫（京大理）

arXiv:0801.0937[hep-ph]

Plan of talkPlan of talk

1:1: IntroductionIntroduction2:2: How to extract target mass effect?How to extract target mass effect?3:3: Main resultsMain results4:4: Comparison of experimental dataComparison of experimental data5:5: SummarySummary

核子の構造関数２００８（ 1/12 ） 2

1. Introduction1. IntroductionPhoton = gauge boson, spin=1, charge=0, mass=0

point like coupling → tool for probing complicated objects (Proton…)

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

光子構造関数

--- 核子構造関数 ---

probe = photontarget = Nucleon構造関数 = F2(x,Q2),FL(x,Q2),…

--- 光子構造関数光子構造関数 ---

probe = photonprobe = photon target = photontarget = photon 構造関数 構造関数 = = FF22

γγ(x,Q(x,Q22), F), FLLγγ(x,Q(x,Q22),…),…

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核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

光子構造関数は e-e+ → e-e+ hadrons の２光子過程で測定される。

次世代では、 International Linear Collider( ILC ).

次世代加速器での光子構造関数の測定

・高エネルギー e+e-→ e+e-hadrons の性質　　→２光子過程の割合が増加。

S.J.Brodsky,T.Kinoshita,H.TerazawaPhys.Rev.Lett.27,280(1971)

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the maximal value of the Bjorken variable

・ why target mass?　　→現在より幅広い力学的領域（ Q2,P2 ）での測定　　　　 O(P2/Q2)=Target Mass Effect （ TME ）が重要

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

現在までに得られている結果

(LO) (NLO)Walsh,Uematsu (1981,1982)

(NNLO)Ueda,Sasaki,Uematsu

　　　　(2007)

今回得られた結果

Target Mass Effect

Why Virtual photon?(LO) (NLO)

Witten (1977)

Hadronic piece

Bardeen-Buras (1979)

Real photon では hadronic piece はVMD で扱う。deeply virtual photon (Λ2<< P2<<

Q2) の場合、 Hadronic piece は摂動論で扱える。

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・ Structure tensor(spin averaged)

・ Forward scattering (Using OPE)

Dispersion relation

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

Forward scatering

Theoretical framework

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核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

Moment sum rule for F2

Operators (Leading twist =2, spin=n )

光子構造関数にはPhoton Operator が現れる

QCD beta function

Anomalous dimension matrix

Coefficient functions byRenormalization Group

Renormalization point

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Photon matrix elementPerturbatively calculable

(Λ2 << P2 << Q2)

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

Higher order results

Photon matrix element(up to 2-loop O(αs2))

Matiounine-Smith-van-Neerven(98)2-loop1-loop

Hadronic Coefficient function(up to 2-loop O(αs2))

Van-Neerven-Zijlstra(91,92)2-loop1-looptree

Anomalous dimension for hadronic operator(up to 3-loop O(αs3))

Moch-Vermaseren-Vogt(04,06)

3-loop 2-loop1-loop

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核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

Moment for F2 up to NNLO

LO(ααs-1)

NLO(α)

NNLO(ααs)

Structure function (x-space)Structure function (x-space)

Moment (n-space)Moment (n-space)

逆 Mellin 変換（数値的）

M2(n) to F2(x)

M2(n) F2(x)

※FL(x) についても同様9

2. How to extract Target mass effect?2. How to extract Target mass effect?Trace term( 標的質量効果 ) を取り入れた縮約を行う O.Nachtmann(Nucl Phys B63 1973 237-247) S.Wandzura(Nucl Phys B122 1977 412-428)

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

Cn(ν)(η ) ： Ge ｇ enbauer 　多項式 O(P2/Q2)k (k=1,2) まで keepO(P2/Q2)k (k=1,2) まで keep

例）

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核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

T2 と TL の寄与を分離するためには Gegenbauer の直交関係を使う。

それぞれ異なる次数のGegenbauer をかけ

ると、モーメント M2, ML

を取り出せる

それぞれ異なる次数のGegenbauer をかけ

ると、モーメント M2, ML

を取り出せる

Nachtmann 　モーメント

Nachtmann 　モーメント

Extracting TME

例）

：直交関係

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3. Main results3. Main results

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

Unpolarized structure functions(including TME)

H(ξ)F(ξ) G(ξ)

H(ξ) G(ξ)FL(ξ)

標的質量を考える際はこの線形結合がよい変数

標的質量を考える際はこの線形結合がよい変数

Nachtmann moments (moment including TME)

Note:

Scaling 変数 ξ

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FF22 に対する標的質量効果の結果に対する標的質量効果の結果

dominant

ΔF2max =13%

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

F2 に対する標的質量効果

↓xmax 付近の値を

増加させる

F2 に対する標的質量効果

↓xmax 付近の値を

増加させる

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( nf=4, Q2=30GeV2, P2=1GeV2, Λ=0.2GeV, xmax=0.968 )

FFLL に対する標的質量効果の結果に対する標的質量効果の結果

dominant

ΔFL max =4%

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

FL に対する標的質量効果

↓xmax 付近の値を

減少させる

FL に対する標的質量効果

↓xmax 付近の値を

減少させる

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( nf=4, Q2=30GeV2, P2=1GeV2, Λ=0.2GeV, xmax=0.968 )

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

discussion:

・ F2 の x=xmax での振る舞い

Blow up しているように見えるが、これは TME の有無に依らない。Moment-space では、

Large-n で dominant な項が問題。　　pQCD の NNLO での問題点かもしれない。

・ FL の x=xmax での振る舞い

OK

→ 　何か Large-n の改善が必要　　　 higher twist?resummation ?

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Large-n で vanishLarge-n で dominant

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

4. Comparison of experimental data4. Comparison of experimental data

現在までの実験データ

PLUTO Collaboration(PETRA):

L3 Collaboration(LEP):

・ 2 group(PLUTO, L3) が virtual structure function を測定 .・ Unpolarized double tag event.・ Effective structure function を測定 .

( Q2=5GeV2, P2=0.35GeV2, Λ=0.2GeV )

( Q2=120GeV2, P2=3.7GeV2, Λ=0.2GeV )

Phys Lett B142(1984)119-124

Phys Lett B483(2000)373-386

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PLUTOPLUTO 実験との比較実験との比較

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

( Q2=5GeV2, P2=0.35GeV2, Λ=0.2GeV )

Feff に対する標的質量効果

↓F2 と FL を合わせるとほぼ効かな

い（ end point は7% 程のズレ）

Feff に対する標的質量効果

↓F2 と FL を合わせるとほぼ効かな

い（ end point は7% 程のズレ）

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L3L3 実験との比較実験との比較

Feff に対する標的質量効果

↓F2 と FL を合わせ

るとほぼ効かない（ end point は3% 程のズレ）

Feff に対する標的質量効果

↓F2 と FL を合わせ

るとほぼ効かない（ end point は3% 程のズレ）

( Q2=120GeV2, P2=3.7GeV2, Λ=0.2GeV )

核子の構造関数２００８（ 1/12 ） 18

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

discussion:

・実験データはエラーバーが大きいが、　理論的な計算と大まかには合っているように見える。

・今回は 4-flavor での計算だが、 c(heavy quark) の mass の　取り扱いは massless とした。

L3PLUTO

→ heavy quark と OPE を合わせた取扱いが今後の課題。

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5. Summary5. Summary• 仮想光子構造関数　仮想光子構造関数　 FF22(F(FLL)) 、、 Nachtmann Nachtmann モーメントをモーメントを

QCD NNLO(NLO) + Target Mass Effect まで含めて評価

核子の構造関数２００８（ 1/12 ）

• 今後の課題：今後の課題：x=1x=1 の付近での振る舞いの改善の付近での振る舞いの改善

higher twisthigher twist の効果の効果heavy quarkheavy quark の取り扱いの取り扱い

• Target Mass Effect Target Mass Effect ：：F2 :increasing at xmax, O(10%), FL: decreasing

at high x, O(5%)• 実験との比較（実験との比較（ PLUTO, L3PLUTO, L3 ）） ：：

Feff :roughly consistent with experimental data (but large error)

→ ILC での光子構造関数の測定に期待

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