塩山幾何学を用いたボロノイ図の解析

立命館高等学校三村　知洋宮崎　航輔村田　航大

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平面上の任意の図形を切り抜いた板上に塩を振りかけるときにできる塩山の稜線

この稜線は平面幾何における様々な性質を表現 塩山による幾何学を用いて、生物モデルのボロノ

イ図に応用 ボロノイ図を塩山で再現できることがわかった

■ 　研究概要　 ■

2

「塩が教える幾何学」（黒田俊郎）によって提案 様々な図形、ボロノイ図に発展 ある形の板を作ってその上に塩をかけると、どの

ような形の山ができるか 私たちはこれを「塩山幾何学」と呼んでいる

■ 　塩山を用いた幾何学とは？　■

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様々な図形における性質を塩山で再現 穴を開けることでボロノイ図を再現 違う穴の半径を開けることで加法的ボロノイ図を

再現 実験道具を工夫する事で時間的変化を伴う加法的

ボロノイ図を再現

■ 　オリジナリティ　 ■

4

■ 　塩山を用いた幾何学とは？　■

5

平面上に、いくつかの点が配置 このとき最も距離の近い点がどこになるかによっ

て分割してできる図をボロノイ (Voronoi) 図

■ 　ボロノイ図とは？　■

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塩山幾何学を用いた初等幾何の解析

（ 1 ）

7

■ 　三角形　■

角の二等分線

等距離

内心点

8

角の二等分線

■ 　四角形　■

G

F

E D

C

B

A

内心点傍心点

9

■ 　五角形　■

A B

C

F

HI

J

D

E

G

内心点

傍心点

傍心点

10

■ 　凹のある多角形　■

11

■ 　凹のある多角形　■

2 2( )x y a y a

21

4y x

a

放物線

12

焦点

準線

A(0, a)

P(x, y)

y = -aB(x, -a)

■ 　凹のある多角形　■

13

焦点

準線

塩山幾何学を用いた初等幾何の解析

（ 2 ）

14

■ 　半円　■

15

放物線

■ 　放物線　■

16

■ 　放物線　■

2 2 2 2

2 4 2 2

22 2

2 2

PQ ( )

(1 2 )

1 2 4 1

2 4

x ax p

a x ap x p

ap apa x

a a

4 1

2

app

a

1

2p

a

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GRAPES DATA

■ 　楕円　■

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塩山幾何学を用いた初等幾何の解析

（ 3 ）

19

■ 　穴を 1 つ　■

20

■ 　同じ大きさの穴を 2 つ　■

線分の垂直２等分線21

■ 　円の真ん中に穴　■

円22

■ 　円の中心からずらす　■

CE ＋ BE

＝ CE ＋ EA ＋ AB

＝ CE ＋ ED ＋ AB

＝ CD ＋ AB

＝（大きな円の半径）　　　　＋（小さな円の半径）＝一定

楕円23

焦点

焦点

塩山のボロノイ図への応用

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■ 　フローチャート　■

L(i)=SQR((X-AX(i))^2+(Y-AY(i))^2-r(i)

25

■ 　穴の半径を同じにした場合　■

x = (x, y) ， p(i) = (ai, bi)

d i (x) = d (x, p(i))

d i (x) =2 2( ) ( )i ix a y b

d i (x) = d (x, p(i)) – R

塩山での再現

26

■ 　穴の半径を同じにした場合　■

27

GRAPHIC DATA

■ 　加法的重み付きボロノイ図　■

d i (x) = d (x, p(i)) – w(i)

d (x, p(i)) – w(i)

= d (x, p(j)) – w(j)

d (x, p(i)) – d (x, p(j))

= w(i) – w(j)

= 一定

双曲線28

焦点焦点

■ 　加法的重み付きボロノイ図　■

29

GRAPHIC DATA

■ 　距離的関数　■

30

■ 　距離的関数　■

d i (x)= d (x, p(i)) – w(i, t)

距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図

y = axb （ 0 < b < 1 ） ？

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ボロノイ図の応用例

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■ 　学区分けとボロノイ図　■

33

■ 　細胞とボロノイ図　■

ユキノシタの表皮細胞（本校の顕微鏡で撮影）34

■ 　分子の結晶構造　■

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本研究で得られた成果と課題

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■ 　これまでの成果　■ 塩山の稜線のでき方は最短距離が等しい値のところに

できる。 半径の大きさが等しい場合は、ボロノイ領域は直線で

分けられボロノイ図と一致する。 半径の大きさを変えてそれを重みに見立てると曲線の

稜線ができて、加法的重みつきボロノイ図と一致する。 数式的に解析した図形と実験で実際に出てきた稜線は

ぴったりと一致した。 ボロノイ領域は生物や化学分野における、多くの現象

を再現することができる。37

■ 　これからの課題　■ もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 加法的重み付きボロノイ図はできたので、

乗法的重み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理論的

裏付け。 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を自由

に決定出来るようにする。

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■ 　乗法的重みつきボロノイ図　■

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乗法的重み付きボロノイ図加法的重み付きボロノイ図

■ 　これからの課題　■ もっといろいろな形の図形でどうなるかを実験する。 重みつきボロノイ図の自然界への応用例を調べる。 加法的重み付きボロノイ図はできたので、

乗法的重み付きボロノイ図も塩山で再現できないか。 距離的関数を伴う加法的重み付きボロノイ図の理論的

裏付け。 任意の稜線を決め、それに合わせたように半径を自由

に決定出来るようにする。

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■ 　参考文献・ HP 　■

1. 「塩が教える幾何学」　　黒田俊郎　（ 2000 年 11

月 25 日）

2. 「折り紙で学ぶなわばりの幾何学」　　加藤渾一http://izumi-math.jp/K_Katou/nawabari/nawabari.

htm

3. 「数学のいずみ」数学のいずみ編集委員会　（ 2001 年 4 月 25 日）

4. ( 仮称 ) 十進 BASIC のホームページ　　白石和夫http://hp.vector.co.jp/authors/VA008683/

5. 「関数グラフソフト GRAPES 」　　友田勝久http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

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Thank you for listening !

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