光情報処理

徳山高専情報電子工学科

原田徳彦

光情報処理の応用

CGH を用いた光ファイバ多モード励振実験

数学的な準備• 複素数• フーリエ変換• 標本化定理• 線形・時間不変のシステム• ２次元フーリエ変換

オイラーの公式

eixcosxisinx

複素数は、実数の演算を継承しつつ、自乗すれば -1 となる特別な文字式 i を導入しました。その結果、オイラーの公式をはじめとする様々な複素数の性質が発見されています。

問題

複素平面上の点 p に対応する複素数を示せ。

r

θ

p

Re

Im

0

r

θ

p

Re

Im

0 r cosθ

r sinθ

点 p の座標は（ r cosθ, r sinθ ）

複素数は オイラーの公式よりr cosθ + i r sinθ = r(cosθ+ i sinθ ） = r exp(iθ ）

問題

(a) i

(b) i

(c) ii2

複素数に対応する複素平面上の点を示せ。

Re

Im

0

フーリエ変換

G( f ) g(x)e i2fxdx

dfefx fxi 2)()( Gg

)( 2122 21 ffdxee xfixfi

)(

)()(

)(

)()(

22

222

f

df

ddxee

dxededxex

fxixi

fxixjfxi

G

G

G

Gg

（逆フーリエ変換）

（フーリエ変換）

（直交性）

２次元フーリエ変換

dxdyeyxgffG yfxfiyx

yx )(2),(),(

物理的な準備• マクスウェル方程式• 波動方程式• ヘルムホルツ方程式• 平面波• 球面波

マクスウェル方程式 (1)

Hy

xHx

yJz E z

t

Hz

yHy

zJx Ex

t

Hx

zHz

xJy

E yt

マクスウェル方程式 (2)

E yx

E xy

Hz

t

E zy

E yz

Hx

t

Exz

E zx

Hy

t

波動方程式

2ux 2

2uy 2

2uz2

1

c 22ut

u は Ex など E または H の一方向成分

u(x,y,z, t)A(x,y,z)cos[2t (x,y,z)]

u(x,y,z, t)Re u(x,y,z)e i2t

光のゆらぎの数式表現

ヘルムホルツ方程式

2ux 2

2uy 2

2uz2

k 2u

波数 - 波長 - 周波数 - 光速

k 2 c

2

平面波

uAe ikr

)( zkykxki

i

zyxe

e

A

Au rk

uuuu 22

2

2

2

2

2

kzyx

球面波

uAe ikr

r

フーリエ変換の物理的解釈

2,

2

),(22

2

yy

xx

yk

fxk

fi

yx

kf

kf

dxdyeffy

yx

x

A

AU

平面波を z = 0 の面でフーリエ変換すると δ 関数となります。これは、フーリエ変換の基底関数が平面波そのものであることを意味しています。

z 軸方向への伝搬式

yx

ffzi

yfxfiyx

dfdfe

effzyx

yx

yx

2212

2

0,),,(

Uu

ホイヘンス - フレネル回折式

u(x1,y1,z1)1

iu

x0,y0,0

z1eikr01

r012 dx0dy0

フレネル近似

u(x1,y1,z1)e ikz1

iz1u

x0,y0,0

eik

2z1(x1 x0 )

2 (y1 y0 )2 dx0dy0

フランホーファ近似

u(x1,y1,z1)e ikz1e

ik

2z1(x1

2 y12 )

iz1u

x0,y0,0

e i2z1(x1x0 y1y0 )

dx0dy0

レンズ（位相変換素子）

t(x,y)e ik 0e ik(n 1) (x,y )

近軸近似

)(2

22

0),(yx

f

ki

iknl eeyxt

レンズ後焦点面の分布

00

)(2

00

)(2

00

22

,),,(

dydxe

yxfi

efyx

yyxxf

i

o

yxf

ki

ff

ff

ff

Atu

f0

f

y

f

x

fi

efyx ff

yxf

ki

fff

ff

,),,( 0

)(2

22

Uu

yx ffyx ,)0,,( 0000 Uu

yxyxffffiikf ffffee yx ,),( 0)( 22

UU

)( 22

),( yx fffiikfyx eeffH

f

y

f

x

fifyx ff

ffff ,

1),,( Uu

レンズ前後焦点面の分布

ff

yyxxf

i

ffffff

dydxe

fyxfi

zyx

ffff

)(2

,,1

),,(

uu

f0-f

合成開口レーダー

c

rtfi r

et2

2

11 )(

s

散乱物体に当たって返ってくる信号の式です。 σ は反射強度や位相シフトを表しています。

1

21

12

121 2

)()(

r

xxrxxrr

1

211 )(24

2

1111 ),()(r

xxrtfi

rrr

erxt

s

x vat

n

r

xtvrtfi

nn

nr

na

rr

erxtt 1

21 )(24

2

11 ),()()(

ss