关于质点在有心力场中运动问题的讨论

作者：王华

引子

• 质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。

题目• 如力图 4 － 7 － 1 ，

飞船总质量为 m, 内装质量为 m0 的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为

r1, 速度为 v1=r2 r1

v1

v2

力图 4 － 7 － 1

2

1

aGM

r

（ 1 ）试证明 ½<a<1

（ 2 ）如力图 4 － 7 －2 ，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比 m0/m 及发射探测器的相对速度 u 。

v1

m

u+v1’

v1’

m0

m-m0

力图 4 － 7 － 2

发射前 发射后

（ 3 ）如力图 4 － 7 －3 ，若在远地点以上述相对速度 u 发射探测器，试求探测器运行的轨道。

m

v2

v2’

m-m0

u+v2’

m0

力图 4 － 7 － 3

发射前 发射后

分析• 1. 飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机

械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限制了 a 的取值。

• 2. 发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。

• 3. 发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒，探测器轨道的特征由其机械能 E 确定， E<0 为椭圆或圆轨道， E=0 为抛物线，E>0 为双曲线。

解答• 1. 直接求 a 显然很困难 , 但由于飞船轨道受

约束的特性 , 可解出远近地点与地心的距离r2 与 r1 的约束关系 , 根据它们的关系解出 a 的取值范围。

飞船绕地球作椭圆轨道运动 , 设在远地点 r2处的速度为 v2:

由角动量守恒 mr1v1=mr2v2

即 mr1 = mr2v2 (1)

由飞船地球系统的机械能守恒 ½m(2aGM/r1)-GMm/r1

= ½mv22-GMm/r2 (2)

2

1

aGM

r

由 (1) (2) 解得 :

(r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0

解出两个根｛

其中 r1/r2=1 为圆轨道 , 不合题意 , 舍去 .

应取 r1/r2=(1-a)/a

由于 0<r1/r2<1

故有 ½ < a <1

r1/r2=1

r1/r2=(1-a)/a

• 2 ．飞船发射探测器前速度为 v1, 设发射后飞船速度为 v1’, 设探测器相对飞船得速度为u, 由动量守恒，

mv1 = (m-m0)v1’+m0(u+v1’) (1)

发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为0 。即

E = 1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1 = 0 (2)

发射探测器后，飞船作圆运动，故 GM(m-m0)/r12 = (m-m0)v1’2/r1

式中 M 为地球质量，即 v1’ = = v1/ (3)

/ 1GM r 2a

• 由（ 1 ）式 mv1 = mv1’+m0u

即 u = m/m0(v1-v1’) (4)

由 (2)(3) 式，得： (u+v1’)2-2v1’2 = 0

即 u2+2uv1’-v1’2 = 0

把（ 4 ）式代入上式，得出 m/m0 满足得方程为

(m/m0)2(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’-v1’2 = 0

舍去负根后，解出： m/m0 = ( -1)v1’/(v1-v1’)

2

• 将（ 3 ）式代入，得m/m0 = ( -1)/( -1)

所以质量比为m0/m = ( -1)/ ( -1) (5)

代入（ 4 ）式，得出探测器得相对速度为

2

2a

2a

2

( 2 1) /( 2 1)( 1 1/ 2 ) ( 2 1) / 2 1u a v v a av= - - - = -

• 3. 飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为 v2, 在近地点得速度为前述 v1, 作椭圆轨道运动，由角动量守恒，

mr1v1 = mr2v2

即 v2=(r1/r2)v1

设飞船在远地点以上述相对速度 u 发射探测器后，飞船得速度变为 v2’, 则探测器得速度应该为 v2’+u, 由动量守恒得：

mv2 = (m-m0)v2’+m0(v2’+u)

即 mv2 = (m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’)

• 故发射后探测器的速度为 u+v2’ = [mv2+(m-m0)u]/m

= v2+(1-m0/m)u (6)

式中的相对速度 u 前已求出， 利用已知的关系 v1 = (r2/r1)v2

r1/r2 = (1-a)/a

可将 u 用 v2 表示，得：2 1 2 2 1

2 21 12 2

r au v v

r aa a

- -= =

-

• 代入（ 6 ）式，并注意到 m0/m 已由（ 5 ）式

给出，有2 1 2 1

2 ' 2 (1 ) 212 1 2

1 22

1

a au v v v

aa

a av

a

- -+ = + -

--

- +=

-

• 因

故

式中

1 2 1 1 22 1

2 1 2 2 2

1 2 21

2 2

r aGM r r GMv v a

r r r r r

a GM GMa a

a r r

= = =

-= = -

1 2 2 22 '

2 21

a a GM bGMv u

r ra

- ++ = =

-

2(1 2 )

1

a ab

a

- +=

-

• 令

探测器轨道得类型可根据其总能量 E 来判断 E=1/2mv2-GMm/r

其中 v 探测器速度可写成

2(1 2 ) (1 )y a a a= - + - -

2 2 2

( 1)

E GM GMv

m r rGMm

E br

= + =

= -

• 对于椭圆轨道， E<0,b<1 ；对于抛物线轨道 E=0, 故 b=1; 对于双曲线轨道， E>0,b>1. 因

此 探测器轨道得类型可由 b 的值来判断。 由前 1/2<a<1, 可用对 y 的定义判别

当 y<0, b<1, 为椭圆轨道 y=0, b=1, 为抛物线轨道 y>0,b>1, 为双曲线轨道

• 把（ 7 ）展开并化简

因前已得出 1/2 < a < 1, 故 y<0

探测器将沿椭圆轨道运动

2 ( 1)(2 1)y a a a= - -

小结• 通过对上题的具体的讨论，我们对质点在

有心力场中的运动有了比较清晰的认识，当然设计到天体问题，通常运算量比较大，需要我们有足够多的细心和耐心，才能把这类问题解答好。