74
Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ) Усовершенствование знаний, умений и навыков при работе с презентацией. Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и информатике.

Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и информатике

  • Upload
    meli

  • View
    73

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ) Усовершенствование знаний, умений и навыков при работе с презентацией. Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и информатике. «… нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. (В14 из ЕГЭ)

Усовершенствование знаний, умений и навыков при работе с презентацией.

 

Интегрированный урок по алгебре и началам анализа и

информатике.

«… нет ни одной области  в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:

• находим ООФ и проверяем, содержится ли в ней весь отрезок [а,в];

• находим критические точки, т.е. f'(x)=0;• вычислим значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [а,в];

• из полученных чисел выбираем наибольшее и наименьшее значение функции.

Виды функций:

• Целые рациональные • Дробно-рациональные • Иррациональные• Тригонометрические• Показательные• Логарифмические• Решение задач методом математического моделирования

1. Целые рациональные функции (Выполнили Москалев К. и Сулимов И.)

Найдём наименьшее значение функции

          y=3x2-2x3+1 на отрезке [-4;0].                    Решение:1.ООФ: х    R2.Найдем производную:у‘(х)=(3х2)`- (2х3)`+1`у‘(х)=6х-6х2

3.Найдём критические точкиу‘(х)=0 т.е. 6х-6х2=0;6х2-6х=0; 6х(х-1)=06х=0 или х-1=0 х=0         х=10  ϵ [-4;0]1 ϵ [-4;0]

4.Вычислим значение функции на концах отрезка и во всех критических точках принадлежащих отрезку [-4;0]

  y(-4)=3 . (-4)2-2(-4)3+1=48+64+1=113  y(0)=3.0-2.0+1=1  Наименьшее значение функции-1   Ответ:1

Самостоятельная работа 

№1-найдите наибольшее значение функцииy=x3+5x2+3x на отрезке[-4;-1]

РЕШЕНИЕ

                     1.ООФ: х    R2.у‘(х)=(x3)`+(5x2)`+(3x)`   у‘(х)=3x2+10x+33.у‘(х)=0 т.е. 3x2+10x+3=0D=b2-4ac=102-4.3.3=100-36=64      

 x1=         x2=-3

a

Dbx

22,1

32

64102,1

x

3

1

]1;4[3

1

4.y(-1)=(-1)3+5(-1)2+3(-1)=1   y(-3)=(-3)3+5(-3)2+3(-3)=-27+45-9=9    y(-4)=(-4)3+5(-4)2+3(-4)=-64+80-11=5Наибольшее значение функции 9. Ответ:9

Домашнее задание 

Найдите наибольшее значение функцииy=4x2-4x-x3 на отрезке [1;3]

2. Дробно-рациональные функции.

(Выполнили Зорко М. и Жадько Д.)

Найдите наименьшее значение функции.

x

xy

162 • На отрезке [2;8]

Находим допустимую область значения,производную от y и приравниваем к 0

0

0)4)(4(,

0

0160

16)16()16()

)16((

0:)(

2

2

2

2

2

222

x

xx

x

xy

x

x

x

xxxx

x

xy

xyD

C учетом ОДЗ:х-4=0 или х+4=0х=4 х=-4

108

168)8(

84

164)4(

102

162)2(

]8;2[4];8;2[4

2

2

2

y

y

y

]8;2[

8)4(min yy

8:Ответ

Пример для самостоятельной работы.

Найдите наибольшее значение функции

x

xxy

4972 На отрезке [-14;-1].

0

0)7)(7(,

0

0490

49

49772497)72(

)497()497()497(

0:)(

2

2

2

2

2

22

2

2

222

x

xx

x

xy

x

x

x

xxxx

x

xxxx

x

xxxxxx

x

xxy

xyD

x-7=0 или х+7=0x=7 x=-7

]1;14[7 ]1;14[7

                 Находим наибольшее значение функцииy(x)

.7:

]1;14[

7)7((max)

431

4971

1

49)1(7)1()1(

77

494949

7

49)7(7)7()7(

5,1014

147

14

4998196

14

49)14(7)14()14(

2

2

2

Ответ

yy

y

y

y

Пример для домашней работы.Найдите наименьшее значение 

функции.

x

xxxy

322 25

]10;1[

отрезке

На

3.Иррациональные функции.

(Выполнили Ефимова А. и Евлашкина А.)

•   3567 xxy На отрезке [1;4]

0225

9,

015

3,

0

15,

0

01530

;153

153

152

6

0:)(

5222

222

x

x

x

xx

x

xx

x

xxy

x

xxx

xx

xy

xyD

]4;1[

4)1(max

32545467)4(

415167)1(

]4;1[25

1

125

1

25

1

3

3

5

5

5

yy

y

y

x

x

• Найдите наименьшее значение функции

132

3

xxy

На отрезке [1;9]

]9;1[4,4

2

020

)2(2

3

32

3

0:)(

2

1

x

x

xy

xy

xy

xyD

]9;1[

3)4(min

1)9(

3)4(

1)1(

yy

y

y

y

xxy )12(

На отрезке [1;9]

4.Тригонометрические функции.

(Выполнили Чумакова В. И Симоненко А.)

Найти наибольшее значение функции на отрезке:

0;

6

5

736

sin6

xxy

Найти наибольшее значение функции на отрезке: 

0;

6

5

19,1;9,1cos

14,3;6

cos

0

36cos6

736

sin6

x

x

y

xy

xxy

Т.к. cosx ϵ [-1;1]

О.Д.З : x ϵ R cosx ϵ [-1;1]

6

5 0

_)(xy

)(xy

36cos6 xy 7

36sin6

xxy

6

5 0

_)(xy

)(xy

36cos6 xy 7

36sin6

xxy

Домашнее задание:

• Найдите наименьшее значение функции на отрезке:

4

5;

4

3

4554 tgxxy

5.Показательная функция.(I)

(Выполнила Агапова В.)

Найти наибольшее значение выражения на отрезке [5;15]:

У=(x-11)е12-x +13[5;15]

xx exexy 1212 1111

xx

xx

xx

xy

xy

xxy

1212

1212

1212

11

111

1211

14.

1315

1412

14455

12

012

0..0

0120

12

12

111

111

1212

12

12

12

12

12

Ответ

y

y

y

x

x

кт

xy

xy

xy

xy

xy

xx

x

x

x

x

x

.7.

25128287989

718)1(87686

827

48

4848)4(87383

9;366

06

0..,0..

060

6

71

7

671

:

9;378

5369

066

33363

66

6

6

6

66

66

6

функциизначениенаименьшееОтвет

y

y

y

x

x

кткт

xy

xy

xy

xy

xxy

xyД

xy

xx

x

x

x

xx

xx

x

Домашняя работа

xexy

функциизначениенаименьшееНайти 435

7;0:

5.Показательная функция (II)

Различные способы исследования показательной функции на наибольшее и наименьшее значение.

(Выполнила Лидяева Е.)

Задание: Найти наименьшее значение функции

y=2x2-8x+20-12

I способ решения:

420484

42

8

2

)(208)(

20

0

2

y

a

bx

вверхветвипараболаграфикхxxf

41216122)4( 4 yзначениеНаименьнее

RхЗДОy xx :..122 2082

II способ решения:

4

82

082

..,0)('

82)('

)'208()('

208)(2

2

x

x

x

етxf

xxf

xxxf

xxxf

функциизначениенаименьшееНайдём

RхЗДОy xx :..122 2082

Подсчитаем знаки

min4

41216122(min)

420484(min)

,..,,4

4

2

y

f

значениенаименьшеесвоёполучитфункцияней

втоточкааяединственнонактфункцииминимуматочках

)(' xf

)(xf

8802)0(' f

III способ решения:

aaа

формулепофункцииюпроизводнуНайдёмxх ln)'(

208

2208

208

2

2

2

22ln)82('

)'208(2ln2'

)'122('

xx

xx

xx

xy

xxy

y

Найдём критические точки

4

82

082

02..,0202ln

..022ln)82(..,0)('208

208

2

2

x

x

xзначит

кт

ктxетxytxx

xx

Подсчитаем знаки

4122122)4( 4204842

yзначениеНаименьшее

022ln)802()0(' 2082

xxy

)(' xy

)(xy

Домашнее задание

Найти наибольшее значение функции

22 66 2

xxy

6.Логарифмическая функция.

(Выполнили Тишкин И. и Щеблетов С.)

• ОДЗ: х>0• y`=(7-7x+ln(7x))`• y`=-7+• y`=0•            =0

3

1;

13

1

x

1

x

x 17

07

1,

0

17,

0

017

x

x

x

x

x

x

•y(  ) ≈ 0,3

•y(  )=7- 1 + 0 = 6

•ymax= 6•Ответ:6

3

1

7

1

21

7

21

3

7

1

13

1

91

13

91

7

3

1;

13

1

7

1

13

1

7

1

• ОДЗ: x>0• y`=(x2-2lnx+1)`• y`=2x-• 2x-   =0• 2x2-2•     x• 2x2-2=0        2x2=2       x2=1     x=-1 или x=1• x≠0               x≠0           x≠0      x≠0• -1 не подходит  т.к. X>0• 1  [0,3; 3,3]⊂

x

2

0

x

2

• y(1)=12-2ln1+1=1-2.0+1=2 

• y(0,3)=0,32-2ln3  +1=0,09+2+1=3,09

• y(3,3)=3,32-2ln33+1=10,89-2+1=9,89

• ymin=y(1)=2

• Ответ:2

3

1

   Найдите наименьшее значение функции     y=5x-ln(x+5)5     на отрезке [-4,5; 1].

8.Решение задач методом математического моделирования.(I)

(Выполнил Иванов С.)

Задача

•   Найти размеры автомобильной стоянки прямоугольной Найти размеры автомобильной стоянки прямоугольной формы, имеющую наибольшую площадь.формы, имеющую наибольшую площадь.

A B

D C

X

y

PABCD=200 М,

AD=x

DC=y

Решение

PPABDCABDC=(x+y) 2 = 200=(x+y) 2 = 200

x+y=100, x+y=100, отсюдаотсюда y=100-x, 0<x<100 y=100-x, 0<x<100

S=xy=x(100-x)=100x-xS=xy=x(100-x)=100x-x22

•                    Найдём производную:• S|(x)=(100x-x2)|=100-2x.

• Найдём наибольшее значение функции S(x)=100x-x2 на интервале (0;100)

• S(x)=0•            Найдём критические точки функции (f(x)=0):• 100-2x=0• x=50

• Найдём значение функции на концах отрезка и в критических точках:

• S(0)=0                   S(50)=2500               S(100)=0

• Значит, стороны стоянки 50м и 50м.

8.Решение задач методом математического моделирования.(II)

(Выполнил Бодничук В.)

Задача: Точка Р означает Задача: Точка Р означает местонахождение буровой вышки, местонахождение буровой вышки, прямаяпрямая l l – шоссе, В – населенный – шоссе, В – населенный пункт, РА=9км, АВ=15км. РМ пункт, РА=9км, АВ=15км. РМ велосипедист проехал со велосипедист проехал со скоростью 8кмскоростью 8км//ч, а МВ со ч, а МВ со скоростью 10кмскоростью 10км//ч.ч.

Нужно найти расстояние АМ и МВ Нужно найти расстояние АМ и МВ

Решение:Решение:

Пусть Пусть tt  –– время движения курьера из точки Р  время движения курьера из точки Р в точку В.в точку В.

Нужно найти Нужно найти tt наименьшее. наименьшее.Обозначим АМ через х, где 0≤х≤15, так как 15 Обозначим АМ через х, где 0≤х≤15, так как 15 эта вся длинна прямой АВ. эта вся длинна прямой АВ. 

По рисунку мы видим что прямоугольник  (РАПо рисунку мы видим что прямоугольник  (РАMM) прямоугольный,) прямоугольный,Т.е по теореме Пифагора можно найтиТ.е по теореме Пифагора можно найти

Этот путь велосипедист проезжает со скоростью 8кмЭтот путь велосипедист проезжает со скоростью 8км//ч.ч.Т.е. время которое он затратил на этот путь равноТ.е. время которое он затратил на этот путь равно

  Это время движения по отрезку дороги РМЭто время движения по отрезку дороги РМ

222 81 xАМРАРМ

8

81 2

1

xt

МВ=15-х, этот путь велосипедист проезжает МВ=15-х, этот путь велосипедист проезжает со скоростью 10кмсо скоростью 10км//чч

На этот отрезок пути велосипедист затратил На этот отрезок пути велосипедист затратил временивремени  

Т.е. Т.е.  10

152

xt

2t

)10

15()

8

81(

2 хxt

Суммарное время движения велосипедиста равно

Найдем производную:

)( 21 tt

10

15

8

81 2| хxt

Найдем критические точки, т.е. Найдем критические точки, т.е. t =0t =0

Значения х принадлежит отрезку Значения х принадлежит отрезку [0;15][0;15]

12

3*4

81*169

)81(*1625

8145

010

1)81*8/(

)1(*10

12*)81(*

2

1*

8

1

2

22

2

2

2

12|

х

х

х

хх

хх

хх

ххt

Найдем значение Найдем значение tt от 0, 12, 15 от 0, 12, 15                                                  

Т.е. АМ=12 км.Т.е. АМ=12 км.МВ=15-12=3 км.МВ=15-12=3 км.Ответ: АМ=12 км. а МВ=3 км.Ответ: АМ=12 км. а МВ=3 км.

40

3065

10

1515

8

1581)15(

)12(40

87

10

3

8

15

10

1215

8

1281)12(

40

105

80

12090

10

15

8

9

10

15

8

81

10

015

8

081)0(

2

2

2

t

t

t

t

- - наименьшее значениенаименьшее значение функциифункции

Домашнее задание

• Площадь прямоугольного участка земли 64 см2. Каковы его стороны, если периметр наименьший?

Оценка самого себя.1) На уроке мне было интересно:

o да               o нет                o затрудняюсь ответить

2) Я присутствовал в хорошем настроении:o да              o нет                o затрудняюсь ответить

3) На уроке я больше люблю работать:o с помощью учителя               o самостоятельно          o с помощью  одноклассника

4) Мне нравится выполнять задания:o простые и понятные         o сложные и интересные       o творческие    и оригинальные

5) Большую часть времени на уроке:o активная работа               o думаю о своем          o ждал окончания  урока

6)Темп работы на уроке был для меня:o слишком быстрым     o нормальным          o слишком медленным

 

3 пути ведут к знанию:

• Путь размышления   самый благородный.• Путь подражания – легкий.• Путь опыта - горький