情報科学演習Ⅲ　 今井研究室　課題説明会

２００５年４月８日

今井研究室の研究 アルゴリズムの可能性と限界の究明

量子計算・情報 計算量理論

アルゴリズムの構築 計算幾何 計算代数

現実世界のモデル化と解析 交通量解析 ネットワークの解析 組み合わせゲーム理論

関連する研究会・国際会議・プロジェクト 研究会

情報処理学会アルゴリズム研究会 電子情報通信学会コンピュテーション研究会

国際会議 ＳＴＯＣ・ＦＯＣＳ・ＩＣＡＬＰ・ＳＴＡＣＳ・ＩＳＡＡＣ・ＣＯＣＯＯＮ・…

プロジェクト ＥＲＡＴＯ　今井量子計算機構 特定領域研究　新世代の計算限界

演習Ⅲでやってもらうこと 研究をするにあたって基本的な方法を身につける 文献を探す、調べる（図書室、インターネット）

分かりやすく発表する 研究テーマを見つける能力を養う

既存研究のサーベイ その分野で何が問題となっているか？ 何を研究すればよいのか？

演習Ⅲの日程 毎週水曜日 13 ： 00 から２１４にて行い

ます 他の授業等がある場合には別の日程を設定します

１週目　テーマ設定 各期開始頃にメールで連絡します テーマが決まっている人は、あらかじめ演習Ⅲ担当

者の上野 (kenya@is.‥) まで教えて下さい 質問はメールまたは研究室（３１１・３１４）へ

２週目～４週目　研究の進行状況を発表

演習Ⅲ：研究テーマ CPU 実験の理論計算機科学的な側面 交通流解析 線形計画の一般化：有向マトロイド計画と線形相補性

問題 対称性の発見と対称性を利用した計算の高速化 LDPC 符号の実装と性能評価 ゲーム・パズルの難しさの解析 量子計算・情報プロジェクト

ＣＰＵ実験の理論計算機科学的な側面計算量理論∨グラフ描画∨データ圧縮

上野　賢哉（修士１年）

ＣＰＵ実験 論理回路を組み合わせてＣＰＵを作成

回路サイズを小さくしてクロックアップ コンパイラでプログラムを機械語に変換

実行時間を短くするために最適化 レイトレを自分たちのＣＰＵで動かす

理論計算機科学的な観点から見てみると…

論理回路とチューリングマシン

ＣＰＵ実験⇒ 論理回路

計算量理論⇒ チューリングマシ

ン

AND

OR

AND

計算量理論における論理回路 論理回路とチューリングマシンは一見異なるようで、実は密接に結びついている

論理回路が、計算量理論において非常に重要な役割を担う 並列計算量など

研究テーマ例 計算量理論における論理回路の研究

ＶＬＳＩフロア計画

研究テーマ例 グラフ描画のアルゴリズムの研究、実装 ＣＰＵの生成において使われているアルゴリズムの調査、改良（論理回路の最小化、配置問題、配線問題、長方形詰込問題、…）

２０

３０

１０１０

１５

レイトレによる画像の生成物体データ（小さい）

-70.0 35.0 -20.0 20.0 30.01 50.0 50.0255.00 1 1 0 20.0 20.0 65.0 0.0 20.0 45.0

1.0 1.0 250.0 128.0 210.0 0.00 3 1 0 25.0 40.0 70.0 0.0 0.0 40.0

1.0 1.0 250.0 128.0 210.0 0.00 3 1 0 0.0 30.0 30.0 0.0 -5.0 0.0

　　 -1.0 1.0 250.0 128.0 211.0 0.00 1 1 0 20.0 10.0 30.0 0.0 -10.0 80.0

1.0 1.0 250.0 128.0 211.0 0.0………

レイトレ画像（大きい）

同じ情報を表現している！

データ圧縮アルゴリズムアルゴリズム的情報理論文字列の持つ情報量をそれを生成する最小のプログラムとして定式化

例010101010101010101⇒Print(’01’)×9110101011010110111⇒？？？

究極のデータ圧縮アルゴリズム 与えられた文字列に対してそれを生成する最小のプログラムに変換

プログラムサイズを小さくするコンパイラの最適化

現実的には難しい　⇒最小の文脈自由文法に変換

研究テーマ例 Grammar-based Compressionの最近の論文の購読

ＢＷ変換、ＬＺＷ法、算術符号といったデータ圧縮アルゴリズムの研究、実装

情報科学演習Ⅲ---交通流解析 ---

中山　裕貴（博士２年）柴田　輝之（修士２年）

ITS（ Intelligent　Transport　 System) 最先端の情報通信技術を用いた新しい交通システム ナビゲーションシステムの高度化 自動料金収受システム （ ETC） 安全運転の支援 交通管理の最適化→旅行時間の推定 道路管理の効率化→道路状況の把握 緊急車両の運行支援　　など９つの開発分野（国土交通省）

ＩＴＳ関連の研究分野 公共交通の支援

公共車両優先システム（ PTPS）

バス到着時刻予測システム 車両ではなく、歩行者を

ナビゲーション（携帯電話の利用）

location-based search ( 位置情報サービス )

ある場所について近辺の情報を得る

路側機（インフラ）

車両

センター

インフラ整備（路側機・路車間通信）と車車間（利用者間）通信

車両 車両

研究の目標

車両の軌跡データは、毎秒における車両の緯度・経度（及び地図上の点）、速度、

進行方位等で構成されている。

新しいシステムを

発案していく

　GPSやカーナビゲーションシステムによって

得られた車両の軌跡データを基に、輸送効率や安全性等を改善するといった、

ドライバー等にとって有益な分析結果を得るためのアルゴリズムの検討を行う。

ＧＰＳによる車両軌跡データ

速度と方位（ 0と 65536が北、32768が南）から

左折しているとわかる

毎秒の軌跡が地図上に

プロットされる

基本的に毎秒東西約 3.09 ｍ南北約 2.54 ｍの格子点

有効桁は１の位まで（小数部は常に０）

16方位

今までに行われてきた研究の例 同一バス路線を走行している多数の

軌跡データを比較する。 渋滞の始点や終点を判定する。または、

渋滞中であるかどうかの基準を作成する。　（軌跡データに対応するビデオによって、正解を確認することができます。）

交差点や停留所、料金所といった地点における軌跡データの特徴を読み取る。

ＧＰＳデータの補完を行う。

研究例停止位置分布の比較と仮説（１）

同一経路を走るバスの軌跡データについて、速度０のものに注目する。

停留所と信号（交差点）ではその分布の特徴に違いがあるだろうか？

停留所

ポールはこの辺り？

左右（実際は前後）

対象の分布を予想

研究例停止位置分布の比較と仮説（２）

交差点

待ち台数をポアソン分布から予想

車両の列ができる

同一経路を走るバスの軌跡データについて、速度０のものに注目する。

停留所と信号（交差点）ではその分布の特徴に違いがあるだろうか？

停止線の予想

研究例渋滞中の速度変化

最高速度が低い

走行時間が短い

基準値（閾値）は？

５分間の平均だったら？直前１ｋｍの平均だった

ら？

線形計画の一般化：有向マトロイド計画と線形相補性問題

森山 園子（助手） , 中山 裕貴（博士２年）

{moriso,nak-den}@is.s.u-tokyo.ac.jp

線形計画問題の一般化

線形計画問題

２つの方向での一般化

線形相補性問題 有向マトロイド計画g

f1 2

34

(0++0 ++)

(+0+0 ++)

I -M q

w1…wn z1…zn

forall i, wizi=0

線形相補性問題(Linear Complementarity Problem)

線形計画問題を主・双対の両面から見る

線形相補性問題は線形計画問題を含む

有向マトロイド計画(Oriented Matroid Program)

有向マトロイドとは、マトロイドに符号を付加したもの

半球上の各領域を、コベクトルで表す 具体的な値の情報は抜け落ちる

全制約を満たしつつ、最適なコサーキットに辿り着くまでコベクトルの合成 (=pivot 選択 ) を繰り返す

g

f1 2

34

(0++0 ++)

(+0+0 ++)

符号の集合：各制約について、対応する超平面より正（負）の側にあれば+(-)、超平面上なら 0

の台集合

の台集合

OPT

課題の例 今回あげた２つの一般化について、論文の講読を行う

２つの一般化の共通点、相違点は・・・？ 余裕があれば実装なども

他に最適化問題・マトロイド関係でやりたいことがあれば、それも歓迎します

二次計画問題など、様々な最適化問題の解法 有向マトロイドの実現可能性 etc…

対称性の発見と対称性を利用した計算の高速化

伊藤剛志 （博士 2 年）tsuyoshi@is.s.u-tokyo.ac.jp

対称性と計算効率

普通に解こうとすると 23=8 通りの可能性

x と y と z は同じ立場だから、実質 4 通りの可能性• 0 個が真の場合 ו 1 個が真の場合 ו 2 個が真の場合 ○ (x,y,z)=(F,T,T), (T,F,T), (T,T,F)• 3 個が真の場合 ○ (x,y,z)=(T,T,T)

例 : SAT の解を全部求める

人手で解くなら・・・・・・

インスタンスの対称性

C1節

リテラル z z置換 で不変

グラフを変えない置換の全体 : 自己同型群自己同型群の計算 : 今のところ多項式時間では無理ただし多くの場合に実用的に使えるアルゴリズムが存在

yy x xy yx x

C2C3C3C2

対称性の利用 : symmetry breaking

対称な解のうち一方だけが残るように条件を追加→ 探索空間が小さくなり高速化

困難な点 : 対称性の発見・利用のためにかかる時間

演習の内容対称性の発見と利用のどちらかについて文献講読

その他自由に、例えば• SAT 以外の問題 （列挙問題など）• アルゴリズムの実装• アルゴリズムの提案

講読文献の例 P.T. Darga, M.H. Liffiton, K.A. Sakallah and

I.L. Markov:Exploiting structure in symmetry detection for CNF,In Proc. 41st Design Automation Conf. (DAC’04),pp. 530–534, 2004.http://vlsicad.eecs.umich.edu/BK/SAUCY/

F.A. Aloul, K.A. Sakallah and I.L. Markov:Efficient symmetry breaking for boolean satisfiability,in Proc. 18th Int. Joint Conf. on Artificial Intelligence(IJCAI’03), pp. 271–282, 2003.http://www.eecs.umich.edu/~faloul/Papers/faloul_ijcai03.pdf

LDPC 符号の実装と性能評価

長谷川 淳（博士 1 年）hasepyon@is.s.u-tokyo.ac.jp

誤り訂正符号 通信路で生じた誤りを受信側で訂正する技術 無線，有線，光・磁気記録システムで使用

例（ 1 ビットを 3 ビットに符号化， 1 誤り訂正 [3,1]符号）

情報 0を送りたい

送信側 受信側

通信

0100

符号化： 0 を 000 に 1 を 111 に

符号化

000

復号化

000 0

誤り訂正： 000 か 111 に近い方に訂正

誤り訂正符号の遷移 多項式時間復号アルゴリズムの構成が難しい

これまでの主流：代数に基づく 連接符号（リード・ソロモン符号）

次世代符号：ランダム性と特殊な復号法 LDPC 符号 + sum-product 復号法

衛星デジタル・テレビ放送（ DVB-S2）で採用 ターボ符号 + ターボ復号法

第 3世代携帯電話「 FOMA」などで採用

LDPC （ Low Density Parity Check ）符号 [Gallager, 1963] [n,k] 正則 LDPC 符号

n-k 行 n列の検査行列 H のどの列のハミング重みも定数 wc，どの行のハミング重みも wr なランダムな符号

特徴 十分長い n に対して，シャノン限界（伝送レートの上限）

に近い性能を発揮

様々な符号長，符号化率の符号を容易に構成可能 sum-product復号法により，線形時間で復号可能 sum-product復号法は並列実装にも適している

100011010000

010000101010

001100000101

110000000011

000000111100

001111000000

H

例： [12,6] 正則 LDPC 符号wc=2, wr=4

1 の個数が O(n) 個

演習 3の課題 LDPC 符号の実装

パラメータ n による伝送率比較 2 通りの構成法 (Gallager, Mackay) による比較 復号化アルゴリズムの工夫

ターボ符号やリード・ソロモン符号との性能比較

演習 3テーマゲーム・パズルの「難しさ」の

解析

1 人ゲーム(パズル） 2 人ゲーム

手数が多項式程度

お絵描きロジック

スリザーリンクNP 完全

オセロPSPACE 完全

手数が指数的

倉庫番ラッシュアワー

PSPACE 完全

将棋チェス

指数時間完全

組合せ的ゲーム・パズルの計算量

課題案 (1)ゲーム・パズルの「計算量」の

解析「あのゲーム（パズル）の計算量が知りた

い！」 そのゲームの計算量を調べる そのゲームの特別な場合の計算量を調べる そのゲームの別解問題の計算量を調べる

課題案 (2)組合せゲームの解析の数学的理

論ニム（三山崩し）は簡単に解析できる

Grundy-Sprague の理論：全ての非党派的ゲームはニムに変換できる

この理論および関連研究の文献を読む

ある局面が先手必勝 ⇔ 各山のサイズのビット XOR が 0 でない

課題案 (3)その他諸々

計算量理論に頼らないゲームの難しさ (面白さ）の評価

パズルに関して何か・・・

計算量理論に関して何か・・・

量子計算・量子情報プロジェクト

フランソワ・長谷川・乾・西鳥羽

情報処理技術のトレンドと量子情報処理展望量子暗号 量子計算

・行政・防衛等での機密情報通信・高額な電子商取引・医療・遺伝子情報のオンライン化　 etc.

(1) 現代暗号の安全性の限界

単一光子の量子状態に符号化し、無条件安全性を保証する量子暗号

スパコン

65TFLOPS

ﾎﾟｽﾄ地球ｼﾐｭﾚｰﾀ

PFLOPS

(1) 現在の情報処理の原理的限界 超高速化への壁：微細加工の限界

(2) 超高速計算への要求

・装置の巨大化 ・電力の増大 ・ LSI の速度限界

(2) 高いネットワークセキュリティ要求 技術の進歩による解読の危険性

・環境、気象、分子設計（製薬）、構造解析、・・　　社会的・産業的インパクト

政府機関

企業　　 　

住基ネット DB ・サーバなど

量子 NW 　

量子ネットワーク

量子並列性を用いた桁違いに高速な量子ｺﾝﾋﾟｭｰﾀ

　　医療機関

Q

Q

大学・研究機関

量子分散処理

Ex. たんぱく質構造解析

匿名リーダ選挙の量子分散アルゴリズム背景•コンピュータネットワークの自律分散 ⇒ 匿名リーダ選挙問題が基本古典計算で既知の事実• 有限時間かつ誤り無しの古典計算で解くことは不可能　 ( 不可能性証明存在 )

匿名リーダ選挙問題計算機同士でリーダ役を自律的に選出　

通信・計算

ネットワーク　

リーダ　

ネットワーク　

Tani, Kobayashi, Matsumoto (ERATO 2005) 　

失敗確率

経過時間

本手法(量子ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑ）　

従来手法（非量子ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑ）　

この時刻にリーダが必ず決定

匿名リーダ選挙問題を、有限時間かつ誤り無しで解く量子ｱﾙｺﾞﾘｽﾞﾑを開発

この研究の面白さ• 量子計算の存在理由：

– 「古典計算で不可能なことを 量子計算で可能にする」これを具現化、量子計算研究の raison d’etre たりうる

• 日本発の量子アルゴリズム– こういったことも国際レベルで大切

演習 III テーマ– 原論文をヒントに、小規模パス・リング・完全グラフ等で匿名リーダ選挙を誤差なしで実現する量子プロトコルを開発する（ K2, K3 の場合も十分に面白いー回路最適化に通じる )

• S. Tani, H. Kobayashi and K. Matsumoto: Exact Quantum Algorithms for the Leader Election Problem. Lecture Notes in Computer Science, Vol.3404 (2005), pp.581-592. (今井研 OB です )

• その他：量子計算・量子情報に関する研究– 最短格子ベクトル問題への量子アルゴリズムによる挑戦– 量子誤り訂正符号の設計 ー　 LDPC 符号プロジェクトと関係