第七章偏微分方程

浙江大学实用数值计算方法 1

第七章偏微分方程7.1 一般介绍7.2 一阶双曲型方程的差分求解法7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法7.4 一阶双曲型方程的线上求解法7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法7.6 二阶椭圆型方程的有限元求解法7.7 二阶椭圆型方程的加权残差求解法7.8 二阶抛物型方程的差分求解法7.9 二阶抛物型方程的线上求解法7.10 二阶双曲型方程的特征线求解法


7.1 偏微分方程的一般介绍 Partial Differential Equations(PDEs)

• 自变量数至少 2 个

,,,,

0,,,,,,,,,,

2

2

2

yxuu

xuu

yuu

xuu

uuuuuuyxFyxuu

xyxxyx

yyxyxxyx

• 阶数方程中导数的最高阶数

0

0

03

3

yyyx

yxx

yx

uu

uu

ubu

三阶二阶一阶

• 性态以一阶方程为例

0 cubua yx


7.1

yyxyxxyx

yx

yxyyxyxx

yx

yx

yx

yx

uuuuuuyx

uuuyxyxCBA

FuEuDuCuBuA

uu

xuuu

buu

uuuyxuyx

yxyxccyxbbyxaa

cba

,,,,,,,:

,,,,:,:

:,:,:

0:::

0

0

0

,,,,,,

,,,,,,

,,

2

2

：

对二阶方程

例

为常数

非线性拟线性线性

NonlinearrQuasilinea

Linear




7.1

• 类型一阶栓区型方程

xt

yx

uvu

cubua

0 流动方程Advection Equation(AE) 二阶线性方程 0 GCuBuAu yyxyxx

ellipticACB 椭圆型042

方程，传热方程

方程

Laplaceuu

Poissonyxfuu

yyxx

yyxx

0

,

parabolicACB 抛物型042

方程

扩散方程

BurgeruKuuu

uu

yyyx

yyx

hyperbolicACB 双曲型042

波动方程yyxx uu


7.1

• 求解方法有限差分法 Method of Finite Differences (MFD)

特征线法 Method of Characteristics (MOC)

线上求解法 Method of Lines (MOL)

有限元素法 Method of Finite Elements (MFE)

加权残差法 Method of Weighled Residuals (MWR)

• 问题收敛性 Convergence

当采取的步骤趋于无限时，数值结果是否趋于理论值？

稳定性 Stability

在某一步引入的误差，经多步数值计算后，会扩大或抑制？dxdy

xy

k

k

eyy

eyy

1

1


7.2 一阶双曲型方程的差分求解法0

xuv

tu

或称流动方程 Advective Advection Equation (AE) v 为流速因子该方程的介折解

vtxfu

dwdu

xw

dwdu

xu

dwduv

tw

dwdu

tu

vtxwwfu

,因为

求具体解时需要提供 2 个辅助条件 vtxftxu

vtxftxu

00

00

,,


7.2

assuming the forcing function is a Rump

The solution of is shown below.

sW

WssW

W

Wf

,0.0

0,1

0,0.1

0 xt vuu

wf

W0s

0.1

0.0

u

t

x

0tt 0xx

jx

nt

ntt

jxx tvx

txu j ,

txu ,0

0, txu

ntxu ,

图 7.1 Propagation of the Wave Front


7.2.1 最简单的差分化格式构想

t

x0x 1jx jx 1jxx

1nt

nt

0t

t

tbxtuxaxtuxuv

tu

0

0

,,

xjxx j 0

tnttn 0

211

,

1

,

2xO

xuu

xu

tOtuu

tu

nj

nj

nj

nj

nj

nj

xuu

vtuu n

jnj

nj

nj

211

1

nj

nj

nj

nj uu

xtvuu 11

1

2

1 nn

图 7.2


7.2.1

以上方法称为时间镶嵌空间中心的差分表达 Forward Time Centered Space

FTCS represetation

实际上这个方法不能用：不稳定的方法 Unstable Method

考虑数据误差 r

由于原方程为线性，故误差的传播关系

是与原方程完全相同的差分方程差分方程独立解的一般形式 Independent Solutions of Difference Equations

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj ruru

xtvruru 1111

11

2

nj

nj

nj

nj rr

xtvrr 11

1

2

xjkir

xjkirnn

j

nnj

exp

exp11

FactorionAmplificat称为放大因子是否上升序列决定 ,,,,,, 1110 n

jnj

njjj rrrrr


7.2.1

线性微分方程的解

xFQydxdyP

dxyd

2

2

xFQyDyPyD 2

应为补充解和特殊解之和补充解系由下式求出 0

0

0

21

2

2

yPDPDyQDPD

QyDyPyD

equationauxiliaryQPxxPP 的两个根为方程式 0, 2

21

00 21 yPDyPD补充解系由两个独立解组成

xPAyxPAy 222111 expexp

为复数时当 iPQP

yPxPPADy

4

exp2

111111

pyyyy 21

决定。由解，特殊解解组成的补充为微分方程的两个独立

xFyyy

p

21


7.2.1

差分方程的解可用算符运算方法 Operator Calculus 导出差分算符 Difference Operator

jjjjj

jjj

xfxfyyy

xxx

11

1

jjjjj Eyyyyy 11

,1 E

22

21

1

jj

jj

jj

yyE

yEy

yEy

它和微分算符一样，是一种线性算符用于线性二阶差分方程

xFQyPyy nnn 12

和微分方程类似，它的补充解可由下式得到

0

0

0

21

2

12

n

n

nnn

yPEPEyQPEE

QyPyy


7.2.1 故补充系由两个独立解组成（ Independent Solutions ）

0

0

2

1

n

n

yPEyPE

两个独立解为n

nn

n PAyPAy 2211 21

nnnn

n yPEyyPPAy ,1

1因为：nn

n PAPAy 2211

ixiPQP exp42 时，当 xniAy n

n exp 差分方程的一个独立解（ Eigenmode ）

nn

nn

nnn

n

PyEyinxAixpy

xniAyEy

aaaiaa

aiaaiaia

naaaa

expexp

1exp

!5!3!4!21

!4!3!21exp

!!21exp

11

5342

432

2


7.2.1 差分方程独立解的一般形式 inxAy n

n exp

用于本题的情况 xikjr

xikjrnn

j

nnj

exp

exp11

乘以随时间坐标的推进不断njr

FactorionAmplificat“ ”称为放大因子

时，为不稳定。当 1

将独立解代入差分表达式 n

jnj

nj

nj rr

xtvrr 11

1

2

得到

xkixtv

xikxikxtv

xikjxjikxjik

xtv

xjikxjikxtvxikj

nn

n

sin22

expexp2

exp1exp1exp

21

1exp1exp2

exp1


7.2.2 差分格式的改进

的条件是

使

相应的放大因子为：

格式为：得到的差分

而代之以

不用

1

sincos

221

21

2

11111

11

i

XkxtviXk

uuxtvuuu

uu

u

MethodLax

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

nj

1xtv

Courant Condition

t

x0x 1jx 1jxjx

nt

0t

1nt

I

Rtk

1xtv

图 7.3

图 7.4


7.2.2

Courant 条件的物理意义波形传递系沿 x=vt 线t 节点的选取• 当节点取在线上：

• 当节点取在线外：

• 当节点取在线内：

Lax 差分格式也写成以下形式

可以看成为以下偏微分方程的 FTCS 差分式

1,2

xtv

vxt

不稳定1,3

xtv

vxt

稳定1,1

xtv

vxt

tuuu

xuu

vtuu n

jnj

nj

nj

nj

nj

nj 1111

1 221

2

2

22

xu

tx

xuv

tu

dissipative term 耗散项Numerical Viscosity 数值黏度

t

x1jx jx 1jx

x

nt1t

3t2t

图 7.5


7.3 一阶双曲型方程的特征线求解法Method of Characteristics (MOC)

dyyudx

xudu

yxu

AyuBC

xu

yxCBA

的全微分

线性的函数，可以是

,

,,,

dyyudx

AyuBC

du

CyuB

xuA

0

AduCdxyuBdxAdy

这是原方程的转换方程，它们的解相同。为原方程的特征线方程0 BdxAdy

yxFAB

dxdy ,

在特征线上，满足的为解。0 AduCdx


7.3.1 Method of Characteristics (MOC)

yxFdxdy ,

yxGdxdU ,

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

,

,,,,,,,

,

,,,,

10

11110

00100

01000

10

0

njnn

j

j

n

n

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

yxGdxdu

yxuyxuyxu

yxFdxdy

yyyyxxyx

积分，可以得到再对

条件轨迹。根据给定的初始

线的积分可以得到一族特征方程

作为初值，对常微分别由

时，分从平面上在

y

x

ny

1y

0yy

x0,0u

yxu ,

0x jx1x

图 7.6


7.3.1 Method of Characteristics (MOC)

yxFdxdy ,

yxGdxdU ,

y

x

ky0

01y

00yy

x0,0u yxu ,

0x jx1x

ky1

11y

10y

jky

0jy

1jy

kL

0L

1L

,2,1,0,

,

,,,, 001000

kL

yxFdxdy

yyyxxyx

k

k

到一族特征线的轨迹

积分可以得程作为初值，对常微分方

时，分别由平面上，从在

,,,,,,,,,:

,,,,,,,,,:

,,,,,,,,,:

221100

12121110101

02021010000

jkjkkkk

jj

jj

yxyxyxyxL

yxyxyxyxL

yxyxyxyxL

图 7.7


7.3.1

故积分上式，可以得到

，满足常微分方程因为在每一条特征线上

可以计算出根据给定的初始条件，

yxGdxdu

yxuyxuyxuyxu

k

,

,,,,,,,,,

00010000

0

,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,,,

1100

1111010

0101000

jkjkk

jj

jj

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

yxuyxuyxu

进行插值计算。方向上对函数值则还应进行上的解，方向上也规则的离散点此，若需要知道

上。因方向不规则的离散点是定义在

方法求得的离散解由此可知，用

uyy

yxy

yxuMOC

jkj

jkj

,

,


7.4 一阶双曲型方程的线上求解法Method of Lines (MOL)

有限差分法：偏微分方程完全离散成为一组差分方程用线性代数方程组求解线上求解法：偏微分方程部分离散成为一组常微分方程用常微分方程积分方法求解

CxuB

tuA

nixu

AB

AC

dtdu

nixxtgtxuxftxuxu

AB

AC

tu

tx

i

i

i

,,1,0

,,1,0,,

,

,

0

0

得到常微分方程组：轴离散化，将


线上求解法 Method of Lines (MOL)

nitutxu i ,,1,0,, 视为把部分离散化方法

t

x0x ix nxx

1t

0tt

线间距

积分步长

。常微分方程组的数值解分方法计算然后用任何一种数值积

各种差分，样条，的近似值。

导方法得到：可以用任何一种数值求

为已知。或初始条件

xu

tutxu

i

ii

00,

nixu

AB

AC

tu ii ,,1,0

7.4

图 7.8


7.5 二阶椭圆型方程的差分求解法02

2

2

2

yu

xu

称为稳态热传导方程，通式为

• Dirichlet 问题

• Neumann 问题

算符称为

方程称为

Laplacex

Laplaceu

k k

2

22

2 0

02

2

2

2

yu

xu

02

2

2

2

yu

xu

yfyxu

yfyxuyfyxuyfyxu

n

m

41

301

2

10

,,,,

ygxu

ygxu

ygxu

ygxu

n

m

y

y

x

x

4

3

2

1

0

0


y

x

ny

0y

jy

0x ix mx

xfyxu n 4,

xfyxu 30,

02

2

2

2

yu

xu

yxQ ,

u(x m

,y)=

f 2(y)

u(x 0,y

)=f 1(y

)

xgyu

y3

0

xgyu

ny4

xgyu

mx2

xgyu

x1

0

Laplace 方程的 Dirichlet 边界条件和 Neumann 边界条件和 Poisson 方程方程Poisson

yxyu

xu ,2

2

2

2

边界条件也需 4 个，有 3 类给定方法• Dirichlet 边界条件• Neumann 边界条件• 混合边界条件

7.5

图 7.9


7.5.1 Laplace 算符的差分表达02

2

2

22

yu

xuu

简化表示为

级数导出。精度可由二阶导数的差商表示及

24

''2

44

3'''

2''

'

44

3'''

2''

'

122

2462

2462

hfxfh

hxfxfhxf

hfhxfhxfhxfxfhxf

hfhxfhxfhxfxfhxf

Taylor

iiii

iiiiii

iiiiii

22

11'' 2 hOh

ffff iiii

用于 Laplace 算符

211

2112

,,2,

,,2,,

yyxuyxuyxu

xyxuyxuyxu

yxu

jijiji

jijijiii

并用简化表示当 ,hyx

jijijijijiij uuuuuh

u ,1,1,,1,122 41


1ix ix 1ix

1jy

jy

1jy

1, jiu

jiu , jiu ,1jiu ,1

1, jiu

011

16111

1

01

1411

1,

2

2

2

2

2

2

22

22

ijk

ij

uh

zu

yu

xuu

uh

yxu

Laplace

在三维空间内

方程的差分表达

7.5.1

图 7.10


例： Laplace 方程的 Dirichlet 边界问题

co0

co0co0co0

co0 co0 co0

co100

y

x

cm10

cm20

5yh

5xh

解得

或

出一个线性方程对每个内部节点均可写

10000

410141014

0400100040004000

3

2

1

32

231

12

TTT

TTTTTTT

cTcTcT

o

o

o

786.26143.7786.1

3

2

1

7.5.1

图 7.11


为了提高精度需要加密网络1 8 15 5 12

2 9 16 6 13

3 10 17 7 14

4 11 18 1 8 15

5 12 2 9

6 13 3 10

7 14 4 11

987654321 151413121110

987654321

100000141000001100000141000001

100000041000001000001410000

10000014100010000014100

1000001410100000141

10000014

5,15121 非零元素数带宽

ha

7.5.1

图 7.12


Laplace 方程 Dirichlet 边界问题的差分求解• 消去法

• 直接迭代 Liebmann 方法

• 相继松弛 S.O.R. 方法

• 交替方向 A.D.I. 方法

04, ,1,1,,1,12 jijijijijiij uuuuuu

411,1,,1,1,

kjijijijikji uuuuu

1,1,,

1,11,1,,1,1

1, 4

kjikjikji

kjikjijijiji

kji

uRuu

uuuuu

uR

1,1,1,

,,1,1,1,

1,1,1,

,,1,11,,

24

24

24

24

kjijiji

kjijijikjikji

kjijiji

kjijijikjikji

uuuP

uuuPuu

uuuP

uuuPuu

7.5.1


7.6 二阶椭圆型方程的有限元素法求 Method of Finite Elements (MFE)

以 Laplace 方程的 Dirichlet 问题为例

根据变分原则Variational

Principles

等价性定理以上方程的解将使以下泛函

为最小。

yxyxgyxu

Dyxyu

xu

,,,,

,,02

2

2

2

dxdyyu

xuuJ

D

22

21

S

D

me D

图 7.13


7.6

将 D 进行剖分，常用的是三角剖分法

对任何一个元素用二原线性函数近似

在三个顶点上

可得到

SDeDm

m ,

yaaayxW e321,

kkk

jjj

iii

Wyaxaa

WyaxaaWyaxaa

321

321

321

kk

jj

ii

kk

jj

ii

kkk

jjj

iii

wxwxwx

ea

ywywyw

ea

yxWyxWyxW

ea

111

21

111

21

21

3

21

其中kk

jj

ii

yxyxyx

e111

2


7.6

X

Y

u

ixjx

kx iy kyjy

yxu ,e yxW ,

i

j

ke

Ui=Wi

Uk=Wk

Uj=Wj

图 7.14


7.6

所以

其中

既然顶点坐标均为规定，所以

并有

kkkk

jjjj

iiiie

wydxcb

wydxcb

wydxcbe

yxW

2

1,

ijkjikijjik

kijikjkijkj

jkikjijkkji

xxdyycyxyxb

xxdyycyxyxb

xxdyycyxyxb

,,

,,

,,

kjie WWWyxW ,,,

kkjjii

eey

kkjjii

eex

wdwdwdey

WyxW

wcwcwcex

WyxW

21,

21,


7.6

使泛函最小的问题，即对

近似为对

求极值，或

因此得到：

可解得

e e

ey

ex

yx

dxdyww

dxdyuuuJ

22

22

21

21

dxdye

wdwdwd

ewcwcwc

wJ

kkjjii

e e

kkjjii

2

2

2

221

nmwJWm

,,2,1,0

rWA nmuw mm ,,2,1,

n 为内部节点数

边界上的 W 为给定


7.6

2

2

121

1

,,

,,cos,cos,

,,,,

,

,,,,

yxyxh

yxuyxhyuyxq

xuyxp

yxyxgyxuDyxyxf

yxuyxryuyxq

yxuyxp

x

对于更为一般性的情况

需要极小化的泛函将是

也可剖分为有限个元素后求解

2

212

222

21,

,,,21

dsuhuhdxdyuyxf

uyxryuyxq

xuyxpuJ

y

x

D

1

2sx

syS

normal

genttan

12

图 7.15


7.8 二阶抛物型方程的差分求解法动态扩散方程

对于一维空间

用差商代替微商，可以有各种选择，例如

所以有

需要另有更方便的方法

tC

DC

12

xgtxC

xgtxCxgtxC

xCD

tC

n 3

20

10

2

2

,,

,,

iixx

jijii

tx

jjtjiji

tx

xxhh

CCCtC

tthhtCC

tC

ji

ji

12,1,1

2

2

11,1,

,2

,2

jijijix

tjiji CCC

hhDCC ,1,,121,1, 22

时的数值和 ji tt 1


7.8

显式方法

得到

或者：

则有：

22

,1,,1

,2

2

,1,

,

2x

x

jijiji

tx

tt

jiji

tx

hOh

cccxc

hOh

cctc

ji

ji

jijijix

tjiji ccc

Dhhcc ,1,,12,1, 2

jijijiji crccrc ,,1,11, 21

2122

2 rDhhhDhr txx

t 时，，当其中

jijiji ccc ,1,11, 21

0x ix 1ix1ix nx x

t

1jt

jt

0t图 7.16


7.8

示例：

取

得到的数值解与以下解析解比较

2.0,20

0,004.00,

119.0 2

2

tctc

xcxc

tc

sec2.67

119.042

sec119.042

2

t

x

h

cmDcmh

1

2

1

2

2012sin1200294.0exp12

10sin01175.0exp20

2,

n

n

xntn

xntnxtxC

饱和蒸汽C2H5OH

32.0,20cmmgtc 304.00, cmmgxc

sec11904.0 2cmD

cm2020 0 x

30.0,0cmmgtc

空气

2cmA

图 7.17


0

1

2

3

4

5

6

840 24201612

%c

cmx 4

cmx 12

Number of time steps

Analytical Solutions

Numerical Solutions

steptimepert

cmxset

cmDxtDr

sec6.334119.025.0

0.4

sec119.0,25.0

2

22

Analytical versus Numerical Solutions

Diffusion Dynamics

r0.25

7.8

图 7.18


0

1

2

3

4

5

6

420 121086

%c

cmx 4

cmx 12

Number of time steps

Analytical Solutions

Numerical Solutions

steptimepert

cmxset

cmDxtDr

sec2.674119.0

5.00.4

sec119.0,5.0

2

22

Analytical versus Numerical Solutions

Diffusion Dynamics

r0.5

7.8

图 7.19


7.8

显式法的稳定性分析

所以jijiji

ji

Wce

tx

,,,

,

时存在误差若在

时，有在

令

所以代入前式，并根据

级数展开

21

0,

,

,

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7.8

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故算法为稳定即 01 jE

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第七章 偏微分方程

第七章偏微分方程