ТЕОРИЯ РЯДОВ

3. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

3.5. Ряды Тейлора и Маклорена.

Формула Тейлора:

20 00 0 0

00

...1! 2!

...!

nn

n

f x f xf x f x x x x x

f xx x R x

n

11

0 0, ,1 !

nn

n

fR x x x x x

n

остаточный член в форме Лагранжа.

где

• Если функция f(x)- бесконечно дифференцируемая в окрестности точки х0 (имеет производные любых порядков) и остаточный член Rn(x)→0 при n→∞, то ряд

20 00 0 0

0 00 0

0

...1! 2!

... ...! !

n nn n

n

f x f xf x f x x x x x

f x f xx x x x

n n

называется рядом Тейлора (разложение f(x) по степеням x−x0)

• Если x0=0, то получим разложение f(x) по степеням х−ряд Маклорена:

2

0

0 0 00 ... ...

1! 2! !

0

!

nn

nn

n

f f ff x f x x x

n

fx

n

Т.е. ряд Тейлора (Маклорена) представляет данную

функцию f(x) тогда и только тогда, когда lim 0nnR x

Если же , то ряд не представляет данной функции, хотя может и сходиться (к другой функции) или даже оказаться расходящимся.

Т.о. вопрос о разложении функции в ряд Тейлора (Маклорена) сводится к исследованию поведения остаточного члена Rn(x) при n→∞.

На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора (Маклорена):

lim 0nnR x

Теорема (*).

Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрестности точки x0 одним и тем же числом М>0, то для любого х из этой окрестности ряд Тейлора (Маклорена) функции f(x) сходится к функции f(x), т.е. имеет место разложение

20 00 0 0

00

...1! 2!

... ...!

nn

f x f xf x f x x x x x

f xx x

n

3.6. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена

Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена нужно:

1) найти производные

2) вычислить значения производных в точке х=0;

3) написать ряд Маклорена для заданной функции и найти его интервал сходимости;

, , ,..., ....nf x f x f x f x

0 , 0 , 0 ,..., 0 ....nf f f f

4) найти интервал (−R;R) , в котором остаточный член ряда Маклорена Rn(x)→0 при n→∞. Если такой интервал существует, то в нем функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.

Таблица, содержащая разложения в ряд Маклорена некоторых функций.

2

3 5 2 1

2 4 2

1 ... ... ;1! 2! !

sin ... 1 ... ;3! 5! 2 1 !

cos 1 ... 1 ... ;2! 4! 2 !

nx

nn

nn

x x xe x

n

x x xx x x

n

x x xx x

n

2 3 1

2 3

ln 1 ... 1 ... 1;12 3 1

1 1 21 1 ...

1! 2! 3!1 2 ... 1

...!

1;1 , 0

1;1 , 1 0

1;1 , 1

nn

n

x x xx x x

n

x x x x

nx

n

x

2

3 5 2 1

3 5 7

2 1

11 ... ... 1;1

1

arctan ... 1 ... 1;13 5 2 1

1 1 3 1 3 5arcsin ...

2 3 2 4 5 2 4 6 7

1 3 5 ... 2 1... ... 1;1

2 4 6 ... 2 2 1

n

nn

n

x x x xx

x x xx x x

n

x x xx x

n xx

n n

Пример 1

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) xf x e

( )

( )

( )

( )

................

( )

.................

x

x

x

n x

f x e

f x e

f x e

f x e

Решение

1) Найдем производные: 2) Найдем значения

производных в точке х=0:

( )

(0) 1

(0) 1

(0) 1

................

(0) 1

.................

n

f

f

f

f

1

1 !1 1lim lim : lim

! 1 ! !

! 1lim lim 1

!

n

n n nn

n n

naR

a n n n

n nn

n

3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости:

2

1 ... ...1! 2! !

nx x x xe

n

т.е. ряд сходится в интервале (−∞;+∞)

;x R R 4) Для всех имеем:

т.е. все производные в этом интервале ограничены одним и

тем же числом Следовательно , по теореме (*)

Таким образом

n x Rf x e e M

2

1 ... ...1! 2! !

;

nx x x xe

nx

RM e

lim 0nnR x

Пример 2

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) sinf x x

( ) sin

( ) cos sin2

( ) sin sin 22

( ) cos sin 32

( ) sin

......................

( ) sin2

......................

IV

n

f x x

f x x x

f x x x

f x x x

f x x

f x x n

Решение

1) Найдем производные:

2) Найдем значения производных в точке х=0:

(0) 0

(0) 1

(0) 0

(0) 1

(0) 0

.................

(0) sin2

..................

IV

n

f

f

f

f

f

nf

3) Напишем ряд Маклорена и найдем его интервал сходимости:

3 5 2 1

sin ... 1 ...3! 5! 2 1 !

nnx x x

x xn

Легко проверить, что полученный ряд сходится на

всей числовой оси, т.е при всех

(используем признак Даламбера, т.к. ряд неполный) ;x

;x R R 4) Для всех имеем:

т.е. любая производная функции по

модулю не превосходит единицы.

Следовательно , по теореме (*)

Таким образом имеет место разложение

sin 12

nf x x n

( ) sinf x x

lim 0nnR x

3 5 2 1

sin ... 1 ... ;3! 5! 2 1 !

nnx x x

x x xn

Метод разложения функций в степенной ряд может быть применен к произвольной функции. Однако в отдельных случаях вычисления и обоснование сходимости могут оказаться очень громоздкими. Разложение некоторых функций в ряд Маклорена можно получить, выполняя те или иные преобразования (сложение, вычитание, умножение, дифференцирование и интегрирование) над имеющимися разложениями .

Пример 3

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) cosf x x

Можно получить разложение cosx, воспользовавшись свойствами степенных рядов:

Продифференцируем почленно ряд:

3 5 2 1

sin ... 1 ...3! 5! 2 1 !

nnx x x

x xn

3 5 7 2 1

sin ... 1 ...3! 5! 7! 2 1 !

nnx x x x

x xn

Решение

Получим ряд, который будет сходиться при том же условии:

или

2 4 6 23 5 7 (2 1)

cos 1 ... 1 ...3! 5! 7! 2 1 !

nnx x x n x

xn

2 4 6 2

cos 1 ... 1 ...2! 4! 6! 2 !

;

nnx x x x

xn

x

Пример 4

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) ln 1f x x

Формула может быть доказана разными способами. Воспользуемся следующим разложением:

Разложим в степенной ряд функцию:

1 2 3

2 3

1 1 1 1 1 1 1 211 1 ...

1 2! 3!

1 ... 1 ... 1;1n n

x x x xx

x x x x x

Решение

2 31 1 21 1 ...

1! 2! 3!1 2 ... 1

...!

n

x x x x

nx

n

Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке

или

0; , 1;1x x

2 3

0 0 0 0 0 0

... 1 ...1

x x x x x xn ndx

dx x dx x dx x dx x dxx

2 3 1

ln 1 ... 1 ... 1;12 3 1

nnx x x

x x xn

(Можно показать, что это равенство справедливо и для х=1)

Пример 5

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) arctanf x x

Воспользуемся следующим разложением: (см. пример 4)

2 4 6 22

11 ... 1 ... 1;1

1n nx x x x x

x

Решение

2 311 ... 1 ... 1;1

1n nx x x x x

x

Заменим х на х2:

Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке

или

0; , 1;1x x

2 4 6 22

0 0 0 0 0 0

... 1 ...1

x x x x x xn ndx

dx x dx x dx x dx x dxx

(Можно показать, что это равенство справедливо и для х=∓1, т.е. при )

3 5 2 1

arctan ... 1 ... 1;13 5 2 1

nnx x x

x x xn

1;1x

Пример 6

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) arcsinf x x

Воспользуемся следующим разложением:

Разложим в степенной ряд функцию, заменив х на −х2:

122 2 22

2

32 2 4 6

1 11

1 1 2 21 1

2 2!1

1 1 11 2

1 3 52 2 2... 1 ...

3! 2 8 16

x x xx

x x x x

Решение

2 31 1 21 1 ...

1! 2! 3!1 2 ... 1

...!

n

x x x x

nx

n

Используя свойства степенных рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке

или

0; , 1;1x x

2 4 6

20 0 0 0 0

1 3 5...

2 8 161

x x x x xdxdx x dx x dx x dx

x

3 5 7

2 1

1 1 3 1 3 5arcsin ...

2 3 2 4 5 2 4 6 71 3 5 ... 2 1

... ... 1;12 4 6 ... 2 2 1

n

x x xx x

n xx

n n

(Можно показать, что это равенство справедливо и для х=∓1, т.е. при ) 1;1x

Пример 7

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

2

( ) xf x e

Воспользуемся следующим разложением:

Вместо х подставим −х2:

Решение

2

1 ... ...1! 2! !

;

nx x x xe

nx

22 4 6 2

1 ... 1 ...1! 2! 3! !

;

nnx x x x x

en

x

Пример 8

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

2( ) cosf x x

Воспользуемся следующим разложением:

Решение

Имеем 2 1cos 1 cos 2

2x x

2 4 6 2

cos 1 ... 1 ...2! 4! 6! 2 !

;

nnx x x x

xn

x

Вместо х подставим 2х:

2 2 4 4 6 6 2 22 2 2 2

cos 2 1 ... 1 ...2! 4! 6! 2 !

n nnx x x x

xn

Таким образом:

2 2 4 4 6 6 2 2

2 1 2 2 2 2cos 1 1 ... 1 ...

2 2! 4! 6! 2 !

n nnx x x x

xn

2 2 4 4 6 6 2 21 2 2 2 2

2 ... 1 ...2 2! 4! 6! 2 !

n nnx x x x

n

2 3 4 5 6 2 1 22 2 2 21 ... 1 ...

2! 4! 6! 2 !

;

n nnx x x x

n

x

Пример 9

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

1( ) ln

1

xf x

x

Воспользуемся следующим разложением:

Решение

Имеем 1ln ln 1 ln 1

1

xx x

x

Вместо х подставим −х:

2 3 1

ln 1 ... 1 ... 1;12 3 1

nnx x x

x x xn

2 3 1

ln 1 ... ...2 3 1

nx x xx x

n

Получаем:

2 3 1

ln 1 ln 1 ... 1 ...2 3 1

nnx x x

x x xn

2 3 4 1

3 5 2 1

... ...2 3 4 1

2 2 22 ... ...

3 5 2 1

n

n

x x x xx

n

x x xx

n

Т.о. 3 5 2 11 2 2 2ln 2 ... ...

1 3 5 2 1

nx x x xx

x n

Очевидно, что ряд сходится в интервале 1;1x

Пример 10

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

( ) 3xf x

Воспользуемся следующим разложением:

Решение

Имеем ln3 ln33xx xe e

Вместо х подставим х‧ln3:

2

1 ... ... ;1! 2! !

nx x x xe x

n

2 32 3ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

3 1 ... ...1! 2! 3! !

;

nx nx x x x

nx

Пример 11

Разложить в степенной ряд Маклорена функцию

1( )

1f x

x

Воспользуемся следующим разложением:

Разложим в степенной ряд функцию:

1

22

3 2 32 3

1 11

1 1 2 21 1

2 2!1

1 1 11 2

1 1 3 1 3 52 2 2... 1 ...

3! 2 1! 2 2! 2 3!

x x xx

x x x x

Решение

2 31 1 21 1 ...

1! 2! 3!1 2 ... 1

...!

n

x x x x

nx

n

Таким образом:

2 32 3

1 1 1 3 1 3 51 ...

2 1! 2 2! 2 3!1

1 3 5 ... 2 1... 1 ... 1;1

2 !n n

n

x x xx

nx x

n

который приводится к виду

2

0 0 1 0 2 00

...n

nn

a x x a a x x a x x

В ряде случаев рассматриваются степенные ряды более общего вида:

2 30 1 2 3

0

... ...n nn n

n

a x a a x a x a x a x

заменой х−х0=t