Ψηφιακη διαμορφωση

1

Χονδρικο διαγραμμα Τηλ/κου Συστηματος

2

Γενικη μορφη διαμορφωμενου σηματος

( ) ( ) cos[2 ( )] ( ) cos[ ( )]cos(2 ) ( )sin[ ( )]sin(2 )

( ) ( ) cos(2 ) ( )sin(2 ), οπου οι συνιστωσες ( )και ( ) ειναι:

( ) ( ) cos[ ( )] In-phase, και ( ) ( )si

c c c

I c Q c I Q

I Q

s t A t f t t A t t f t A t t f t

s t s t f t s t f t s t s t

s t A t t s t A t

n[ ( )] Quadrature-phaset 3

ΔιαμορφωτηςΣυνθεση με Ι και Q συνιστωσες

Μιγαδικη παρασταση του διαμορφωμενου σηματος

)()()](sin[)()](cos[)()()()(~ tjQI etAttjAttAtjststs

4

Επεξηγηση της μιγαδικης παραστασης

5

Παραδειγμα: διαμορφωση με παλμουςτου πλατους, της φασης ή της συχνοτητας

6

Η διαμορφωση-αποδιαμορφωση στο πεδιο των μιγαδικων σηματων

7

( ) cos[ ( )] ( )sin[ ( )]A t t jA t t

( ) ( ) cos[ ( ) ( )] ( ) ( ) sin[ ( ) ( )]A t a t t t jA t a t t t

Ψηφιακη διαμορφωση PAMΟ διαμορφωτης στο πεδιο των μιγαδικων σηματων

8

Ψηφιακη διαμορφωση(με πραγματικα σηματα)

9

ASK και PSKASKbm=1 → cm=abm=0 → cm=b

OOKcm = bm

BPSKcm =exp[jπbm ]==cos(jπbm)+jsin(jπbm)

s(t)=cos[2πfct+πbm]= = cos[2πfct]

g(t)=rectangular

10

Το φασμα ενός παλμικα διαμορφωμενου φεροντοςΣχεση φασματος – μορφης παλμου

11

Το φασμα ενός παλμικα διαμορφωμενου φεροντος

12

Παραδειγματα βασικων παλμων και των φασματων τους για ΡΑΜ

Για τον περιορισμο του φασματος επιδιωκεται η χρηση βασικου παλμου με την μεγιστη δυνατη διαρκεια

13

Τεχνικες Nyquist

1, 0

0, 0( )

k

kx kT

ISI=Intersymbol interference

Εξαλειψη ISI με παλμο μορφης sinc()

0,1

0,0)(k

kkTx

Κριτηρια του Nyquist για μηδενικη ISI

• Οι επικαλυπτομενοι παλμοι δεν θα δημιουργησουν προβλημα στην ορθη εκτιμηση ενος δυαδικου συμβολου αν εχουν μηδενικη τιμη την στιγμη που κανουμε δειγματοληψια του λαμβανομενου σηματος.– Με μαθηματικους ορους, θελουμε ο παλμος να ικανοποιει την

σχεση

οπου k ειναι ακεραιος και Τ η αποσταση μεταξυ συμβολων (=1/R)

• Ικανη και αναγκαια συνθηκη για να ισχυει η πιο πανω σχεση ειναι η:

1, 0

0, 0( )

k

kx kT

( )m

mX f T

T

Συνεπειες των κριτηριων Nyquist για παλμους με φασμα αυστηρα περιορισμενο

• Ο παλμος εχει φασμα Χ(f) με αυστηρα περιορισμενο ΒW.1. Αν BW < (1/2T) δεν υπαρχει παλμος που να ικανοποιει το κριτηριο διοτι... R>2BW

2. Αν BW=1/2T, τοτε μονο ο παλμος με φασμα {X(f)=σταθερα για |f|<BW, και X(f)=0, αλλου} ικανοποιει την σχεση, διοτι...

R = 2BW

Δηλαδη ο παλμος που επιτρεπει μεταδοση συμβολων με ρυθμο 1/Τ χωρις ISI και εχει ελαχιστο ευρος φασματος ειναι ο x(t) = sinc(t/T) . Ο παλμος αυτος ειναι μη πραγματοποιησιμος (διοτι εχει μη μηδε-νικη τιμη για t<0) αλλα τον προσεγγιζουμε με μια καθυστερημενη εκδοχη του, δηλ την sinc[(t-τ)/T], οπου η καθυστερηση τ επιλεγεται ετσι ωστε για t<0 να εχουμε sinc[(t-τ)/T] 0.

-1/Τ -BW BW 1/T f

Σ Χ(f+m/T)X(f)

... ... -1/Τ -BW 0 BW 1/T f

Σ Χ(f+m/T)

......

Συνεπειες των κριτηριων Nyquist για παλμους με φασμα αυστηρα περιορισμενο (2)

3. Αν BW > (1/2T) υπαρχουν οικογενειες παλμων που ικανοποιουν το κριτηριο, διοτι...

R < 2BW

Παραδειγμα παλμων που ικανοποιουν τα κριτηρια του Nyquist ειναι η οικογενεια παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου με φασμα οπως στο σχημα. Για fΔ = 0 εχουμε την προηγουμενη περιπτωση oπου BW=1/2T.

-1/Τ -BW 0 BW 1/T f

Σ Χ(f+m/T)

1/2T

|Χ(f)|

f0 = 1/2T= =R/2

BW

X(f)

......

Οικογενεια παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου

• Περιγραφη στο πεδιο συχνοτητων:

– οπου BW ειναι το απολυτο ευρος φασματος του παλμου

– f0 = 1/2T, f1 = f0 – fΔ, fΔ = BW – f0,

– ο r = fΔ/f0 ειναι ο roll-off factor (συντελεστης αναδιπλωσης)

11

1

(| | )(1/ 2) 1 cos , | |

2

( ) 1,

0, αλλου

f ff f BW

f

X f f f

r=0r=0.5

r=1

f0

r = fΔ/f0

f0 =1/2T = R/2

BW=f0+fΔ=f0(1+r)

Συναρτηση μεταφορας του παλμου υπερυψωμενου συνημιτονου

r=0r=0.5

r=1

r = fΔ/f0

f0 =1/2T=R/2

BW=f0+fΔ=f0(1+r) = =(R/2)(1+r)

fs

Ευρος φασματος παλμων υπερυψωμενου συνημιτονου

• Για το PCM συστημα με ρυθμο παραγωγης δυαδικων συμβολων R

= 1/T, εχουμε:– BW = [(1+r)/2]· R Hz

– r = "rolloff factor", 0 r 1,

• Ειδικες περιπτωσεις:– r = 0, ειναι απλα ο παλμος sinc(.)

– r = 1, ειναι η μεγιστη δυνατη τιμη της παραμετρου r και το φασμα παιρνει την μορφη υπερυψωμενου συνημιτονου

– r = 0.35, ειναι η τιμη που χρησιμοποιειται στα Βορειο-Αμερικανικα ψηφιακα συστηματα κινητης τηλεφωνιας NA-TDMA και CDMA (προτυπο IS-54/136)

r = fΔ/f0

f0 =1/2T=R/2

BW=f0+fΔ=f0(1+r)

Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου - Φασμα

r = fΔ/f0

Παλμος υπερυψωμενου συνημιτονου(Raised cosine)

• Περιγραφη στο πεδιο χρονου:

1 00 2

0

sin(2 ) cos(2 )( ) { ( )} 2

2 1 (4 )

f t f tx t F X f f

f t f t

Παλμοι υπερυψωμενου συνημιτονου

α=r=rolloff factor

Παλμικη διαμορφωση φεροντος με πολλαπλους παλμους

25

Παλμικη διαμορφωση συχνοτητας φεροντος

26

Παλμικη διαμορφωση συχνοτητας με συνεχεια φασης (CPFSK)

The basis pulses follow each other in such a way that the phase of the total signalis continuous 27

Συνηθης μορφη βασικου παλμουγια CPFSK

28

Χωρος σηματων • Το διαγραμμα στον χωρο σηματων είναι ένα από τα πιο σημαντικα

εργαλεια για την αναλυση των συστηματων διαμορφωσης.• Μας παρεχει μια γραφικη παρασταση των χρησιμοποιουμενων

κυματομορφων η οποια επιτρεπει μια εποπτικη και ενοποιημενη αντιμετωπιση των διαφορων μεθοδων διαμορφωσης.

29

30

Συναρτησεις Βασης ενος συνολου σηματων

• Εχουμε ενα συνολο σηματων (κυματομορφων) {s1(t), s2(t),…,sM(t)}

πληθους Μ, και εκπεμπεται μια απο αυτες καθε φορα.

• Οι συναρτησεις {f1(t), f2(t),…fK(t)}, οπου Κ Μ, αποτελουν μια πληρη ορθοκανονικη βαση για το δοθεν συνολο των σηματων αν:

– Οι συναρτησεις βασης ειναι ορθογωνιες μεταξυ τους, δηλαδη:

– Οι συναρτησεις βασης ειναι κανονικοποιημενες:

– και καθε σημα si(t) μπορει να γραφτει σαν γραμμικος συνδυασμος

, ,1

( ) ( ), 1, 2,..., οπου ( ) ( )i

K b

i i k k i k kak

s t s f t i M s s t f t dt

jidttftfb

a ji ,0)()(

b

a k kdttf ,1)( 2

31

Συναρτησεις Βασης και χωρος σηματων

f1(t)f2(t)

.

.fK(t)

s1(t)s2(t)

.

.

.sM(t)

Καθε μια απο τις κυματομορφες si(t)μπορει να παρασταθει σαν ενα σημειο στον K-διαστατο χωρο που αποτελουν οι συναρτησεις που μπορουν να περιγραφουν απο τις συναρτησεις βασης fj(t)

{f1(t), f2(t),…fK(t)}

{s1(t), s2(t),…,sM(t)}

, ,1

( ) ( ), 1, 2,..., οπου ( ) ( )i

K b

i i k k i k kak

s t s f t i M s s t f t dt

Χωρος σηματων

32

Εφαρμογη στις ψηφιακες επικοινωνιεςΟ Διαμορφωτης

• Σε ενα ψηφιακο τηλεπικοινωνιακο συστημα log2M bits πληροφοριας μεταδιδονται με μια απο τις Μ διαθεσιμες κυματομορφες ενός συνολου SM. Αν οι κυματομορφες αυτες ανηκουν σε χωρο σηματων με γνωστες συναρτησεις βασης τοτε μπορουμε να τις περιγραψουμε χρησιμοποιωντας:– Το συνολο των Κ συντελεστων του αναπτυγματος καθε συναρτησης

– Την γραφικη παρασταση του Κ-διαστατου αστερισμου σηματων οπου σημειωνεται η θεση καθε σηματος στον χωρο των σηματων.

• Η γραφικη παρασταση αυτη δινει πληθωρα πληροφοριων χρησιμων για την διαμορφωση και αποδιαμορφωση αυτων των σηματων

• Η εξισωση-κλειδι ειναι η εξισωση συνθεσης:

Διαμορφωση ειναι η διαδικασια υλοποιησης της εξισωσης αυτης

,1

( ) ( ), 1, 2,..., K

i i k kk

s t s f t i M

33

Εξισωση συνθεσηςΓενικη μορφη Διαμορφωτη

log2M – bits address συντελεστες

Αλλαγη συμβολισμουφk(t) fk(t)am,I sm,i

LUT= Look-up-table

34

Λειτουργια του διαμορφωτη

• Εν γενει, ενας διαμορφωτης με Μ σηματα Κ-διαστασεων χρειαζεται να αποθηκευσει τους K x M συντελεστες (Κ συντελεστες για καθε ενα απο τα Μ σηματα) και να παραγάγει τις Κ συναρτησεις βασης.

• Οι συντελεστες αποθηκευονται σε Κ look-up tables (LUTs)που εχουν log2M γραμμες διευθυνσεων και μια εξοδο

• Το δεδομενα εισοδου ομαδοποιουνται σε ομαδες των log2M bits και καθοριζουν το εκπεμπομενο συμβολο και την κοινη διευθυνση των LUTs.

• Οι εξοδοι των LUTs ειναι οι Κ συντελεστες του αναπτυγματος του επιθυμητου σηματος.

• Οι Κ συντελεστες πολλαπλασιαζουν τις Κ συναρτησεις βασης και τα Κ γινομενα αθροιζομενα δινουν το επιθυμητο σημα που αντιστοιχει στο συγκεκριμένο συμβολο.

35

Ανακεφαλαιωση

• Εξισωση συνθεσης (διαμορφωτης)

• Εξισωση αναλυσης (αποδιαμορφωτης):

• Ενεργεια σηματος:

,1

( ) ( ), 1, 2,..., K

i i k kk

s t s f t i M

, ( ) ( )i

b

i k kas s t f t dt

2 2,

1

| ( ) |Kb

m m iai

E s t dt s

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν δοθούν τα σήματαΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Αν δοθούν τα σήματα (BPSK): (BPSK):

που οριζονται στοπου οριζονται στο 0<0<tt<Τ<Τbb , , και εχουν ενεργεια και εχουν ενεργεια ΕΕbb τοτε μια τοτε μια

καταλληλη συναρτηση βασης είναι η:καταλληλη συναρτηση βασης είναι η:

Το συνολο των σηματων μπορει να παρασταθει από τα ακρα Το συνολο των σηματων μπορει να παρασταθει από τα ακρα των διανυσματων, που τα αντιπροσωπευουν στον διανυσματικο των διανυσματων, που τα αντιπροσωπευουν στον διανυσματικο χωροχωρο

bT

ib dttsE0

2)(

tfT

tf cb

2cos2

)(

tfT

Ets

tfT

Ets

cb

b

cb

b

2cos2

)(

2cos2

)(

2

1

36

Τα δυο προηγουμενα σηματα εκφραζονται συναρτησει της Τα δυο προηγουμενα σηματα εκφραζονται συναρτησει της συναρτησης βασης ως εξης:συναρτησης βασης ως εξης:

Ας θεωρησουμε τηνΑς θεωρησουμε την f(t) f(t) σαν σαν το μοναδιαιο διανυσμα ένος το μοναδιαιο διανυσμα ένος αξονα συντεταγμενων.αξονα συντεταγμενων. Τοτε το συνολοΤοτε το συνολο μπορει μπορει να παρασταθει οπως πιο κατωνα παρασταθει οπως πιο κατω

ΣυνηθωςΣυνηθως, , παριστανονται μονο τα ακρα των διανυσματων. παριστανονται μονο τα ακρα των διανυσματων. Αυτό το διαγραμμα ονομαζεται Αυτό το διαγραμμα ονομαζεται signal constellationsignal constellation (αστερισμος σηματων).(αστερισμος σηματων).

●●

)()(

)()(

2

1

tfEts

tfEts

b

b

)}(),({ 21 tsts

f(t)Eb-Eb0

Eb-Eb f(t)

37

tfT

tf cb

2cos2

)(

38

Διαμορφωση

• Θελουμε με τα ψηφιακα δεδομενα να διαμορφωσουμε κυματομορφες που να ειναι:

– Φασματικα αποδοτικες, και

– Ενεργειακα οικονομικες

• Η παρασταση στον χωρο σηματων ειναι μια βολικη μεθοδος θεωρησης της διαμορφωσης η οποια μας επιτρεπει

– Να σχεδιαζουμε φασματικα και ενεργειακα αποδοτικους αστερισμους σηματων.

– Να καθοριζουμε την μορφη του βελτιστου δεκτη για δεδομενο διαγραμμα αστερισμου.

– Να αξιολογουμε τις επιδοσεις του δεδομενου τυπου διαμορφωσης

39

Αποδιαμορφωση σηματος

• Εκπεμπουμε ενα σημα s(t) {s1(t), s2(t),…,sM(t)}, οπου το s(t) ειναι μηδενικο για t [0,T]. Για παραδειγμα, εκπεμπουμε το sm(t) αν θελουμε να μεταδωσουμε το m-στο από Μ συμβολα.

• Τα διαφορα σηματα εκπεμπονται με πιθανοτητα

p1= Pr[s1(t)],…, pM=Pr[sM(t)]

• To λαμβανομενο σημα στον δεκτη ειναι αλλοιωμένο λογω θορυβου o οποιος υποτιθεται προσθετικος

r(t) = s(t) + n(t)

• Δοθεντος του r(t), ο δεκτης υπολογιζει μια εκτιμηση ŝ(t) του σηματος s(t), με στοχο την ελαχιστοποιηση της πιθανοτητας σφαλματος εκτιμησης ενος συμβολου Ps=Pr[ ŝ(t) s(t)]

40

To μοντελο του θορυβου

• Το σημα υφισταται στο καναλι αλλοιωση λογω προσθετικου Λευκου Gaussian Θορυβου

(Αdditive White Gaussian Noise – AWGN) n(t)

• Στην πιο κατω θεωρηση υποθετουμε ότι ο θορυβος n(t) εχει μεση τιμη 0, συναρτηση αυτοσυσχετισης Rnn(τ) = [N0/2]δ(τ) και πυκνοτητα φασματικης ισχυος Snn(f) = N0/2.

• Καθε γραμμικη συναρτηση του n(t) ειναι επισης Gaussian στοχαστικη διαδικασια.

Σs(t)

n(t)

r(t)Καναλι

Διαμορφωση - Αποδιαμορφωση

41

◙

◙

◙

◙

s3

s4

s2

s1[r1, r2]

f2(t)

f1(t)

n'(t)

42

Παρασταση στον χωρο των σηματων

• Το εκπεμπομενο σημα μπορει να παρασταθει ως εξης:

• Ο θορυβος μπορει να παρασταθει επισης με την βοηθεια των συναρτησεων βασης ως εξης:

• Η συνιστωσα n'(t) του θορυβου ειναι το μερος του θορυβου που δεν ανηκει στον χωρο που περιγραφουν οι συναρτησεις βασης (δεν μπορει να γραφει σαν γραμμικος συνδυασμος τους).

• Στο επομενο slide αποδεικνυεται οτι το n'(t) sm(t) m[0,…,M-1]

T

kmkm

K

kkkmm dttftsstfsts

0,

1, )()(),()(

K

kkk

T

kk

K

kkk

tfntntn

dttftnntfntntn

1

01

)()()(

,)()(),()()(

43

H συνιστωσα n'(t) ειναι ορθογωνια προς ολα τα σηματα sm(t)

• Πραγματι:

K

kkkm

K

kkkm

K

k

T

k

K

llkm

K

kkkm

K

kl

T

k

K

llkm

K

kk

T

km

K

lll

T K

kkkm

T K

lllm

T

m

nsns

dttflknsns

dttftfnsdttftns

dttfntntfs

dttfntntsdttnts

1,

1,

1 0

2

1,

1,

1 01,

1 0,

10 1,

0 10

0

)()(

)()()()(

)()()(

)()()()(')(

44

Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

• Το λαμβανομενο σημα μπορει λοιπον να παρασταθει ως εξης:

• οπου rk = sm,k + nk

)(')()(')()(

)()()(

111, tntfrtntfntfs

tntstr

k

K

kkk

K

kkk

K

kkm

f1(t)

f2(t)

[r1, r2]

n'(t)

45

O χωρος αποφασεων συρρικνώνεται σε χωρο πεπερασμενων διαστασεων

• Εκπεμπουμε ενα σημα το οποιο απεικονιζεται με το διανυσμα πληροφοριας Κ διαστασεων: s = [s1, s2,…, sK] {s1,s2,…,sM}

• Λαμβανουμε το διανυσμα r = [r1, r2,…,rK]= s+n, το οποιο ειναι το αθροισμα του εκπεμπομενου διανυσματος s και του διανυσματος του θερυβου n = [n1, n2,…nK].

• Δοθεντος του r θελουμε να βρουμε μια εκτιμηση ŝ του εκπεμπομενου διανυσματος s ωστε να ελαχιστοποιειται η πιθανοτητα σφαλματος Ps=Pr[ŝs]

Σs

n

rΚαναλι

Δεκτηςr ŝ

46

Κανονας Αποφασης μεγιστης μεταπιθανοτητας MAP (Maximum a posteriory Probability)

• Υποθετουμε οτι τα διανυσματα {s1,s2,…,sM} με τα οποια μεταδιδονται τα Μ διαφορετικα συμβολα, εκπεμπονται με πιθανοτητες {p1, p2,…,pM} αντιστοιχα, και οτι λαμβανεται το διανυσμα r.

• H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν στον δεκτη η εκτιμηση ŝ ειναι το διανυσμα sm για το οποιο ισχυει:

Pr[sm |r] Pr[si |r], mi

(ΜΑΡ receiver)

• Ισοδυναμα (Bayes)

impppp

imppή

imp

p

p

p

iimm

iimm

iimm

,)()( Δηλαδη

,)Pr()()Pr()(

,)(

)Pr()(

)(

)Pr()(

srsr

ssrssr

r

ssr

r

ssr

47

Κανονας Αποφασης μεγιστης πιθανοφανειαςML (Maximum Likelihood)

• Αν p1=p2=…=pΜ =1/M, ή αν οι πιθανοτητες εκπομπης των συμβολων ειναι αγνωστες (οπότε υποτίθεται ισες), τοτε ο κανονας MAP ισοδυναμει με τον ML

• H πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου ελαχιστοποιειται αν επιλεξουμε ως εκπεμπομενο συμβολο το sm το οποιο ικανοποιει την σχεση :

p(r|sm) p(r|si), mi.

(ML receiver)

48

Υπολογισμος πιθανοτητων

• Για να εφαρμοσουμε τους κανονες αποφασης MAP και ML χρειαζεται ο υπολογισμος των πιθανοτητων p(r|sm).

• Επειδη r = sm + n, οπου το sm ειναι ενα σταθερο διανυσμα, αρκει να υπολογισουμε την p(n) = p (n1, n2,…,nK) που ειναι η από κοινου pdf των Κ τυχαιων μεταβλητων ni.

• Ο θορυβος n(t) ειναι μια Gaussian τυχαια διαδικασια– Επομενως η συνιστωσα του

ειναι μια Gaussian τυχαια μεταβλητη.– Κατα συνεπεια η p(n1, n2,…,nK) ειναι η απο κοινου pdf Κ

Gaussian μεταβλητων

T

kk dttftnn0

)()(

49

Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n)

• Οι Gaussian μεταβλητες ni και nk ειναι ασυσχετιστες

Πραγματι:

0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0

0 0

0

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) (2 2

T T

i k i k

T T T T

i k i k

T T T T

nn i k i k

i k

E n n E n t f t dt n s f s ds

E n t n s f t f s dtds E n t n s f t f s dtds

NR t s f t f s dtds t s f t f s dtds

N Nf t f t dt i

0 2, 2 00, ,

) , [ ]2

N i kki k

Nk E n

50

Υπολογισμος της pdf του θορυβου, p(n) (2)

• Επειδη Ε[nink]=0 για ik, οι συνιστωσες του θορυβου ειναι ασυσχετιστες και επομενως ανεξαρτητες.

• Επειδη Ε[nk2] =N0/2, καθε συνιστωσα του θορυβου εχει

μεταβλητοτητα (variance) ιση με Ν0/2. Κατα συνεπεια:

01

22/0

10

2

0

2121

/exp)(

/exp1

)()...()(),...,,(

NnN

NnN

npnpnpnnnp

K

kk

K

K

kk

KK

p(n)=

51

Η υπο συνθηκη pdf του λαμβανομενου σηματος r, p(r|sm)

• Oι μεσες τιμες των συνιστωσων του λαμβανομενου σηματος είναι oι αντιστοιχες συνιστωσες του εκπεμπομενου διανυσματος,

nk=rk-sm,k και επομενως:

2, 0

1

( ) /

0

1( | ) e

( )

K

k m kk

r s N

Kp

N

mr s

52

Δομη του βελτιστου Δεκτη

• Κανονας αποφασης MAP:

•

•

•

)|(maxargˆ},...,,{ 21

msrs ppmsss M

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(maxargˆ

21

s

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(lnmaxargˆ

21

s

K

kkmkm

ssssr

NN

Kp

M 1

2,

00

},...,,{)(

1]ln[

2]ln[maxargˆ

21

s

53

Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

• Απο τα πιο πανω προκυπτει οτι επιλεγεται εκεινο η κυματομορφη sm(t) απο το σημειο της οποιας στον αστερισμο των σηματων εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t).

f1(t)

f2(t)

[r1, r2]

n'(t)

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(maxargˆ

21

s

[s1,1, s1,2]

54

Δομη του βελτιστου Δεκτη (συνεχεια)

• Απαλειφοντας ορους οι οποιοι ειναι κοινοι για ολες τις επιλογες εχουμε:

• Πολλαπλασιαζουμε και με το Ν0/2 και εχουμε την τελικη μορφη του MAP receiver

K

k

K

kkmk

K

kkmk

m

sss srsrN

NK

p

M

1 1,

1

2,

2

0

0

},...,,{ 21

]ln[2

]ln[

maxargˆ21

s

K

kkm

K

kkmkm

ssss

Nsr

Np

M 1

2,

01,

0},...,,{)(

12]ln[maxargˆ

21

s

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

55

Φυσικη ερμηνεια του αποτελεσματος

• Το (Ν0/2)ln[pm] δειχνει την σημασια της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου.

– Αν ο θορυβος ειναι μεγαλος, η pm εχει μεγαλη βαρυτητα

– Αν ο θορυβος ειναι μικρος, το λαμβανομενο σημα θα μοιάζει πολυ με το εκπεμπομενο και η σημασια των pm ειναι μικρη.

• Το ειναι η συσχετιση του

εκπεμπομενου με το λαμβανομενο σημα.

• Το ειναι η ενεργεια του

εκπεμπομενου σηματος

T

m

K

kkmk dttstrsr

01, )()(, msr

2)(

2

1

2

1

2

1

0

2

1

22,

mT

m

K

kkm

Edttss

ms

56

Μια υλοποιηση του βελτιστου δεκτηΟ Correlation Receiver

2

]ln[2

)()(maxargˆ 0

0},...,,{ 21

mm

T

msss

Ep

Ndttstr

M

sΕιδαμε οτι

Χ Tdt

0)(r(t)

s1(t)

Σ Σ

-Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1)

Επιλογη του

μεγαλυτερουΧ T

dt0

)(r(t)

sm(t)

Σ Σ

-Εm/2 (Ν0/2)ln(pm)

Χ Tdt

0)(r(t)

sM(t)

Σ Σ

-ΕM/2 (Ν0/2)ln(pM)

.

.

.

.

57

Απλοποιησεις για ειδικες περιπτωσεις

• Κριτηριο ML: Αν ολα τα σηματα ειναι ισοπιθανα (p1=p2=…=pM) οι πιθανοτητες εκπομπης pm μπορουν να αγνοηθουν.

• Αν ολα τα σηματα εχουν ιση ενεργεια (Ε1=Ε2=...=ΕΜ) οι οροι ενεργειας μπορουν επισης να αγνοηθουν.

• Τελικα το κριτηριο αποφασης απλοποιειται στο:

T

msss

dttstrM 0},...,,{

)()(maxargˆ21

s

Χ Tdt

0)(r(t)

s1(t)

Χ Tdt

0)(r(t)

sm(t)

Χ Tdt

0)(r(t)

Επιλογη του

μεγαλυτερου

.

.

.

.

sΜ(t)

Δεκτης συσχετισηςCorrelation Receiver

Για ισοπιθανα συμβολακαι κυματομορφες ισηςενεργειας

58

Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςi) Η βαθμιδα συσχετισης

• Μπορουμε να ελαττωσουμε τον αριθμο των συσχετιστων αν υλοποιησουμε την εκφραση του ŝ συναρτησει των συναρτησεων βασης

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

Χ Tdt

0)(r(t)

f1(t)

Χ Tdt

0)(r(t)

fK(t)

r1

rK

r=[r1,r2,…,rK]

συνιστωσες του λαμβανομενουσηματος στο συστημα τωνσυναρτησεων βασης

Προβολη του r(t) στις συναρτησεις βασης (υπολογισμος των rk)

…

59

Υλοποιηση μειωμενης πολυπλοκοτηταςii) Η βαθμιδα Επεξεργασιας

Χ

r=[r1,r2,…,rK]

S

KMK

M

ss

ss

,,1

1,1,1

...

.........

...

S

Σ

Σ

Σ

Σ

K

kkk rs

1,1

K

kkkM rs

1,

Επιλογητου

μεγαλυτερου

-Ε1/2

-ΕΜ/2

(Ν0/2)ln(p1)

(Ν0/2)ln(pM)

…

60

Ο Δεκτης Προσαρμοσμενου ΦιλτρουMatched Filter Receiver

• Υποθετουμε οτι οι συναρτησεις βασης fk(t) ειναι μη μηδενικες στο διαστημα [0,Τ], και οριζουμε την hk(t) = fk(T – t) fk(t) = hk(T – t)

• Τοτε

οπου το r(t)hk(t)|t=T συμβολιζει την τιμη της συνελιξης των σηματων r(t) και hk(t) κατα την στιγμη t=T.

• Μπορουμε δηλαδη να υλοποιησουμε την συσχετιση του r(t) με την συναρτηση βασης fk(t) περνώντας το r(t) μεσα απο ενα γραμμικο φιλτρο με κρουστικη αποκριση hk(t) = fk(T – t). To φιλτρο αυτο ονομαζεται "προσαρμοσμενο - matched"

Ttk

T

k

T

kk thtrdttThtrdttftrr )()()()()()(00

61

Υλοποιηση του correlator με προσαρμοσμενο φιλτρο

h1(t)

hK(t)

•••

r(t)

r(t)

r1

rK

t=T

t=T

r=[r1,r2,…,rK]

Προσαρμοσμενο φιλτρο

hk(t) = fk(T – t)

Βαθμιδαεπεξεργασιας

62

Υλοποιηση του correlator με προσαρμοσμενο φιλτρο (2)

• Χωρις προβολη στις συναρτησεις βασης

s1(Τ-t)r(t) Σ Σ

-Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1)

Επιλογη του

μεγαλυτερου

r(t) sm(Τ-t) Σ Σ

-Εm/2 (Ν0/2)ln(pm)

r(t) Σ Σ

-ΕM/2 (Ν0/2)ln(pM)

.

.

.

.

s1(Τ-t)

t=T

Προσαρμοσμενα φιλτρα

2

]ln[2

)()(maxargˆ 0

0},...,,{ 21

mm

T

msss

Ep

Ndttstr

M

s

hm(t)=sm(T-t)

63

Παραδειγμα σχεδιασης Βελτιστου Δεκτη

• Το συνολο των σηματων μας ειναι οι ακολουθες κυματομορφες, Μ=4:

s1(t) s2(t)

s3(t) s4(t)

1

-11 2 t

1

1 2 t

1

1 2 t

1

1 2 t

2

1 1 2

T=2, E1=E2=E3=E4=2

64

Δεκτης συσχετισης (Correlation Rx)

Χ 2

0)( dtr(t)

s1(t)

Σ Σ

-Ε1/2 (Ν0/2)ln(p1)

Επιλογη του

μεγαλυτερου

Χ 2

0)( dtr(t)

s4(t)

Σ Σ

-Ε4/2 (Ν0/2)ln(p4)

.

.

.

.

•••

Επειδη τα σηματα εχουν ισες ενεργειες μπορουμενα τις αγνοησουμε

65

Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου(Matched Filter Rx)

h1(t)

h4(t)

•••

r(t)

r(t)

t=2

t=2

hk(t) = sk(2 – t)

Σ

Σ

(Ν0/2)ln(p1)

(Ν0/2)ln(p4)

Επιλογη του

μεγαλυτερου

66

Σχεδιαση βελτιστου δεκτη μειωμενης πολυπλοκοτητας

• Το πιο κατω συνολο συναρτησεων αποτελει μια πληρη ορθοκανονικη βαση για τις 4 κυματομορφες του παραδειγματος:

• f1(t) f2(t)

• s1(t) = 1·f1(t) +1·f2(t), s2(t) = 1·f1(t) - 1·f2(t)

• s3(t) = -1·f1(t) +1·f2(t), s4(t) = -1·f1(t) -1·f2(t)

1 2-1

1

1 2-1

1

67

Δεκτης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα συσχετισμου

• Δεκτης Συσχετισης

• Δεκτης προσαρμοσμενου φιλτρου

Χ 2

0)( dt

f1(t)

Χ 2

0)( dt

f2(t)

r(t)

r(t)

r=[r1 r2]

r1

r2

h1(t)r(t)

h2(t)r(t)

r1

r2

r=[r1 r2]

hk(t) = fk(2 – t)

1 2

h1(t)

1 2

h2(t)

t=2

68

Δεκτης συσχετισης μειωμενης πολυπλοκοτηταςΒαθμιδα Επεξεργασιας

Σ

Ν0ln(p1)/2

1·r1+1·r2

Σ

Ν0ln(p2)/2

1·r1-1·r2

Σ

Ν0ln(p3)/2

-1·r1+1·r2

Σ

Ν0ln(p4)/2

-1·r1-1·r2

Επιλογη του

μεγαλυτερου

Χ

r=[r1,r2]

S

1111

1111S

• •

• •

s1s3

s4 s2

f1

f2

69

Αναλυση λειτουργιας του δεκτη συσχετισης (Μονοδιαστατος χωρος σηματων)

r(t)

f(t)=(1/T) για 0≤t≤T = 0 αλλου

trigger at t=kT

Εκπεμπομενο σημα(ΝΤ)

70

Διαδοχικες αποφασεις του δεκτη συσχετισης

71

Λειτουργια δεκτη προσαρμοσμενου φιλτρου

r(t) h(t)=f(T-t)

trigger at t=kTΕδώ h(t)= 1/T για 0≤t≤T = 0 αλλου

(ΝΤ)

72

73

74

75

76

77

Παρασταση λαμβανομενου σηματος στον χωρο σηματων

• Απο τα προηγουμενα προκυπτει οτι ο δεκτης MAP επιλεγει εκεινη την κυματομορφη sm(t) η οποια εχει την μικροτερη ευκλείδεια αποσταση απο το σημειο προβολης του λαμβανομενου σηματος r(t) στον χωρο των σηματων.

f1(t)

f2(t)

[r1, r2]

n'(t)

K

kkmk

Km

sssNsrNp

M 10

2,

2/0

},...,,{/)(exp)(maxargˆ

21

s

[s1,1, s1,2]

78

Περιληψη της σχεδιασης του βελτιστου Δεκτη

• Ο βελτιστος συμφωνος (coherent) δεκτης για τον AWGN εχει τρια μερη:

– Το πρωτο μερος συσχετιζει το λαμβανομενο σημα με καθε ενα απο τα πιθανα να μεταδοθουν σηματα

– Το δευτερο κανονικοποιει την συσχετιση εισάγοντας την επιδραση της ενεργειας καθε σηματος.

– και το τριτο εισαγει την επιδραση της πιθανοτητας εκπομπης ενος συμβολου σε συναρτηση με την ισχυ του θορυβου.

• Αυτος ο δεκτης ειναι γενικης εφαρμογης για καθε συνολο σηματων.

• Απλοποιησεις ειναι δυνατες κατω απο διαφορες συνθηκες.

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

79

Κριτηρια επιδοσεων τηλεπικοινωνιακων συστηματων

• Η πιθανοτητα σφαλματος ειναι το βασικο κριτηριο επιδοσεων ενος συστηματος διαμορφωσης-αποδιαμορφωσης.

• Σφαλμα εχουμε οταν η εκτιμηση ενος συμβολου ειναι διαφορετικη απο το πραγματικο συμβολο d. – Ο λογος που εχουμε σφαλματα φαινεται στα πιο κατω διαγραμματα προβολης

των λαμβανομενων σηματων στις συναρτησεις βασης

d̂

80

Περιοχες Αποφασης

• Βελτιστος κανονας αποφασης:

• Εστω οτι η ειναι η περιοχη οπου

jm

• Τοτε αυτή η περιοχη Rm ειναι η m-οστη "περιοχη αποφασης" (= η περιοχη οπου αν πεσει το r αποφασιζεται ότι σταλθηκε το m-οστο συμβολο)

K

kkm

K

kkmkm

sssssrp

N

M 1

2,

1,

0

},...,,{)(

2

1]ln[

2maxargˆ

21

s

KmR

K

kkj

K

kkjkj

K

kkm

K

kkmkm ssrp

Nssrp

N

1

2,

1,

0

1

2,

1,

0 )(2

1]ln[

2)(

2

1]ln[

2

81

Παρατηρησεις για τις περιοχες αποφασης

• Τα ορια των περιοχων αποφασης ειναι καθετα στην γραμμη που συνδεει δυο σημεια του χωρου σηματων. (είναι σωστο???)

• Αν τα σηματα ειναι ισοπιθανα, τα ορια αποφασης ειναι ακριβως στο μεσον της αποστασης μεταξυ δυο σημειων.

• Αν τα σηματα δεν ειναι ισοπιθανα, η περιοχη του λιγωτερου πιθανου σηματος συρρικνώνεται.

82

Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου

• Η Ps(e) = Pr[ŝs] ειναι η μεση πιθανοτητα σφαλματος συμβολου, δηλαδη:

– οπου Pr[ŝsi|s=si ]=P(E|si) ειναι η υπο συνθηκη πιθανοτητα να μην αποφασισει ο δεκτης οτι σταλθηκε το si δοθεντος ότι σταλθηκε το si. Ειναι:

P(E|si)=

• Εχουμε πολλαπλή ολοκληρωση στην περιοχη Ri διοτι η pdf ειναι Κ διαστασεων

M

iiiis eP

1]|ˆPr[]Pr[)( sssss

rsrssss dp iR

ii

i

]|[1]|ˆPr[

K

kkik

Ki NsrNp

10

2,

2/0 /)(exp)()|( sr

1

Pr[ ] ( | )M

ii

P E

is s

83

Υπολογισμος πιθανοτητας σφαλματος

• Επειδη η πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβολου εξαρταται απο το μεγεθος της περιοχης αποφασης και οι περιοχες αποφασης ειναι εν γενει διαφορετικες για καθε σημειο του αστερισμου, θα υπολογισουμε αρχικα την πιθανοτητα σφαλματος υποθετωντας οτι εκπεμφθηκε το συμβολο sm. Οι υπολογισμοι θα γινουν για m=1,…,M και θα χρησιμοποιησουμε το θεωρημα της ολικης πιθανοτητας για να συνδυασουμε τα αποτελεσματα.

• Για δυαδικες διαμορφωσεις η διαδικασια εχει ως εξης:

1. Υποθετουμε οτι στελνεται το s1 και υπολογιζουμε την πιθανοτητα σφαλματος P(E|s1).

2. Υποθετουμε οτι στελνεται το s2 και υπολογιζουμε την πιθανοτητα σφαλματος P(E|s2).

3. Χρησιμοποιουμε το θεωρημα της ολικης πιθανοτητας για να υπολογισουμε την μεση πιθανοτητα σφαλματος:

P(E) = P(E|s1 )Pr{σταλθηκε το s1}+ P(E|s2 )Pr{σταλθηκε το s2}4. Κανουμε την λογικη υποθεση οτι

Pr{σταλθηκε το s1}=Pr{σταλθηκε το s2}=1/2

οποτε P(E) =(1/2)P(E|s1) + (1/2)P(E|s2)= (1/2)[P(E|s1) + P(E|s2)}

84

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμβολου για το BPSK

• Δυο σηματα αντιθετου προσημου Μ=2: (Ρ = η ισχυς του σηματος)

• Μια συναρτηση βασης:

• Παρασταση στον χωρο των σηματων:

• Pr[s1] = Pr[s2] = 0.5 (ισοπιθανα συμβολα)

Tc

Tc tfPtstfPts 0201 |)2cos(2)(,|)2cos(2)(

Tctf

Ttf

01 )2cos(2

)(

)()(),()()( 12111 tfEtstfEtfPTts bb bitEEsEs bbb ,, 21

Χ Χs2 s1

-EbEb

85

Ορια των περιοχων αποφασης για το BPSK

• Συμφωνα με τον ΜΑΡ κανονα αποφασης επιλεγεται το s1 αν:

• p(r|s1)Pr(s1) p(r|s2)Pr(s2)

0

expexp

exp1

2

1exp

1

2

1

22

0

2

0

2

0

2

00

2

0

rErEr

N

Er

N

Er

N

Er

NN

Er

N

bb

bb

bb

s2= - Ebs1 = Eb r

R2 R1

0

r

86

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το BPSK

20

2 2 200

22

0 00 0 0

1ˆ( | ) Pr[ | ] 1 exp

1 1exp exp ,

b

b

b

b

E

r EP E s s s s s dr

NN

r E ydr dy y r E

N NN N

2,

2exp

2

1

02

2

0

Nyxdx

x

NEb

2 2 2 0

2

ˆ( | ) Pr[ | ] 2 / ,

1( ) exp

22

b

u

P E s s s s s Q E N

xQ u dx

Δηλαδη:

87

88

Πιθανοτητες σφαλματος για το BPSK

• Στο προηγουμενο slide ειδαμε οτι:

• Λογω συμμετριας:

•

• Μολονοτι το αποτελεσμα εξηχθη για την περιπτωση του BPSK, το ιδιο αποτελεσμα ισχυει για καθε συνολο σηματων με το ιδιο διαγραμμα αστερισμου.

Ps(e)= Q(di,j / 2N0) οπου di,j ειναι η ευκλειδεια αποσταση των σημειων i και j

dxx

uQ

NEQssss

u

b

2exp

2

1)(

,/2]|ˆPr[

2

022

1 1 2 2 0

0

πλατος σηματος / τυπικη αποκλιση θορυβου

ˆ ˆPr[ | ] Pr[ | ] 2 / ( )

/ 2

b s

b

s s s s s s s s Q E N P e

EQ Q

N

89

Γραφικη παρασταση της πιθανοτητας σφαλματος για το BPSK

90

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (coherent) FSK

• Δυο ορθογωνια σηματα (Μ=2):

– τα σηματα ειναι ορθογωνια για f1-f2=k/2T, οπου k = σταθ. (γιατι??).

• Δυο συναρτησεις βασης:

• Παρασταση στον χωρο των σηματων:

TT tfPtstfPts 022011 |)2cos(2)(,|)2cos(2)(

TT tfT

tftfT

tf022011 )2cos(

2)(,)2cos(

2)(

]0[],0[

)()(),()(

21

2211

bb

bb

EE

tfEtstfEts

ss

91

Περιοχες αποφασης για το δυαδικο συμφωνο FSK

bE

bE

f2(t)

f1(t)

R1

R2 •

•

s2

s1

Με περιστροφη και αλλαγη αξονων εχουμε:

• •s2'= - Eb/2 s1'= Eb/2

R2 R1

92

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο (coherent) FSK

• Καθε μεταθεση, περιστροφη ή ανακλαση των συντεταγμενων, που δεν αλλαζει την αποσταση μεταξυ των σηματων δεν επηρρεαζει την πιθανοτητα σφαλματος.

• Επαναλαμβανοντας τους υπολογισμους που καναμε για το BΡSK με αντικατασταση του Εb με το Eb/2 βρισκουμε οτι:

0

)(N

EQeP b

s

93

Διαγραμμα του BER (bit error rate) για το BPSK και FSK

To FSK ειναι κατά 3db χειροτερο του BPSK (χρειαζεται διπλασια ενεργεια ανα bit για την ιδια πιθανοτητα σφαλματος)

3db

94

Υπολογισμος πιθανοτητας σφαλματος για το δυαδικο συμφωνο ASK

• Δυο κυματομορφες (Μ=2):

• Μια συναρτηση βασης:

• Παρασταση στον χωρο σηματων:

– οποτε

• Το διαγραμμα αστερισμου ειναι ιδιο με του FSK οποτε:

TTc tstfPts

0201 0)(,)2cos(2)(

Tctf

Ttf

01 )2cos(2

)(

0)(),(2)( 211 tstfEts b

0,2 21 sEs b

Χ Χ s2=0 Eb/2 s1=2Eb

R2 R1

X X

R2 R1

s2=-Eb/2 0 s1=Eb/2

μετα απο αλλαγηαξονων =>

)()( 0NEQeP bs

95

Διαμορφωση πολλαπλων επιπεδων

• Εστω m(t) το μηνυμα πληροφοριας

• Δυαδικη σηματοδοσια: m(t) {0,1}

• M-ary σηματοδοσια : m(t) {0, 1,…,M-1}

– To σημα πληροφοριας παιρνει μια απο Μ τιμες

– Μ=2k

– k= αριθμος bits/symbol.

• Παραδειγμα:

– Μ διαφορετικες φασεις (M-ary PSK)

– Μ διαφορετικα πλατη (M-ary ASK)

– συνδυασμοι οπως η τετραγωνικη διαμορφωση πλατους (Quadrature Amplitude Modulation – QAM)

96

Βασικο πλεονεκτημα της διαμορφωσης πολλαπλων επιπεδων: Οικονομια φασματος

• Εστω:

– Τb η διαρκεια ενος bit

– Ts η διαρκεια ενος συμβολου

• Τοτε

– Rb = 1/Tb ειναι ο ρυθμος μεταδοσης bits

– Rs = 1/Ts ειναι ο ρυθμος μεταδοσης συμβολων

• Η πληροφορια μεταδιδεται με τον ρυθμο μεταδοσης των bits

• Το ευρος φασματος ειναι αναλογο του ρυθμου μεταδοσης συμβολων

– ενας μονο παλμος μεταδιδεται για καθε συμβολο

97

M-ary PSK (MPSK)

• Παρασταση μετρου και φασης:

–

– m(t) {0, 1,…,M-1}

– To Ac ειναι μια σταθερα και συμβολιζει το πλατος του σηματος.

• Ειδικη περιπτωση: Μ=2 που αντιστοιχει στο BPSK

)(

22cos)( tm

MtfAts cc

0)(),2cos(

1)(),2cos()2cos()(tmtfA

tmtfAtfA

cc

ccccts

98

M=4: Quadrature PSK (QPSK)

• QPSK:

• Διαφορετικη φαση για καθε συμβολο

• Χρησιμοποιειται ευρυτατα

• Παρασταση I/Q:

0)(),2cos(

1)(),2sin()2

2cos(

2)(),2cos()2cos(

3)(),2sin()2

32cos(

)(

tmtcfcA

tmtcfcAtcfcA

tmtcfcAtcfcA

tmtcfcAtcfcA

ts

)2sin(2

)(sin)2cos(

2

)(cos)( tf

tmAtf

tmAts cccc

99

Διαγραμμα αστερισμου του QPSK

•

••

•Αc

Αc

- Αc

- Αc

y(t)

x(t)

Παρατηρηση: Διαφορετικες μετατοπισεις φασης μπορουν να παραγουν διαγραμμα αστερισμου που προκυπτει απο το πιο πανω με περιστροφηΠαραδειγμα:

42

)(2cos)(

tmtfAts cc

100

Φασματικα χαρακτηριστικα του MPSK

• Η πυκνοτητα φασματικης ισχυος υπολογιζεται ευκολα αν θεωρησουμε το MPSK ως αθροισμα M σηματων ASK.

Επειδη Τs = (log2M) Tb o κυριος λοβος του φασματος του MPSK είναι log2M φορες μικροτερος από τον λοβο του φασματος ενός σηματος BPSK με το ιδιο bit-rate

)(sin

)()(sin1

)())(|(1

])(Pr[))(|()(

22

1

0

22

1

0

1

0

ssc

M

issc

M

is

M

isss

fTcTA

PSDfTcTAM

itmfSM

itmitmfSfS

101

Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου για το QPSK

• Τα 4 σηματα του QPSK ειναι τα ακολουθα:

• Τα σηματα αυτα μπορουν να παρασταθουν με τις συναρτησεις βασης:

• Αυτη η παρασταση δινει τα ακολουθα διανυσματα πληροφοριας:

• οπου Εs = PT= η ενεργεια ενος συμβολου

Tc

Tc

Tc

Tc

tfPtstfPts

tfPtstfPts

040

0201

)2sin(2)(,)2cos(2)(3

,)2sin(2)(,)2cos(2)(

Tc

Tc tf

Ttftf

Ttf

0201 )2sin(2

)(,)2cos(2

)(

]0[],0[

],0[],0[

43

21

ss

ss

EE

EE

ss

ss

102

Το διαγραμμα αστερισμου του QPSK και οι περιοχες αποφασης

s1

s2

s3

s4

f1

f2

1

2

3

4

[ 0],

[0 ],

[ 0],

[0 ]

s

s

s

s

E

E

E

E

s

s

s

s

103

To διαγραμμα αστερισμου του QPSK μετα απο περιστροφη 450

s1s2

s3 s4

f1

f2

s1=[Es/2, Es/2 ]

s2=[-Es/2, Es/2 ]

s3=[-Es/2, -Es/2 ]

s4=[Es/2, -Es/2 ]

104

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμολου για το QPSK

1

2 2

0 0

2 2

0 0

1 1 1

2 2

00 0

2 2

ˆPr[ | ] 1 ( | )

11

1 11

2 2

s s

s s

R

E Ex N y N

x y

E E

N N

p d

e e dxdyN

e e

s s s s r s r

105

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος συμολου για το QPSK (2)

0 0

2

0 0

2

0 0

2

0

1 1 1

2

2 22 ( 2 )

22 ( ( ) ( ) )

s s

s s

b bs b

b

E EQ Q

N N

E EQ Q

N N

E EQ Q E E

N N

EQ Q x Q x

N

106

Πιθανοτητα σφαλματος συμβολου για το QPSK

• H υπο-συνθηκη πιθανοτητα σφαλματος και για τα 4 σηματα ειναι ιδια, δηλαδη:

• Η πιθανοτητα σφαλματος ενος συμβόλου του QPSK ειναι σχεδον διπλασια εκεινης του BPSK:

• Οταν μιλήσουμε πιο κατω για το BER (Bit Error Rate) θα δουμε ότι τα BPSK και QPSK εχουν το ιδιο BER.

...]|ˆPr[]|ˆPr[)( 2211 ssssssssePs

0

22)(

N

EQeP b

s

107

ΒΕR διαγραμματα για το QPSK και το BPSK

108

Παρατηρησεις επι της διαδικασιας υπολογισμου των πιθανοτητων σφαλματος

• Η πιθανοτητα σφαλματος ευρισκεται ολοκληρωνοντας την υπο-συνθηκη πιθανοτητα σφαλματος στην περιοχη αποφασης.

– Ο υπολογισμος αυτος γινεται δυσκολα αν εχουμε χωρο πολλων διαστασεων

– Με την καταλληλη περιστροφη, μεταφορα και ανακλαση των συντεταγμενων, μπορουμε να απλοποιησουμε τους υπολογισμους

• Η συμπεριφορα ενος αστερισμου σηματων ως προς την πιθανοτητα σφαλματος εξαρταται αποκλειστικα απο τις αποστασεις των σημειων του αστερισμου

• Η μεθοδος του “Union Bound” μας επιτρεπει να ελαττωσουμε τους υπολογισμους της πιθανοτητας σφαλματος σε μια σειρα υπολογισμων δυαδικων σφαλματων

Μεθοδος Union Bound

109

Βασικη Ιδεα για τον υπολογισμο σφαλματος με την μεθοδο Union Bound

• Διαμορφωση QPSK

Εστω Α2,j η επιφανεια οπου

το λαμβανομενο σημα r

είναι πλησιεστερα στο sj,

αν και το εκπεμπομενο σημα

είναι το s2. Toτε

r r

s1

s2

s3

s4

r

4

2,12

2

22

)|(

)|(

]|ˆPr[

2

jj R

R

j

C

dp

dp

rsr

rsr

ssss

r

R2

Pr(Z2Z3)

Pr(Z2Z4) Pr(Z2Z1)

A2,3

A2,4 A2,1

4

2,1,222 ]Pr[]|ˆPr[

jjjAssss

s3

iZ ir - s 110

Ακριβης υπολογισμος

Υπολογισμος της πιθανοτητας σφαλματος ανα ζευγος συμβολων

• Ειδαμε πιο πανω ότι η πιθανοτητα σφαλματος για το ζευγος sj και si ισουται με την πιθανοτητα ότι το λαμβανομενο σημα r είναι πλησιεστερα στο sj από ότι στο si.

• Με καταλληλες περιστροφες και μεταφορες μπορουμε παντοτε να εκφρασουμε το προβλημα της αποφασης μεταξυ ενός ζευγους σημειων με την ακολουθη μορφη:

είναι η Ευκλειδεια αποσταση μεταξυ των σημειων sj και si .

• Αυτό σημαινει ότι

Rj Ri

sj'= - di,j/2 0 si'= di,j/2

,i j i j i jd s s s s

,

0

Pr[ ]2

i ji j

dr s r s Q

N

111

Το Union Bound (τελικη μορφη)

K

ijj

jiii N

dQ

,1 0

,

2]|ˆPr[ ssss

,

1 1, 0

1( )

2

M Ki j

i j j i

dP E Q

M N

Για ισοπιθανα συμβολα

Ακριβεστερη μορφη του Union Bound:

,

1 0

1( )

2i

Mi j

i j A

dP E Q

M N

οπου Αi είναι το συνολο των κυματομορφων με περιοχες αποφασης εφαπτομενες της Rj

112

Εφαρμογη του Union Bound στο QPSK

• Οι αποστασεις μεταξυ σηματων ειναι:

d1,2 = d1,4 = d2,3 = d3,4 =2Es = 4Eb

d1,3 = d2,4 =2Es = 8Eb

• Ακριβης υπολογισμος:

• Union Bound:

• Βελτιωμενο Union Bound:

s1

s2

s3

s4Es

Es

2

0 0

2 2( ) 2 b bE E

P E Q QN N

0 0

2 4( ) 2 b bE E

P E Q QN N

0

2( ) 2 bE

P E QN

,

1 1, 0

1( )

2

M Ki j

i j j i

dP E Q

M N

113

Η ακριβεια του Union Bound

• Tο Union Bound είναι ένα ανω οριο διοτι μπορει σε μερικες περιοχες να ολοκληρωσουμε δυο φορες.

• Το Union Bound είναι πολύ ακριβες, ιδιως για υψηλες σηματο-θορυβικες σχεσεις Εb/N0

114

Union Bound για M-ary PSK

• Συνολο κυματομορφων:

• Συναρτησεις βασης:

• Διανυσματικη παρασταση των σηματων:

• m = 1,2,…,M

MmM

mtfEts T

csm ,...,2,1,|)1(2

2cos2)( 0

1 20 0

2 2( ) cos(2 ) | , ( ) sin(2 ) |

T T

c cf t f t f t f tT T

M

mE

M

mEs ssm

)1(2sin,

)1(2cos

115

Χωρος σηματων του 8-ary PSK

Εs

•

•

••

••

•

•

116

Υπολογισμος του σφαλματος συμβολου για το M-ary PSK

• Κάθε σημα εχει δυο γειτονικες περιοχες αποφασης.

• Λογω της συμμετριας, η αποσταση di,j μεταξυ ολων των γειτονικων περιοχων είναι ιδια και ιση με:

• Union Bound (M>2):

)/sin(log)/sin(2 2, MMEMEd bsji

R2

R1

s2

s1=[Es 0]Γωνια =π/M

MN

MEQeP b

s

sinlog2

2)(0

2

117

Συγκριση επιδοσεων για M-ary PSK

118

119

16- QASK

Ο αστερισμος σηματων και οι περιοχες αποφασης φαινονταιστο διπλανο σχημα. Διακρινουμε 3 κατηγοριες σημειων:Τα γωνιακα s0, s3, s12, s15

Τα εξωτερικα s1, s2, s4, s7, s8, s11, s13, s14

Τα εσωτερικα s5, s6, s9, s10

Για καθε κατηγορια εχουμε αλλη πιθανοτητα σφαλματος.Και εδω θα υπολογισουμε πρωτα την πιθανοτητα σωστης αποφασης P(C|m) = 1 – P(E|m)

Γωνιακα σημεια: Υποθετουμε οτι στελνεται το s0 Τοτε r[n] = s0[n]+w[n] και:

Ετσι:

Και επομενως

00 01 11 10

00

01

11

10

120

16-QASK (συνεχ.)

Εξωτερικα σημεια: Υποθετουμε οτι στελνεται το s1 Τοτε r[n] = s1[n]+w[n] και:

Ετσι

και επομενως

Εσωτερικα σημεια: Υποθετουμε οτι στελνεται το s5 Τοτε r[n] = s5[n]+w[n] και:

Ετσι

και επομενως

121

16-QASK (συνεχ.)Ανακεφαλαιώνοντας:

και επειδη Eavg =10 Α2 και σ2 = Ν0/2

Ορθογωνια συνολα σηματων

• Μ συναρτησεις βασης {f1(t),…fM(t)}

• M σηματα:

• Παρασταση στον χωρο σηματων:

• Παραδειγμα για Μ=4: s1=[Es 0 0 0], s2=[0 Es 0 0],

s3=[0 0 Es 0], s4=[0 0 0 Es]

• Παραδειγμα για M-ary FSK:

MmtfMEtfEts mbmsm ,...,2,1),(log)()( 2

miE

miimMmmmssss ,

,0,,1, ],,...,[ s

Tmm tfPts

0)2cos(2)(

122

Υπολογισμος του Union Bound για M-ary ορθογωνια σηματοδοσια

• Παραδειγμα 3-ary ορθογωνιος χωρος σηματων:

jiEd sji ,2,

Εs

Εs

Εs

0

2

0

( ) ( 1)

log( 1)

s

b

EP E M Q

N

E MM Q

N

123

Παρατηρησεις επι της πιθανοτητας σφαλματος για ορθογωνια σηματα

• Οι επιδοσεις βελτιωνονται καθως το Μ αυξανει.

• Στο οριο (καθως Μ), η πιθανοτητα σφαλματος μπορει να γινει αυθαιρετα μικρη, εφ' οσον Εb/Ν0 > - 1.6db.

• Tα περισσοτερα συστηματα χρησιμοποιουν μη-συμφωνο FSK (non-coherent FSK) αντι του συμφώνου FSK.

• Η ορθογωνια σηματοδοσια επιτυγχανει βελτιστες επιδοσεις καθως το Μ, αλλα και για πεπερασμενο Μ υπαρχει δυνατοτητα βελτιωσεων.

124

Συνοψη για το Union Bound

• Tο Union Bound επιτρεπει τον υπολογισμο της πιθανοτητας σφαλματος για αυθαιρετα διαγραμματα αστερισμου.

• Αστερισμοι σηματων πολλων διαστασεων (όπως το FSK) μπορουν να γινουν πολύ αποδοτικοι, από ενεργειακη αποψη, καθως το Μ μεγαλωνει.

• Αστερισμοι σηματων σταθερων διαστασεων (π.χ. Κ=2. όπως το PSK και το QAM) δεν χρησιμοποιουν αποδοτικα την ενεργεια καθως το M μεγαλωνει

125

Μη συμφωνοι Δεκτες(Noncoherent Rx)

• Μεχρι τωρα θεωρησαμε οτι ολοι οι δεκτες ειναι συμφωνοι (Coherent –δηλ. ειναι σε θεση να ανιχνευσουν και να παρακολουθησουν την φαση του λαμβανομενου σηματος).

1. Για τις τηλεφωνικες γραμμες, τις μικροκυματικες ζευξεις, και ορισμένες δορυφορικές ζεύξεις η σύμφωνη λήψη είναι εφικτή.

• Μολονότι υπάρχουν στην πράξη συστήματα ικανά να παρακολουθήσουν την φάση ενός σήματος (π.χ. Οι phase locked loops) σε πολλές περιπτώσεις είναι δύσκολος ο αυστηρός συγχρονισμός φάσης.

– Για πολλά συστήματα ασύρματων και κινητών επικοινωνιών, οι πολλαπλές διοδευσεις και η κινηση του δεκτη εμποδιζουν τον συγχρονισμο φασης.

126

Τυποι μη συμφωνων δεκτων

• Τα PSK και QAM σηματα μεταφερουν πληροφορια με την φαση του φεροντος.

• Σε πολλες περιπτωσεις, μολονοτι δεν ειναι δυνατη η ανιχνευση της απολυτης τιμης της φασης ενος σηματος, ειναι εφικτη η ανιχνευση της διαφορας φασεως απο το ενα συμβολο στο επομενο.

• Για το FSK με τονους (συχνοτητες φεροντος) αρκετα απομακρυσμενες , η αποδιαμορφωση μπορει να επιτευχθει χωρις καμια πληροφορια φασης με χρηση ενος μη συμφωνου δεκτη

127

Διαφορικη κωδικοποιηση δεδομενων

• Θεωρουμε την διαμορφωση BPSK:

0 => s(t) = 2P cos(2πfct), για t[0, T]

1 => s(t) = 2P cos(2πfct+π)= - 2P cos(2πfct), για t[0, T]

• Η διαφορικη κωδικοποιηση μετασχηματιζει τα πρωτογενη δεδομενα

• Κανονας: Εχουμε αλλαγη εκπεμπομενου bit και επομενως και της φασης αν τo bit εισοδου ειναι 1

BPSK Mod.

1 bit delay

{di} {bi}

bi =di bi-1 = bi-1 αν di=1, = bi-1 αν di=0

128

παραδειγμα Διαφορικης Κωδικοποιησης

• di: 0 1 0 1 1 1 0 data

• bi-1: 0 0 1 1 0 1 0

• bi: 0 1 1 0 1 0 0 Tx symbol

• Φαση: 0 0 π π 0 π 0 0

bi =di bi-1 =1 αν di ≠ bi-1

= 0 αν di = bi-1

129

Συμφωνη (coherent) ληψη διαφορικα κωδικοποιημενων δεδομενων

• Η διαφορικη κωδικοποιηση συχνα χρησιμοποιειται ακομα και αν ειναι εφικτη η συμφωνη ληψη

• di: 0 1 0 1 1 1 0

• bi-1 : 0 0 1 1 0 1 0

• bi : 0 1 1 0 1 0 0 Rx symbol

• di : 0 1 0 1 1 1 0

BPSK Demod.r(t)

1 bit delay

{bi}

{bi-1}

{di}

di =bi bi-1=(di bi-1) bi-1=di 0 = di

^

^

^

bi =di bi-1

130

Data

Διαφορικη Ληψη

• Μπορουμε να θεωρησουμε την διαφορικη ληψη σαν μεθοδο ληψης που χρησιμοποιει το λαμβανομενο σημα r(t) στην προηγουμενη περιοδο bit σαν σημα αναφορας φασης για τον υπολογισμο της συσχετισης.

X

1 bit delay

r(t)

0T(.)dt Συγκριση

Με το 0

BPSK Demod.r(t)

1 bit delay

{bi}

{bi-1}

{di}^

131

Συγκριση επιδοσεων BPSK και DPSK

Μετα από πολυπλοκη αναλυση προκυπτει ότι για το DPSK ισχυει:Pb= (1/2)exp(-Eb/N0)

132

H μεγαλυτερη πιθανοτητα σφαλματος του DBPSK οφειλεται στην αλληλοεξαρτηση των συμβολων

DBPSK

Διαφορικη ληψη πολλαπλων σηματων

• Στα προηγουμενα ασχοληθηκαμε με την δυαδικη περιπτωση του DΒPSK, αλλα είναι φανερο ότι μπορουμε να χρησιμοποιησουμε διαφορικη κωδικοποιηση και αποκωδικοποιηση με κάθε τυπο διαμορφωσης φασης.

• Με το DQPSK εχουμε 4 δυνατες μετατοπισεις φασης: 0, 90, 180 και 270 μοιρες.

• Η π/4 DQPSK διαμορφωση εισαγει μια επιπλεον μετατοπιση φασης κατά π/4 (=450) με κάθε συμβολο για να ελαττωθεί η πιθανοτητα σφαλματων χρονισμου συμβολων (που μπορουν να εμφανισθουν αν μεταδιδεται συνεχως φερον με σταθερη φαση π.χ αν υπαρχει μια μακρα ακολουθια από 0 ή 1)

• Το π/4 DQPSK χρησιμοποιειται στο συστημα κινητης τηλεφωνιας ΝΑ-ΤDMA των ΗΠΑ.

133

Μη συμφωνη Ληψη FSK

• Τα σηματα FSK που εχουν αρκετη αποσταση στο πεδιο συχνοτητων, μπορουν να αποδιαμορφωθουν χωρις καθολου πληροφορια φασης στον δέκτη.

• Ο βελτιστος μη συμφωνος αποδιαμορφωτης για το FSK μπορει να θεωρηθει σαν ενας ανιχνευτης ενεργειας.

• Ο διαμορφωτης FSK με μη συμφωνο αποδιαμορφωτη αποτελουν ενα φθηνο αλλα εύρωστο συστημα επικοινωνιας καταλληλο για ασυρματες εφαρμογες.

134

Δομη του βελτιστου μη συμφωνου δεκτή για το δυαδικο FSK

T

dt0

(.)Χ

f1c(t)

r1c

T

dt0

(.)Χ

f1s(t)

r1s

T

dt0

(.)Χ

f2c(t)

r2c

T

dt0

(.)Χr2s

r(t)

(.)2

(.)2

(.)2

(.)2

Σ

Σ

Επιλογη μεγαλυτερου

f2s(t)

135

Επιδοσεις του Μ-ary FSK βασει του Union Bound

136

Περιληψη για τους μη-συμφωνους δεκτες

• Η διαφορικη φωραση ( Differential detection) είναι καταλληλη για την αποδιαμορφωση φασης.

• Η μη-συμφωνη φωραση είναι καταλληλη για την αποδιαμορφωση συχνοτητας.

• Η παρασταση στον χωρο των σηματων οδηγει στον βελτιστο δέκτη και σε μεθοδο αξιολογησης επιδοσεων.

• Το μη-συμφωνο FSK μπορει να γινει πολύ ανθεκτικο στον θορυβο.

• Το FSK πολλαπλων συχνοτητων είναι πολύ οικονομικο από ενεργειακη αποψη αλλα δεν είναι οικονομικο στην εκμεταλλευση του φασματος.

137