كريم عابدي

كريم عابديكريم عابديكريم عابديكريم عابدي

Stability Theory of Structuresتئوری پایداری سازه ها

فصل دومبندی پدیده های رده

ناپایداری

فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداری

: مقدمه -1ناپایداری سیستم سازه ای در واقع بستگی به دو عامل دارد:

سازه(، خواص هندسی و مکانیکی سازه )بافتار ای نظیر - پارامترهای سیستم سازه1

.شرایط محیطی نظیر شرایط بارگذاری -2

پدیده ناپایداری

پدیده گسیختگ

ی

پدیده پدیده ناپایداریگسیختگ

یپدیده

گسیختگیپدیده ناپایداری


8 دو رده ناپایداری وجود دارد: اساسا

(Limit Point Instability)الف- ناپایداری نقطه حدی

(Bifurcation Point Instability)ب- ناپایداری نقطه دوشاخگی

ناپای=داری نقط=ه ح=دی: ب=رای سیس=تم س=ازه ای تحت ب=ار گ=ذاری •مشخص، فقط یک مسیر تعادل وجود دارد.

ناپایداری نقطه دوشاخگی: برای سیستم سازه ای تحت •بارگذاری مشخص، بیش از یک مسیرتعادل وجود دارد.


متقارن پایدار -1متقارن ناپایدار -2

متقارن نا -3

در یک رده بندی دیگر ناپایداری به دو رده•

ناپایداری ارتجاعی

ناپایداری غیر ارتجاعی

.تقسیم می شود

ناپایداری نقطه دوشاخگی با توجه به وضعیت مسیر دوم به سه رده تقسیم می شود:•

: قبل از ناپایداری، هیچ گونه تسلیمی در مصالح رخ نمی دهد. ناپایداری ارتجاعی

: قبل از ناپایداری، تسلیم در مصالح رخ می دهد.ناپایداری غیر ارتجاعی

8 ناپایداری ارتجاعی را مورد بررسی قرار خواهیم داد. در این فصل صرفا


رفتار خطی سازه ای

(1)

رفتارغیرخطی سازه ای نرم شوندگی softening

(2)

ای سخت شوندگی رفتار غیرخطی سازه stiffening

(3)


ناپایداری ارتجاعی

ناپایداری غیرارتجاعی

غیرخطی )نرم شونده(

غیرخطی )نرم شونده( غیرخطی

8 تا نقطه ناپایداری قطعاخطی است، بعد از آن می

.تواند غیرخطی هم باشد

نوع ناپایداری رفتار سازه رفتار مصالح

.پس برای بررسی پایداری یا ناپایداری، سازه باید دارای رفتار غیرخطی نرم شونده باشد

( برای هر تراز بار، سختی ثابت است، پس هیچ گونه ناپایداری رخ نمی دهد1در شکل ) .

( چون سختی در حال کاهش است، احتمال بروز ناپایداری وجود دارد2در شکل ) .

( سختی در حال افزایش است و ناپایداری مطرح نیست.3در شکل )


Dynamic jump

limit pointP

limP

Limit point Load

(Limit Point Instability)- ناپایداری نقطه حدی 2:الف – تعریف کلی

ب=ار اف=زایش ب=ا آن س=ختی در ک=ه ن=رم ش=وندگی ب=ا مشخص=ه یک س=ازه ک=اهش می یاب=د، احتم=اال پای=داری خ=ود را ب=ه طریق=ه ای ک=ه ناپای=داری نقط=ه ح=دی نامی=ده می ش=ود از دس=ت بده=د. در این ن=وع ناپای=داری، ن=رم ش=وندگی

می ( Initial Mode of Deformation)ک=ه هم=راه ب=ا م=د اولی=ه تغی=یر ش=کلباش=د ممکن اس=ت ب=ا ک=اهش ت=دریجی س=ختی ب=ه ح=التی برس=د ک=ه در آن س=ختی س=ازه بکلی از بین ب=رود. در این ح=الت اس=ت ک=ه گفت=ه می ش=ود مس=یرتعادل ب=ار - تغییرمک=ان ب=ه ی=ک نقط=ه ح=دی رس=یده اس=ت ک=ه در آن

ب=ه ی=ک بافت=ار بس=یار تغییرش=کل یافت=ه (Dynamic Jump )ی=ک پ=رش دین=امیکی (Highly Deformed Configuration).رخ می دهد


،حفظ مد اولیه تغییرشکل بعد از وقوع ناپایداری

.وجود یک مسیر تعادل قبل و بعد از وقوع ناپایداری:دو ویژگی ناپایداری نقطه حدی

به عب=ارت دیگ=ر، در نقط=ه ح=دی س=ختی س=ازه ص=فر اس=ت و هیچ ح=الت تع=ادل همس=ایه ای ب=ه ازای ی=ک اف=زایش ان=دک در ب=ار وج=ود ن=دارد. در این تع=ادل ح=الت ی=ک دنب=ال ب=ه ک=ه مجب=ور می ش=ود ک=ه س=ازه اس=ت نقط=ه پای=داری باش=د ک=ه در این ت=راز ب=ار و عموم=ا در مس=یر تع=ادل مش=ابهی می

باشد.

اگر سیستم کنترل بارگذاری، Load)به جای کنترل بار

Control) از نوع کنترل ،تغییرمکان

(Displacement Control)باشد، در این صورت رفتاری

به صورت روبرو خواهیم داشت:


سازه مدل و کنترل بارگذاری از نوع کنترل

بارForce Loading

( Jالزم ب=ه ذک=ر اس=ت ک=ه ح=رکت ب=ه س=مت ح=الت تع=ادل دیگ=ر)نقط=ه در هم=ان مس=یر تع=ادل، ش=امل انتق=ال مق=دار قاب=ل ت=وجهی ان=رژی ب=وده بن=ام ناپای=داری ن=وع این ده=د. می رخ ت=وجهی قاب=ل ش=دت ب=ا و

نیز معروف است.(Dynamic Snap-Through)فروجهش دینامیکی

ب – مدل سازه ای آزمایشگاهی


Displacement Loading

سازه مدل و کنترل بارگذاری از نوع کنترل تغییر مکان

پ – اعمال روش انرژی برای بررسی پایداری مدل سازه ای )در حالت کنترل بار(


)]sin([sin]cos)[cos(2 22 PLKL

0)cos()sin(]cos)[cos(40 2

PLKL

برای ی=افتن مع=ادالت تع=ادل و مس=یرهای تع=ادل، مش=تق اول تابع=ک انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم:

2

221

21 2

1

2

1

Pw

PKKu

wu

)]sin([sin

]cos)[cos(2

2

1

L

L

θدر مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه مورد نظر، تغییر زاویه غلتکی گ=اه تکی=ه افقی تغییرمک=ان تعری=ف – و تغی=یر ق=ائم Δ1 - یع=نیCب=رای

– کافی است: Δ2 – یعنیBمفصل


KL

Pp

4

)cos(

)sin(]cos)[cos(

p

)(cos

)(coscos2

3

d

dp

)sin(]}cos))[cos(cos()({sin4 222

2

PLKL

با فرض ، معادله مذکور به صورت یک مسیر تعادل واحد در می آید که به صورت زیر تعریف می شود:

( بیانگر سختی سیستم سازه ای است:θ نسبت به pکه شیب آن )مشتق

انرژی از مشتق دوم تابعک تعادل، بررسی پایداری مسیر برایکلی استفاده می کنیم: پتانسیل


])cos(

)(coscos[4

32

2

2

KL

2/ 0)cos( قید مسئله

0)(coscos

0)(coscos

0)(coscos

2

23

2

23

2

23

پایدار

ناپایدار

نقطه بحرانی

: اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر تعادل در نظر بگیریم، در این صورت خواهیم داشت

توجه شود که در حالت بحرانی، سختی سیستم سازه ای صفر است که با فرمول استخراج شده برای سختی سیستم، مطابقت

.سازه ای دارد


برای م=دل م=ورد اس=تفاده، ب=ا و L=0.152mف=====رض

K=8349N/m و α=π/8 ، - به را تغییرمکان بار نمودار

روب==رو خ==واهیم ص==ورتداشت:

پروفی=ل ه=ای ان=رژی پتانس=یل تع=ادل مس=یر روی ک=ه کلی اف==زوده مک==ان تغی==یر ب==ار- ارتب==اط ی==ک اس==ت، ش==ده بین را ارزش=مندی مفه=ومی ب=ر مبت=نی پای=داری تع=اریف و پتانس=یل کلی ان=رژی ف=رم رفت=ار ف=یزیکی واقعی س=ازه

به دست می دهد:)]sin([sin]cos)[cos(2 22 PLKL


ک=ه ک=نیم ف=رض اگ=ر δ=Δ2/L و نم=ودار δ p

و - ک==نیم رس==م را ب=ا (S)س=ختی متن=اظر

آن را ب=ه دس=ت آوریم را رس=م S-θو نم=ودار

نت=ایج ج=البی ب=ه ک=نیم رس====ید. خ====واهیم نم=ودار ه=ا نش=ان می

س=ختی مثبت دهن=د ک=ه بی=انگر تع=ادل پای=دار و بی=انگر منفی س=ختی

.تعادل ناپایدار است


)Geometrical Imperfection( ناکاملی های هندسی -1

انحنا اولیه اعضا سازه ای، •های سازه ای از هندسه انحراف گره•

ایده آل.ناکاملی های مکانیکی -2) Mechanical Imperfections(• ،خروج از مرکزیت بار

تنش های پسماند، •

)Lack of Fit(عدم انطباق •

از نظرحساسیت سازه ها را به ناکاملی، به دو دسته

تقسیم می کنیم:

- سازه های حساس به 1Imperfection Sensitive Structuresناکاملی ها:

- سازه های غیرحساس به 2Imperfection Insensitive Structuresناکاملی ها:

:ناکاملی در سازه ها بر دو نوع است

(Initial Imperfection) ت - اثر ناکاملی اولیه


درجه nدر یک سازه آزادی با چالش های

روبرو مواجه هستیم:

- انتخاب نوع ناکاملی 1- محل اعمال ناکاملی 2- مقدار ناکاملی 3- نحوه ترکیب ناکاملی 4

- سازه هایی که به ازای ناکاملی های کوچک، به طور نامتناسبی، 1تغییرات بزرگی در رفتار را به نمایش می گذارند، سازه های حساس

به ناکاملی ها می باشند. ظرفیت باربری این سازه ها به شدت - س=ازه ه=ایی ک=ه ب=ه ازای ناک=املی ه=ای کوچ=ک، ب=ه ط=ور متناس=بی، 2نسبت به ناکاملی ها حساس است.

ه=ای س=ازه گذارن=د، می نم=ایش ب=ه را رفت=ار در ک=وچکی تغی=یرات غیرحس=اس ب=ه ناک=املی ه=ا می باش=ند. ظ=رفیت ب=اربری این س=ازه ه=ا

حساسیت کمی نسبت به ناکاملی ها دارد.

ها • ناکاملی به نسبت حساسیت آنالیز (Imperfection Sensitivity Analysis) در بررس=ی پای=داری سیس=تم ه=ای س=ازه ای اهمیت ب=ه س=زایی ،

دارد.

.آنالیز تجربی حساسیت شرحی در مورد •

آنالیز احتماالتی برای بررسی حساسیت شرحی در مورد ضرورت •سازه ها نسبت به ناکاملی ها ) به دلیل ماهیت تصادفی ناکاملی ها(


اکن=ون ب=رای م=دل س=ازه ای ی==ک خ==ود، نظ==ر م==ورد ناک=املی هندس=ی را ف=رض می ک=نیم، ب=ه عب=ارت دیگ=ر

را ب=ه θ0ناک=املی هندس=ی از انح=راف ی=ک عن=وان بارگ=ذاری کام=ل هندس=ه

(Perfect Unloaded Geometry)نش=ده ش=کل در ک=ه ص=ورتی ب=ه ش=ده داده نش=ان مقاب=ل است، در نظر می گیریم:

برای تحلیل این سیستم ناکامل ، جهت ساده سازی محاسبات، تقریب سازی خاصی را به کار می بریم .


...!6!4!2

1cos

...!7!5!3

sin

642

753

1cos

sin2

1cos

6sin

0

00

2

3

در این صورت و به صورت زیر به دست خواهند آمد:

12

)]6/(cos)2/([sin

)]2/(cos)6/([sin2

032

2

2301

L

L

2

212

1

Pw

Kuwu 2212

1 PK

اگر از تقریب سازی های زیر استفاده کنیم:


4پتانس=یل کلی ان=رژی تابع=ک رابط=ه در را و مق=ادیر اگ=ر جایگ=ذاری ک=رده و از ت=رم ه=ایی ک=ه دارای و ب=االتر می باش=ند و ن=یز از

ترم هایی نظیر صرف نظر کنیم، در این صورت خواهیم داشت:

123

0

)]6/(cos)2/([sin

)](cossin)2([sin23

02

20

30

222

PL

KL

0از معادله تعادل سیستم به دست می آید:

0)]2/1(cossin.[

)]23(cossin)(sin2[2

2

02

022

PL

KL

و مسیر تعادل به وسیله معادله ) بدون بعد ( زیر مشخص می شود )بیانگر یک مسیر واحد(:

p

)2/1(cossin.

)2/3(cossin)(sin2

02

02

pKL

Pp

4


ه=ایی ک=ه • وی=ژگی ه=ای س=ازه از یکی 8 اساس=ا (Snap-through)کم=انش آنه=ا از ن=وع ف=روجهش

و پای=داری آنه=ا از ن=وع ناپای=داری نقط=ه ح=دی ناک=املی ب=ه اس=ت، ع=دم حساس=یت نس=بت

(Imperfection Insensitivity) .می باشد

مق==ادیر • ازای ب==ه ، (θ0)مختل=ف ناک=املی

ن=یز p - θنم=ودار و رس=م -θ0 pmنم=ودار

شده است.ش=ود • می مالحظ=ه

ازای ب==ه ح==تی ک==ه خیلی ه==ای ناک==املی ب=زرگ، تغی=یر در مس=یر

تعادل اندک است.ش=ود • می مالحظ=ه

ک=ه ب=ار بح=رانی ت=ا ح=د ت=وجهی قاب=ل بس=یار از خطی ت====ابعی

ب===وده θ0ناک===املی بس==یار وحساس==یت

ب==ه نس==بت θ0کمی دارد.


مدل های سازه ای ث- واقعی

ناپایداری نقطه حدی در سازه های زیر که تحت اثر بارگذاری جانبی - سازه های قوسی1قرار دارند، رخ می دهد .

- سازه های فضاکار گنبدی4

- سازه های پوسته ای گنبدی2- سازه های پوسته ای چلیکی 3

)استوانه ای(

- سازه های فضاکار 5- صفحات دایروی انحنادار تحت 6 چلیکیفشار

فصل دوم : رده بندی پدیده های ناپایداریب=ه بارگ=ذاری ج=انبی دای=روی تحت ی=ک ق=وس ناپای=داری ح=دی در رفت=ار

روش کنترل نیرو


رفتار ناپایداری حدی در یک پوسته کروی تحت فشار به روش کنترل

فشار


رفتار ناپایداری حدی در یک تیر جدارنازک تحت بارگذاری جانبی به روش کنترل تغییرمکان


منحنی پاسخ بار- تغییرشکل یک سازه گنبدی تحت بارگذاری انباشته برف در مرکز آن


نقطه دوشاخگی ناپایداری -3:تعریف کلی (1-3

ای خاص=ی ب=ا بارگ=ذاری ه=ای خاص=ی را م=ورد تاکنون ف=رم ه=ای س=ازهی=ک مس=یر دارای تع=ادلی ح=الت ه=ر آنه=ا در ک=ه دادیم ق=رار بررس=ی

ه=ای س=ازهتعادل بود که از آن حالت تعادل عبور می کرد. ف=رم ب=رخی امک=ان در این ه=ای خاص=ی بارگ=ذاری ب=ا ای ب=ه گون=ه ای ک=ه از ی=ک وج=ود دارد ک=ه دارای دو مس=یر تع=ادل باش=ند،

س=ازه حالت تعادل یکسانی عبور می کنند. ه=ای ف=رم ن=وع این در خاص=ی(، ه=ای بارگ=ذاری ب=ا (مب==دا از تع==ادل مس==یر ی==ک آن ب=ه ک=ه ش=ود می ش=روع می اص==لی ی==ا اولی==ه مس==یر ب=ه تع=ادل مس=یر این گ=وییم. وس=یله مس=یر تع=ادل دیگ=ری ک=ه ف=رعی ی=ا ثانوی=ه مس=یر را آن می ن=امیم، قط=ع می ش=ود ک=ه نقط===ه را تق===اطع نقط===ه

دوشاخگی می نامیم.

Bifurcation Point Instability


:بسته به نوع مسیر تعادل ثانوی، سه نوع ناپایداری نقطه دوشاخگی داریم

دوشاخگی متقارن پایدار•

دوشاخگی متقارن ناپایدار•

دوشاخگی نامتقارن•

(Stable-Symmetric Bifurcation)

(Unstable-Symmetric Bifurcation)

(Asymmetric Bifurcation)


دوشاخگی متقارن پایدار (2-3:الف( تعریف کلی

ی=ک در پای=دار س=ازه اولی=ه تع=ادل پای=دار، مس=یر متق=ارن ناپای=داری در نقط=ه ای ناپای=دار می ش=ود ک=ه آن نقط=ه مح=ل تق=اطع دو مس=یر تع=ادل

است و مسیر تعادل ثانوی پایدار و متقارن است.

تحت اثر نیروی محوری و صفحات های الغر این نوع ناپایداری در ستون رخ می (In-plane Loading)نازک تحت اثر بارگذاری درون صفحه ای

دهد.

Secondary Path

Primary Path

c


ب( مدل سازه ای آزمایشگاهی

یک مدل آزمایشگاهی که در شکل زیر نشان داده شده است به گونه ای است که در حالت بارگذاری نشده دو میله صلب و

كه در نقطه توسط فنر دورانی به سختیبه همدیگر متصل شده اند، نسبت به خط افق زاویه صفر می

.سازند. بنابر این فنر بیانگر االستیسیته سیستم می باشدسیستم مذکور تحت اثر بارگذاری محوری به گونه ای که در زیر

.نشان داده شده است قرار دارد

ABBCBCC


تابعک انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:

ی برای بررسی پایداری مدل سازه ایژپ( اعمال روش انر

ای م=ورد نظ=ر تغی=یر در م=دل ریاض=ی مرب=وط ب=ه م=دل ف=یزیکی س=ازه بیانگر فرم کلی تغییر شکل مدل سازه ای می باشد:θزاویه

تغییر مکان در راستای بار :عبارت است از

)( 1)cos1(21 L

)cos1(22

)cos1(2

)2(2

12

2

22

PLC

PLw

CCu

wu


معادله تعادل حاصل منجر به دو مسیر تعادل ممکن زیر می شود

برای یافتن معادالت تعادل و مسیرهای تعادل، مشتق اول تابعک :انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم

0sin24

PLC

با فرض ، معادله تعادل به صورت :زير در مي آيد

C

PLp

2

0sin p

sin

0

p

مسير تعادل ) )

1p

مسير تعادل ) )

2p


:رابطه بار - تغییر مکان توصیف شده به وسیله دو جواب ممکن در زیر نشان داده می شود

برای بررسی پایداری مسیرهای تعادل مذکور مشتق دوم تابعک

انرژی پتانسیل کلی را مورد :بررسی قرار می دهیم

cos242

2

PLC

اگر مشتق دوم مذكور را در روي مسير مورد بررسي قرار : دهيم ) يعني ( ، خواهيم داشت

1p0

0

0

0

)1(42

2

pC حالت

بحراني

حالت پايدار

حالت ناپايدار

1

1

1

p

p

p


و اگر مشتق دوم مذكور را در روي مسير مورد بررسي قرار :دهيم) يعني ( ، خواهيم داشت

2p

sin

p

حالت بحراني



tan

tan

tan

0

0

0

)tan

1(42

2

C

از بررسی مسیر تعادل اول نتیجه می گیریم که حالت مسیر مذکور تغییر می کند و هنگامی که مدل سازه ای مذکور بیش از =p 1در بارگذاری شود، در این صورت با یک اختالل خارجی کوچک =p 1بار

(small external disturbanceاز بافتار تعادل ) .دور خواهد شد 0

از بررسی مسیر تعادل دوم باید گفت که با توجه به اینکه برای تغییر شکل های عملی مدل سازه ای داریم: ، از این رو

همواره خواهیم داشت و لذا مشتق دوم هرگز صفر نخواهد بود و لذا مسیر مذکور عمال پایدار است.

2

tan


برای بررسی پایدار بودن یا پایدار نبودن حالت بحرانی باید مشتقات مرتبه باالتر آن را مورد بررسی قرار می دهیم همانگونه که قبال

گفتیم اگر و باشد در این صورت عالمت مشتق چهارم تابعک انرژی پتانسیل کلی عامل تعیین کننده

پایداری یا ناپایداری حالت بحرانی مورد نظر است به عبارت دیگر اگرداشته باشیم

و در این صورت حالت بحرانی یک حالت پایدار است دارد، θکه داللت بر ناپایداری محلی و تقارن در تغییر شکل بحرانی

ولی ضرورتا بیانگر ناپایداری کلی نمی باشد.

03

3

02

2

03

3

2

2

0

4

4

:برای مدل سازه ای مذکور داریم

04,0,04

4

1,03

3

1,02

2

Cpp

.پس حالت بحرانی یک حالت پایدار است


پروفیل های انرژی پتانسیل کلی که بر روی مسیر تعادل بار- تغییر مکان افزوده شده است یک ارتباط مفهومی ارزشمندی را بین

تعاریف پایداری مبتنی بر فرم انرژی پتانسیل کلی و رفتار فیزیکی واقعی سازه ای به دست می دهد. در نمودار زیر مقادیر نسبی

: در ترازهای ثابت بار رسم شده اند

مش=اهده می ک=نیم هنگ=امی ک=ه 1 p < می باش=د، ان=رژی

مس=یر روی در کلی پتانس=یل در باش==د، می می==نیمم اول

هنگ=ام ب=ه ک=ه ، p >1ح=الی روی در کلی پتانس=یل ان=رژی مس=یر اول ی=ک م=اکزیمم و در می=نیمم ی=ک دوم مس=یر روی

می باشد.از آنجا که مشخصات بار و پایداری به ازای مقادیر مثبت و

یکسان است، از این رو مدل سازه ای صرفا با توجه θمنفی leftبه جهت اختالل خارجی کوچک شاخه سمت چپ )

branch.یا شاخه سمت راست را دنبال خواهد نمود )

22 2 (1 cos )C PL


را ای س=ازه م=دل ی=ک رفت=ار پای=دار، متق=ارن دوش=اخگی بن=ابراین توص=یف می نمای=د ک=ه مس=یر تع=ادل اولی=ه آن در ی=ک ت=راز مش=خص ب=ار ک=ه ب=ار بح=رانی نامی=ده می ش=ود ی=ک مس=یر ث=انوی را قط=ع می کن=د ک=ه

هم پایدار است و هم متقارن.θنسبت به تغییر شکل بحرانی

الزم ب=ه ذک=ر اس=ت ک=ه اگرچ=ه م=دل ریاض=ی م=دل س=ازه ای م=ورد نظ=ر ص=فر، س=ازه دارای س=ختی بی θداللت ب=ر این دارد ک=ه ب=ه ازای

نه=ایت اس=ت، ولی در واق=ع هیچ ن=وع س=ازه ای در عم=ل این چ=نین خاصیتی را نخواهد داشت.


اگر فرض کنیم که و نمودار را رسم نماییم و اگر شیب نمودار مذکور را با نشان دهیم که در

واقع بیانگر سختی سازه می باشد به گونه ای که

)cos1(21

L

p

S

3sin2

cossin/

d

d

d

dp

d

dpS

و نم=ودار را رس=م نم=اییم در این ص=ورت مش=اهده خ=واهیم نم=ود نه=ایت می ابت=دا دارای مق=دار بی ب=وده و در ک=ه هم=واره مثبت باش=د. نکت=ه بس=یار مهم ک=اهش بس=یار قاب=ل مالحظ=ه س=ختی در هنگ=ام

رسیدن به بار بحرانی می باشد.

SS


:ت( اثر ناکاملی اولیه

برای مدل سازه ای مورد نظر یک ناکاملی هندسی را فرض می کنیم، به عبارت دیگر ناکاملی هندسی را به عنوان یک انحراف از هندسه کامل بارگذاری نشده به صورتی که در شکل زیر نشان داده

:شده است در نظر می گیریم

0

:تابعک انرژی پتانسیل کلی عبارت است از

)cos(cos2)(2,, 02

00 PLCP

0:با فرض ، معادله تعادل سيستم به دست مي آيد

0sin2)(4 0

PLC


با فرض ، معادله تعادل سيستم به صورت زير درمي آيد :كه بيانگر مسير تعادل واحد سيستم است

C

PLp

2

sin0

p

نمودار به ازاي مقادير مختلف در زير :ارائه مي شود

p0


:چند نکته مهم در مدل ناکامل قابل توجه می باشد

الف( نحوه تغییر شکل سیستم سازه ای ناکامل مذکور، تابع جهت .ناکاملی اولیه می باشد و عالمت هر دو یکسان می باشد

ب( هنگامی که کوچک است، مسیر تعادل سیستم ناکامل با .افزایش تغییرمکان ها به مدل کامل میل خواهد نمود

0

پ( در سیستم ناکامل، دیگر اثری از نقطه دوشاخگی نیست و تنها با یک مسیر تعادل مواجه هستیم که در واقع در عمل نیز با چنین حالتی روبرو

.خواهیم شدت( این مدل سازه ای حساسیت نسبتا کمی به ناکاملی های اولیه

نشان می دهد، لذا می توان هنوز آنها را جز سازه های . رده بندی نمود

Imperfection - Insensitive


برای بررسی پایداری مسیر تعادل مدل سازه ای ناکامل، مشتق :دوم تابعک انرژی پتانسیل کلی را مورد بررسی قرار می دهیم

cos242

2

PLC

:مشتق دوم مذکور را در روی مسیر تعادل مدل ناکامل مورد ارزیابی قرار می دهیم

0

0

0

]tan

1[4 02

2

1

Cp حالت

بحراني



tan

tan

tan

0

0

0

که با توجه به تغییر شکل های عملی مدل سازه ای، مسیر مذکور همواره پایدار است و لذا مدل مذکور تنها یک مسیر تعادل پایدار را

.دنبال خواهد نمود


ک==ه • ک==نیم ف==رض اگ==ر δ=Δ1/L نم=ودار و p - δ

اگ=ر ش=یب و ک=نیم رارس=م ب==ا را م==ذکور Sنم==ودار

واق=ع در ک=ه دهیم نش=ان بی=انگر س=ختی س=ازه اس=ت،

نم=ودار رس=م S - θو را مش==اهده هم ب==از ک==نیم،

هم=واره Sخ=واهیم ک=رد ک=ه ل===ذا و ب===وده مثبت مس=یرتعادل، هم=واره پای=دار

است.

اف=زایش • )ناک=املی θ0 ب=ا بش==دت س==ختی اولی==ه( ب=از کن=د. می پی=دا ک=اهش ک==اهش مهم، نکت==ه هم مالحظ==ه قاب==ل بس==یار رس=یدن هنگ=ام در س=ختی

به بار بحرانی می باشد.


: ث( مدل های سازه ای واقعی:ناپایداری دوشاخگی متقارن پایدار در سازه های زیر رخ می دهد

ستون های تحت اثر بار محوری (1( sidway bowing )

البته الزم به ذکر است که برای ستون های معمولی به دلیل

وقوع پدیده تسلیم سختی ستون به سرعت به صفر می رسد و

.پدیده کما نش رخ می دهد


ها کمانش پیچشی ستون

ستون های جدار نازک )با سختی پیچشی کمتر نسبت به سختی خمشی ( (2


صفحه تحت (3اثر بارگذاری فشاری درون

صفحه ای


دوشاخگی متقارن ناپایدار (3-3:الف( تعریف کلی

در ناپایداری متقارن ناپایدار، مسیر تعادل اولیه پایدار سازه در یک نقطه ای ناپایدار می شود که آن نقطه محل تقاطع دو مسیر تعادل

است و مسیر تعادل ثانوی ناپایدار و متقارن است:

Secondary Path

Primary Path

c


اگ=ر بارگ=ذاری از ن=وع بارگ=ذاری تغی=یر مک=ان باش=د، م=دل س=ازه ای مس=یر ثانوی=ه را طی خواه=د نم=ود، ولی در ص=ورتی ک=ه بارگ=ذاری این در باش=د، ن=یرویی بارگ=ذاری ن=وع از

نقط=ه در اف=زایش Cص=ورت ی=ک ازای ب=ه ان=دک در ب=ار هیچ ح=الت تع=ادل همس=ایه ای

در این نقط=ه اس=ت ک=ه س=ازه مجب=ور می ش=ود ب=ه دنب=ال ی=ک ح=الت وجود نخواهد داشت.ب=ار و در مس=یر تع=ادل پای=داری باش=د ک=ه ممکن اس=ت در این ت=راز

پ=رش ي=ك وق=وع بن=ابراين باش=د. داش=ته وج=ود ث=انوی تع=ادل ث=انوی م=وجب می ش=ود ک=ه ديناميكي اجتناب ناپذير است. اساس=ا ط=بیعت متق=ارن مس=یرتعادل

باش=د و جهت پ=رش دین=امیکی در دو جهت مختل=ف امک=ان پ=ذیرپ=رش دین=امیکی در واق=ع بس=تگی ب=ه جهت اختالل ک=وچکی خواه=د

در ناپای=داری متق=ارن ناپای=دار م=د تغی=یر ش=کل اولی=ه ک=ه متناس=ب ب=ا به سازه اعمال مي شود.Cداشت كه در نقطه مس=یر تع=ادل اولی=ه اس=ت، متف=اوت از م=د تغی=یر ش=کل ث=انوی اس=ت

که متناسب با مسیر تعادل ثانوی می باشد.

Secondary Path

Primary Path

c


ب( مدل آزمایشگاهی:مدل آزمایش=گاهی ک=ه در ش=کل نش=ان داده ش=ده اس=ت، ب=ه گون=ه ای

( نش=ده بارگ=ذاری ح=الت در ک=ه میل=ه Unloaded Stateاس=ت دو ،) ب=ه وس=یله دو ف=نر انتق=الی ب=ه هم=دیگر Bک=ه در نقط=ه BC و AB ص=لب

پیشاتصال یافته اند، نسبت به افق زاویه صفر می سازند. ف=نر ) دو انتق=الی (، Translational Pre-stressed Springتنی=ده نمایش=گر االستیس=یته سیس=تم ب=وده ک=ه س=ختی یکس=انی دارن=د و ل=ذا مق=اومت مس=اوی ب=رای تغی=یر مک=ان ج=انبی در ه=ر دو راس=تا را ف=راهم

می آورند.


پ( اعمال روش انرژی برای بررسی پایداری مدل سازه ای )در حالت کنترل بار(

در مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه ای مورد نظر، تغییر ) ( و C برای تعریف تغییر مکان افقی تکیه گاه غلتکی θزاویه

) ( کافی است. Bتغییر مکان قائم مفصل 12


sin

)cos1(2

2

1

L

L

تابعک انرژی پتانسیل کلی :عبارت است از

1

22

22 )

2

1(2

Pw

KKu

wu

122 PK


12:از جایگذاری و در تابعک انرژی پتانسیل کلی، نتیجه زیر حاصل می شود

)cos1(2sin 22 PLKL

برای یافتن معادالت تعادل و مسیرهای تعادل، مشتق اول تابعک :انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم

0sin2cossin2

0

2

PLKL

cos

0

p

با فرض ، معادله تعادل مذکور منجر به سه مسیر تعادل زیر می شود:KL

Pp


دو مسیر ابتدائی در شکل زیر نمایش داده شده اند. مسیر سوم .در مدل حاضر از نقطه نظر فیزیکی امکان ناپذیر است

برای بررسی پایداری مسیرهای تعادل سیستم سازه ای از مشتق :دوم تابعک انرژی پتانسیل کلی استفاده می کنیم

cos2)sin(cos2 2222

2

PLKL


0اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر اول مورد بررسی قرار دهیم ) (، خواهیم داشت:

10

10

10

)1(2 22

2

p

p

p

pKL

حالت پایدار

حالت ناپایدار

حالت بحرانی

و اگ=ر مش=تق دوم م=ذکور را در روی مس=یر دوم م=ورد بررس=ی ق=رار دهیم ) (، خواهیم داشت:

cosp

0

0

0

sin2 222

2

KL

اساسا امکان حالت بحرانیندارد

حالت ناپایدار


از بررسی مسیر تعادل اول نتیجه می گیریم که حالت مسیر مسیر تعادل p< 1 تغییر می کند، یعنی در حالت p=1مذکور در

مسیر تعادل ناپایدار است.p> 1پایدار و از بررس=ی مس=یر تع=ادل دوم بای=د گفت ک=ه ب=ا توج=ه ب=ه تغی=یر ش=کل ه=ای عملی م=دل س=ازه ای داریم: ، از این رو عمال م=ذکور مس=یرتعادل ل=ذا و اس=ت منفی دوم مش=تق هم=واره

ناپایدار است.

20

برای بررسی پایدار بودن و پایدار نبودن حالت بحرانی باید مشتقات مرتبه باالترآن را مورد بررسی قرار دهیم. همان گونه که

و باشند، در این صورت قبال گفتیم اگر عالمت مشتق چهارم تابعک انرژی پتانسیل کلی عامل تعیین کننده پایداری و یا ناپایداری حالت بحرانی مورد نظر است، به

عبارت دیگر اگر داشته باشیم:

02

2

03

3

0,04

4

3

3

2

2

.در این صورت حالت بحرانی یک حالت ناپایدار است که داللت بر ناپایداری کلی دارد


cos22cos8

sin22sin4

cos22cos2

2

4

4

2

3

3

2

2

2

PLKL

PLKL

PLKL

061,0

01,0

01,0

2

4

4

3

3

2

2

KLp

p

p

.پس حالت بحرانی، یک حالت ناپایدار است


می باشد، انرژی پتانسیل کلی p< 1مشاهده می کنیم هنگامی که در روی مسیر اول یک مینیمم و در روی مسیر دوم یک ماکزیمم دارد،

، انرژی پتانسیل کلی در روی مسیر اول p>1در حالی که به هنگام صرفا دارای یک ماکزیمم می باشد.

پروفی=ل ه=ای ان=رژی پتانس=یل کلی ک=ه ب=ر روی مس=یر تع=ادل ب=ار – تغی=یر بین را ارزش=مندی مفه=ومی ارتب=اط ی=ک اس=ت، ش=ده اف=زوده مک=ان ف=یزیکی رفت=ار و پتانس=یل کلی ان=رژی ف=رم ب=ر مبت=نی پای=داری تع=اریف واقعی س=ازه ای ب=ه دس=ت می ده=د. در نم=ودار زیرمق=ادیر نس=بی در

ترازهای ثابت بار رسم شده اند:

)cos1(2sin 22 PLKL


بن=ابراین هنگ=امی ک=ه ب=ار وارده ب=ه ب=ار بح=رانی می رس=د، ب=ه ازای ی=ک اف=زایش بس=یار کوچ=ک در م=یزان ب=ار وارده ح=الت تع=ادلی در ن=زدیکی ح=الت تع=ادل بح=رانی وج=ود ن=دارد، ل=ذا س=ازه مجب=ور می ش=ود ح=الت ثانوی=ه مس=یر روی در اس=ت ممکن ک=ه را جدی=دی پای=دار تع=ادل موج=ود باش=د جس=تجو نمای=د و ل=ذا پدی=ده پ=رش دین=امیکی رخ می ده=د و جهت پ=رش دین=امیکی بس=تگی ب=ه اختالل اولی=ه اعم=ال ش=ده ب=ه م=دل

دارد.و مثبت ازای مق=ادیر ب=ه پای=داری و ب=ار ک=ه مشخص=ات آن ج=ا از منفی یکس=ان اس=ت، از این رو م=دل س=ازه ای ص=رفا ب=ا توج=ه

( ی=ا Left branchب=ه جهت اختالل خ=ارجی کوچ=ک، ش=اخه س=مت چپ )( را دنبال خواهد نمود.Right branchشاخه سمت راست )

پای=دار، رفت=ار ی=ک م=دل س=ازه نامتق=ارن ای را بن=ابراین دوش=اخگی توص=یف می نمای=د ک=ه مس=یر تع=ادل اولی=ه آن در ی=ک ت=راز مش=خص ب=ار ک=ه ب=ار کم=انش نامی=ده می ش=ود ی=ک مس=یر ث=انوی را قط=ع می

کند که نسبت به تغییر شکل هم متقارن است و هم ناپایدار.


ت( اثر ناکاملی اولیه

)sin(sin

)cos(cos2

02

01

L

L

برای مدل سازه ای ناکامل، و به صورت زیر بدست می آیند:

1

2

و با جایگذاری در تابعک انرژی پتانسیل کلی، نتیجه زیر حاصل می شود:

2 20 0 0(sin sin ) 2 (cos cos )p KL PL

ای م=ورد نظ=ر، ی=ک ناک=املی هندس=ی را ف=رض می ک=نیم، برای م=دل س=ازهناک=املی هندس=ی از هندس=ه θ0 ب=ه عب=ارتی انح=راف ی=ک ب=ه عن=وان را

کام=ل بارگ=ذاری نش=ده - ب=ه ص=ورتی ک=ه در ش=کل زی=ر نش=ان داده ش=ده است - در نظر می گیریم:


برای تحلیل سیستم ناکامل، جهت ساده سازی محاسبات، تقریب سازی های زیر را مورد:استفاده قرار می دهیم

1cos

sin242

1cos

1206sin

0

00

42

53

:در این صورت، تابعک انرژی پتانسیل کلی تقریبی عبارت خواهد بود از

)242

(2)6

(42

2

0

3

2

0

PLKLp

0:از معادله تعادل سیستم ناکامل به دست می آید

0)6

(2)2

1

3

2(2

3

023

02

PLKL


:و از معادله تعادل مذکور، صرفا معادله یک مسیر تعادل به صورت زیر به دست می آید

)

3

2(

2

11

6

2

1

3

2

0

2

03

0

23

0

p


:چند نکته مهم در مدل ناکامل قابل توجه می باشند

جهت ت=ابع ناکام=ل ای، س=ازه سیس=تم ش=کل تغی=یر نح=وه ال=ف( ناکاملی اولیه می باشد و عالمت هر دو یکسان می باشد.

ب( در سیس=تم ناکام=ل دیگ=ر اث=ری از نقط=ه دوش=اخگی نیس=ت و تنه=ا ب=ا ی=ک مس=یر تع=ادل مواج=ه هس=تیم ک=ه در واق=ع در عم=ل ن=یز ب=ا چ=نین

حالتی روبرو خواهیم شد.

اگ=ر نم=ودار معادل=ه م=ذکور مق=ادیر مختل=ف ازاء ب=ه را

θ0 ن==یز و نم==ائیم رس==م بح==رانی θ0نم==ودار ب==ار -

را رس=م ک=نیم، Pmم=اکزیمم می حاص==ل زی==ر نت==ایج

شوند:


ب=ه ناپای=داری ح=الت ح=دی اس=ت، ناکام=ل، ش=بیه ناپای=داری سیس=تم پ( متق=ارن دوش=اخگی ن=وع از پای=داری اولی=ه، ناک=املی ی=ک دیگ=ر عب=ارت ناپای=دار را ب=ه ناپای=داری نقط=ه ح=دی تب=دیل می نمای=د )ب=ه اس=تثنای مبحث

مدهای تغییر شکل(.

ت( روش=ن اس=ت ک=ه ب=ه ازای ی=ک ناک=املی خیلی کوچ=ک، ک=اهش بس=یار م=دل بن=ابراین می ش=ود. حاص=ل بح=رانی ب=ار در ای مالحظ=ه قاب=ل س=ازه ای م=ذکور حساس=یت قاب=ل ت=وجهی نس=بت ب=ه ناک=املی ه=ای آنه=ا را ج=زء س=ازه ه=ای اولی=ه از خ=ود ب=روز می ده=د، ل=ذا می ت=وان

(Imperfection Sensitive ) .رده بندی نمود


ث( مدل های سازه ای واقعی ناپایداری دوشاخگی متقارن ناپایدار در سازه های

toggleسازه با بارگذاری خروج از مرکز -1زیر رخ می دهد:

)سازه های فضاکار گنبدی()سازه های فضاکار استوانه ای(


پوسته کروی جدار نازک تحت اثر -2Thin spherical shell)بارگذاری فشاری under pressure loading)


پوسته کروی جدارنازک تحت فشار هیدروستاتیکی -3


(Asymmetric Bifurcation)- دوشاخگی نامتقارن 4-3الف - تعریف

ای را م=ورد بررس=ی ق=رار داده ایم تاکنون مشخص=ات م=دل ه=ای س=ازهکلی:ک=ه ی=ک رفت=ار دوش=اخگی متق=ارن ) اعم از پای=دار ی=ا ناپای=دار ( را از

خود نشان مي دهند.مفهوم تقارن بدین معنی بود که رفتار سازه بسته به این که با

دوران مثبت یا دوران منفی تغییر شکل یابد، تغییری نمی کرد و در هر دو حالت رفتار متقارنی داشت.

تقارن مذکور در واقع ناشی از سه نوع تقارن در تقارن بود:

هندسه Symmetry of Geometry

تقارن در بارگذاری

Symmetry of Loading

تقارن در تغییرشکل

Symmetry of Deformation

طبیعی اس=ت ک=ه اگ=ر تق=ارن در هندس=ه ی=ا تق=ارن در بارگ=ذاری نقض ای، رفت=ار دوش=اخگی متق=ارن را از ش=ود، در این ص=ورت م=دل س=ازه

خود نشان نخواهد داد .


ای ک=ه رفت=ار دوش=اخگی نامتق=ارن را از بن=ابراین در م=دل ه=ای س=ازهخ=ود ب=روز می دهن=د، رفت=ار س=ازه دقیق=ا بس=تگی ب=ه نح=وه تغییرش=کل ب=ه جه=ات متف=اوت تغییرش=کل، رفت=ار س=ازه خواه=د داش=ت و بس=ته

های متفاوتی را از خود نشان خواهد داشت.

مثبت ه=ای ش=کل تغی=یر ازای ب=ه ک=ه رود می انتظ=ار بن=ابراین ) ( و ناک=املی اولی=ه مثبت ) (، مس=یر تع=ادل هم=واره

ای ناکام=ل ب=ا رفت=ار پای=دار باش=د. هم=ان گون=ه ک=ه در م=دل ه=ای س=ازهدوشاخگی متقارن پایدار، این چنین رفتاری را مشاهده می نماییم.

000

θ

1p

Secondary Equilibrium Path

مسیر تعادل ثانویه

مسیر تعادل Primary Equilibrium Pathاولیه

2pp

C


ای ب – مدل سازهآزمایشگاهی

همچ=نین انتظ=ار می رود ک=ه ب=ه ازای تغی=یر ش=کل ه=ای منفی ) ( و ناک=املی اولی=ه منفی ) (، مس=یر تع=ادل از نقط=ه بح=رانی ب=ه

ای ناکام=ل ب=ا بع=د ناپای=دار گ=ردد، ب=ه گون=ه ای ک=ه در م=دل ه=ای س=ازهناپای=دار متق=ارن دوش=اخگی ه=ای س=ازه رفت=ار م=دل رفت=ار ی=ا ب=ا ای

ناپای=داری ح=دی، این چ=نین رفت=اری را مش=اهده می نم=اییم و پ=رش 8 در این م=دل س=ازه(Dynamic Jump)دین=امیکی ای رخ خواه=د حتم=ا

داد.

000


در ای ) پ – اعمال روش انرژی برای بررسی پایداری مدل سازهحالت بارگذاری نیرویی(

)cos1(21 L

])sin1(1[2 2

1

2 L

تابعک انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:

wu 1

222

1

Pw

Ku

ای مورد نظر، تغییر در مدل ریاضی مربوط به مدل فیزیکی سازه ) ( و C برای تعریف تغییر مکان افقی تکیه گاه غلتکی θزاویه

) ( کافی است. Bتغییر طول فنر مفصل به 12


تابع=ک تع=ادل، مش=تق اول تع=ادل و مس=یرهای ی=افتن مع=ادالت برای انرژی پتانسیل کلی را مساوی صفر قرار می دهیم:

1222

1 PK

)cos1(2])sin1(2sin2[ 2

12 PLKL

0

0sin2]cos)sin1([cos 2

12

PLKL

بافرض ، معادله تعادل مذکور منجر به دو مسیر تعادل KLزیر می شود:

Pp

4

]1

)sin1(

1[cot2

0

2

1

p

1pمسیر

2pمسیر


ای، از مشتق دوم برای بررسی پایداری مسیر های تعادل سیستم سازهتابعک انرژی پتانسیل کلی استفاده می کنیم:

1 32 22 22 2

2sin [(1 sin ) 1] cos (1 sin ) 2 cos

2

KLKL PL

دو مسیر و در شکل زیر نمایش

داده شده اند:

1p2p


اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر تعادل ) یعنی ( مورد بررسی قرار دهیم، خواهیم داشت:

1p0

1

2

2

2 2 2

2 2

2

2

1 0

(1 ) 1 02

1 0

p

p

KLp p

p

ناپايدار

بحرانی

پايدار

اگر مشتق دوم مذکور را در روی مسیر ) یعنی ( مورد بررسی قرار دهیم، خواهیم داشت:

2p]1

)sin1(

1[cot2

2

1

p


]1

)sin1(

1[

sin

cos

)sin1(cos2

]1)sin1[(sin

2

1

22

2

32

22

12

2

2

2

KL

KLKLp

0

0

0

22

2

p

حالت پایدار

حالت ناپایدارحالت بحرانی

0

0

0


ت ( اثر ناكاملي اوليه:

)cos(cos2 01 L

])sin1()sin1[(2 2

1

2

1

02 L

)cos(cos2

])sin1()sin1[(

0

22

1

2

1

02

0

PL

KLp

12براي مدل ناكامل و به صورت زير به دست مي آيند:

12از جايگذاري و در تابعك انرژي پتانسيل كلي، نتيجه زير حاصل مي شود:

ای م=ورد نظ=ر، برای م=دل س=ازهف=رض را هندس=ی ناک=املی ی=ک ناک=املی عب=ارتی ب=ه ک=نیم، می

ی=ک θ0هندس=ی عن=وان ب=ه را کام==ل هندس==ه از انح==راف ص=ورتی ب=ه - نش=ده بارگ=ذاری ک=ه در ش=کل روب=رو نش=ان داده می نظ==ر در - اس==ت ش==ده

گیریم:


1cos

sin242

1cos

6sin

0

00

42

3

)4

3

2

1(

1 2

00

p

براي تحليل سيستم ناكامل، جهت ساده سازي محاسبات، تقريب سازي هاي زير را مورد استفاده قرار مي دهيم :

با جايگذاري روابط مذكور در تابعك و با در نظر گرفتن ، معادله تعادل سيستم ناكامل بدست آمده و از معادله تعادل مذكور،

معادله تعادل مسير واحد به صورت زير به دست مي آيد:

0

1p


اگر نمودار معادله مذكور را به ازاي مقادير مختلف رسم نماييم نتيجه زير حاصل مي شود:

0

چند نكته مهم در مدل ناكامل قابل توجه اي ناكامل، تابع جهت ناكاملي الف ( نحوه تغييرشكل سيستم سازهمي باشد:

اوليه مي باشد و عالمت هر دو يكسان است.

ب ( در سيستم ناكامل، اثري از نقطه دوشاخگي نيست و تنها با يك مسيرتعادل مواجه هستيم كه در واقع در عمل نيز با چنين حالتي

روبرو خواهيم شد.


)0( 0 پ ( سيستم ناكامل با ناكاملي اوليه مثبت ، داراي مسيراي ناكامل با تعادل پايدار مي باشد، همان گونه كه در مدل هاي سازه

رفتار دوشاخگي متقارن پايدار، با چنين وضعي مواجه هستيم.

ت ( سيس=تم ناكام=ل ب=ا ناك=املي اولي=ه ، داراي مس=ير تع=ادل ) از نقط=ه بح=راني ب=ه بع=د ( ناپاي=دار مي باش=د، هم=ان ط=ور ك=ه در م=دل ه=اي

اي ناكام=ل ب=ا رفت=ار دوش=اخگي متق=ارن ناپاي=دار، ب=ا چ=نين وض=عي س=ازهمواج=ه هس=تيم. در ح=الت بارگ=ذاري ن=يرويي، از نقط=ه بح=راني ك=ه نقط=ه مرب=وط ب=ه م=اكزيمم ب=ار مي باش=د، ي=ك پ=رش دين=اميكي رخ خواه=د داد. ناك=املي ب=ه مق=دار ت=وجهی ب=ار بح=راني حساس=يت بس=يار قاب=ل مق=دار اولي=ه دارد. بن=ابراين س=ازه ه=ايي ك=ه اين چ=نين رفت=اري را از خ=ود نش=ان

مي دهند، حساس به ناكاملي مي باشند.

)0( 0


- قاب دو عضوي با تكیه گاه 1هاي ساده

اي ث ( مدل هاي سازهواقعي :


- خرپاي پل2

فلوچارت تشخیص نوع ناپایداری در تحلیل درج=ه آزادي ب=ا الگ=وي بارگ=ذاري مش=خص و هندس=ه معل=وم Nيك س=ازه ناپایداری سازه ها

در دس=ت مي باش=د. مراح=ل تش=خيص ن=وع ناپاي=داري اين س=ازه در ی=ک تحلیل ناپایداری به شكل يك فلوچارت در زير آورده شده است:

تحليل غيرخطي هندسي و مصالح با اعمال 8 با استفاده از روش كنترل تغييرمكان ) مثال

Arc-Length Method)

استخراج رفتار بار - تغييرمكان سازه Perfect

محاسبه دترمينان ماتريس سختي سازه در هر تراز بارگذاري. در يك تراز بار اين

دترمينان صفر يا منفي خواهد شد.

اعمال تغييرمكان را ادامه مي دهيم.

Linear Bucklingانجام تحليل Analysis و استخراج مودهاي

كمانش سازه

اگر با افزايش تغييرمكان، افزايش بار داشته باشيم،

ناپايداري از نوع دوشاخگي خواهد بود

چنانچه با افزايش تغييرمكان، بار كاهش پيدا كند، ناپايداري نقطه

حدي خواهيم داشت.

پايان

اعمال مود كمانش غالب در دو و ايجاد سازه Perfectجهت به سازه

Imperfect

تحليل غيرخطي هندسي و مصالح سازه Imperfect -و استخراج رفتار بار

تغييرمكان سازه در هر دو جهت

دو جهت مختل=ف در چنانچ=ه س=ازه باش=د، نداش=ته يكس=اني رفت=ار دوش=اخگي ن=وع از ناپاي=داري

نامتقارن مي باشد.

ب==ا هم==واره چنانچ==ه تغییرمک==ان، اف==زایش داش==ته ب==ار اف==زایش باش=یم، ناپاي=داري از ن=وع متق==ارن دوش==اخگي

پايدار است.

پايان

چنانچه سازه در دو جهت مختلف رفتار يكساني داشته باشد،

ناپايداري از نوع دوشاخگي متقارن مي باشد.

چنانچ=ه در نقط=ه ای از مس=یر تغییرمک=ان، اف=زایش ب=ا تع=ادل باش==یم، داش==ته ب==ار ک==اهش دوش=اخگي ن=وع از ناپاي=داري

متقارن ناپايدار است.

پايان پايان


- بررسي ناپايداري سيستم هاي با چند درجه آزادي 4الف( Multi - Degree of Freedom System )به صورت تحلیلی(

سيس=تم ه=اي ب=ا چن=د درج=ه آزادي، سيس=تم ه=ايي هس=تند ك=ه ح=الت تع=ادل مقدمه :آنها با چند متغير حالت مشخص مي شود.

در بررسي پايداري سيستم هاي با چند درجه آزادي از قضيه مشهور الگرانژ - ديريكلت

استفاده خواهيم نمود .

(Lagrange - Dirichlet Theorem)

ب( معيار پايداري سيستم هاي باچند درجه آزادي ) با ) Lagrange-Dirichletاستفاده از قضيه يك سيستم با درجه آزادي را در نظر

متغير مستقل كه مختصات تعميم يافته ناميده n مي گيريم. مي شوند، حالت تعادل سيستم را در هر لحظه از زمان مشخص

خواهند نمود.

n

12 ,,..., uuun

بررس=ی پای=داری سیس=تم ه=ای چن=د درج=ه آزادي، نس=بتا پیچی=ده می باش=د ولی بررس=ی م=ذکور، نک=ات بس=یار ج=البی را در م=ورد پای=داری سیس=تم ه=ای چن=د درج=ه آزادی، ب=ار ه=ای بح=رانی و م=د ه=ای کم=انش ب=ه دس=ت

می دهد.


تابعک انرژی پتانسیل کلی یک سیستم االستیک در واقع تابعی ازمختصات تعمیم یافته است. اگر تابعک مذکور را با استفاده از سری

بسط تیلور حول حالت تعادل بسط دهیم، خواهیم داشت:

},0{},{ pEpuE i

...!2

1

!1

1},{

2

111

jiEji

n

j

n

iiE

i

n

iEi uu

uuu

upu

)0,...,0,0( E )0,...,0,0(i

Ei uu

مشتق اول تابعک انرژی پتانسیل کلی نسبت به متغیرهای حالت مساوی صفر می باشد:

0

Eiu

1,2,...,i n


...!2

1 2

11

jiEji

n

j

n

iuu

uu

بنابراین تغییر در انرژی پتانسیل کلی عبارت است از:

اگر تغییردر انرژی پتانسیل کلی را محدود به فرم درجه دوم کنیم و از درجات باالترصرفنظر کنیم در نهایت نتیجه زیر حاصل می شود :

2

1 1 1 1

1 1

2! 2

n n n n

E i j ij i ji j i j

i j

u u a u uu u

2

[ ]ij Ei j

au u

شرط پایداری سیستم چند درجه آزادی

عبارت است از:0 شرط افزایش انرژی پتانسیل برای ایجاد یک

اختالل کوچک


AA

AUU T

2

1

که در آن داریم:

ija مقادیر ) و (را میتوان به عنوان درایه های یک ماتریس در نظرگرفت که آن

را با نشان می دهیم. در این صورت خواهیم داشت:

nj ,...,1 ni ,...,1nnA

nu

u

u

U

.

.

.2

1

مش=خص اس=ت ك=ه هنگ=امي مثبت اس=ت ك=ه ي=ك م=اتريس معين مثبت باش=د و هنگ=امي معين مثبت اس=ت ك=ه دترمين=ان م=اتريس و دترمين=ان

اص=لي ماينوره=اي كلي=ه مثبت (Principle Minors)ه=اي باشند.

A

1 1

1

2

n n

ij i ji j

a u u


13

2

12

2

21

2

.

.

uu

uu

u

23

2

22

2

21

2

.

.

uu

u

uu

23

2

32

2

31

2

.

.

u

uu

uu

21

2

21

2

. uu

u

22

2

21

2

u

uu

ماتريس براي يك سيستم با دو درجه آزادي عبارت است از:

A

و براي يك سيستم با سه درجه آزادي داريم:


2

21

2

22

2 2 2 2

2 21 2 1 2 1 2

0

0

0

u

u

u u u u u u

بنابراين، به عنوان مثال، معيار پايداري يك سيستم با دو درجه آزادي عبارت است از:

پ - مثال يك سيستم با دو درجه آزادي:

درج=ه دو دارای م=ذکور سیس=تم اس=ت. را θ2و θ1آزادی مس=تقل

ی=ا ح=الت ه=ای متغ=یر عن=وان ب=ه مختص=ات تعمیم یافت=ه سیس=تم در

نظر می گیریم.


2121 sinsinsin

L

UU

)coscoscos3(

)(2

1)(

2

1

211

22

21

PLPw

CCu

wu

با فرض خواهيم داشت :

21cos

2

2221

21 )210(

2

1)8()210(

2

1 pCpCpC

كه در آن Cداريم:

PLp

2

نشان می دهیم که بر حسب دو Φزاویه دوران میله میانی را با به صورت زیر بیان می شود: θ2 و θ1متغیر


شرط پايداري سيستم عبارت است از:

معادالت تعادل سيستم را از و به صورت زير بدست مي آوريم:

01

02

0)8()210( 21 pCpC01

02

0)210()8( 21 pCpC

021021

2

p

021022

2

p

2 2 2 2

2 21 2 1 2 1 2

0

0)6)(2(

0)8()210( 22

pp

pp

(a)

(b)

(c)


سه شرط و و به ازاي ارضا مي شوند. دترمينان در و

مساوي صفر است كه در واقع مقادير بحراني را بدست مي دهد. به عبارت ديگر داريم:

(a) (b) (c) 2p2p6p

L

CP

L

CP

ppC

PLp

crcr

3,

6,2,2

21

اگر معادالت تعادل را به صورت زير بنويسيم :

p

p

8

210

p

p

210

8

2

1

0

است كه ويژه مقادير (EigenProblem) كه در واقع يك ويژه مسئله(EigenValues) آن و و ويژه بردارهاي (EigenVectors)

آن عبارت است از: 2p6p


]1,1[1 B و . و بارهاي و در واقع همان مدهاي كمانش مي باشند. بحراني و

این شکل های مود را در زیر نشان می دهیم.

]1,1[2 B2p6p1B2B

مسير تعادل كه به ازاي پايدار و حالت بحراني تعادل و ناپايدار مي باشد.

1p2p )0( 21 2p2p

مسير تعادل كه همواره پايدار بوده و نقطه نقطه دوشاخگي متقارن پايدار مي باشد.

2p)2,0,0(),,( 21 p

21

12

3

12

p

الزم به ذكر است كه اين مسير تعادل بيانگر مد تغييرمكان متقارن بوده و در واقع مد كمانش در اين مسير متقارن مي باشد.

داراي معادله زير است : p2مي توان نشان داد كه مسير تعادل


پادمتق=ارن تغييرش=كل م=د ي=ك بي=انگر (Antisymmetric)اين مس=يرتعادل، ب=وده و در واق=ع م=د كم=انش در اين مس=ير پادمتق=ارن مي باش=د و نقط=ه ي=ك نقط=ه دوش=اخگي متق=ارن ب=وده ك=ه در آن س=ختي

افزايش مي يابد. (Post-Critical Stiffness)پس بحراني

)6,0,0(),,( 21 p

2

1

12

36

p

3p:مي توان نشان داد كه مسير تعادل داراي معادله زير است


Linear Buckling)توضیحی در مورد آنالیز خطی کمانش Analysis)مقدار کمانش یا تحلیل ویژه(Eigenvalue Buckling

Analysis)

پایداری سازه ها

مقدار تحلیل ویژهکمانش

مقادیر: بارهای ویژه بحرانی کمانش ویژه

بردارها: مود های کمانش

دینامیک سازه ها

مقدار فرکانس تحلیل ویژه (Eigenvalue Frequency Analysis)

مقادیر: فرکانس های ویژهارتعاش

بردارها: مود های ویژهارتعاش

Documents

كريم عابدي