Помехоустойчивое кодирование

Линейные коды

Некоторые предположения

•Блоковый код- код, в котором все слова имеют одинаковую длину.•Кодовое слово – слово из некоторого кода С.

Исходные предположения относительно каналаИсходные предположения относительно канала

1. Сохранение длины. Слово на выходе канала имеет такую же длину, как кодовое слово на входе канала.

2. Независимость ошибок. Вероятность ошибки любого символа сообщения одна и та же.

Исходная стратегия Исходная стратегия декодированиядекодирования

• При декодировании мы используем принцип максимального правдоподобия, или стратегию ближайшего соседа, согласно которым получатель должен декодировать полученное слово w' как кодовое слово w, ближайшее к w'.

Расстояние Хэмминга

•Интуитивное понятие “близости'' двух слов формализуется с помощью расстояния Хэмминга d(x, y) слов x, y.•Для двух слов x, y

d(x, y) = число символов, в которых они различаются.

•Примеры: h(10101, 01100) = 3, h(fourth, eighth) = 4

Свойства расстояния Хэмминга (1)

• (1) d(x, y) = 0 Ű x = y• (2) d(x, y) = d(y, x)• (3) d(x, z) Ł d(x, y) + d(y, z) (неравенство

треугольника)

• Важнейшей характеристикой кодаC является его минимальное расстояние

• d(C) = min {d(x, y) | x,y C, x ą y},

• d (C) дает наименьшее число ошибок, необходимое для перевода одного кодового слова в другое.

Свойства расстояния Хэмминга (2)

• Теорема (Основная теорема исправления ошибок)• (1) Код C может обнаруживать до s ошибок, если d(C)

ł s + 1.• (2) Код C может исправлять до t ошибок, если d(C) ł

2t + 1.Доказательство (1) Очевидно. • (2) Предположим d(C) ł 2t + 1.

Пусть передается кодовое слово x и получено слово y так что d(x, y) Ł t. Если x' ą x является кодовым словом, тогда d(x' ‚ y) ł t + 1 поскольку в противном случае d(x', y) < t + 1 и следовательно d(x, x') Ł d(x, y) + d(y, x') < 2t + 1 что противоречит предположению d(C) ł 2t + 1.

Кодирование – введение избыточности –алгебраический

подход

Кодер110 ,...,, kaaa

словонноеИнформацио

110 ,...,, nccс

словоКодовое

Систематическое кодирование

Кодер110 ,...,, kaaa

словонноеИнформацио

nkk ccaaa

словоКодовое

,...,,,...,, 110

Кодирование – введение избыточности

(систематическое кодирование)

битыепроверочны

ccfc

ccfc

битынныеинформацио

aс

aс

aс

knn

kkk

kk

),...,(

...

),,...,(

,

...

,

,

1011

10

11

11

00

Линейное систематические кодирование – линейные функции

функциибулевылинейныеff

битыепроверочны

ccfc

ccfc

битынныеинформацио

aс

aс

aс

nk

knn

kkk

kk

1

1011

10

11

11

00

,...,

,

),...,(

...

),,...,(

,

...

,

,

Пример линейного систематического кодирования - добавление проверки на

четность(1)Пример.

Информационное слово

Кодовое слово

000 0000

001 0011

010 0101

011 0110

100 1001

101 1010

110 1100

111 1111

.

,

,

,

2103

22

11

00

cccс

aс

aс

ac

Линейный код (некоторые параметры) - (n,k,d)-код

• n – длина кодовых слов (длина кода)

• k – число информационных разрядов

• d – минимальное кодовое расстояние

• - скорость передачи

• Комментарий: Хороший (n,k,d)-код имеет маленькое n и большие k и d.

n

kR

Примеры

• C1 = {00, 01, 10, 11} есть (2,2,1)-код.

• C2 = {000, 011, 101, 110} есть (3,2,2)-код.

• C3 = {00000, 01101, 10110, 11011} есть (5,2,3)-код.

ISBN-ISBN-код – недвоичный кодкод – недвоичный код

•Каждая книга имеет International Standard Book Number, которое представляет собой 10-разрядное кодовое слово создаваемое издателем и имеющее следующую структуру:

• l p m w = x1 … x10

• язык издатель номер взвешенная контрольная сумма• 0 07 709503 0•так что

Издатель добавляет X в 10-ю позицию, если x10 = 10.

•The ISBN code is designed to detect: (a) any single error (b) any double error created by a transposition

11 mod 010

1

i

iix

ISBN-ISBN-код – недвоичный кодкод – недвоичный код

• Обнаружение одиночной ошибкиОбнаружение одиночной ошибки

• Пусть X = x1 … x10 - правильный код и пусть

• Y = x1 … xJ-1 yJ xJ+1 … x10 , причем yJ = xJ + a, a ą 0

• В таком случае:

11 mod 010

1

10

1

jaixiyi

ii

i

ISBN-ISBN-код – недвоичный кодкод – недвоичный код

• Обнаружение ошибки перестановкиОбнаружение ошибки перестановки

• Пусть xJ и xk поменялись местами.

. и при

11 mod 0

10

1

10

1

kj

kj

kji

ii

i

xxjk

xxjk

xkjxjkixiy

Пример линейного систематического кодирования - добавление проверки на

четность(2)Пример.

Информационное слово

Кодовое слово

000 0000

001 0011

010 0101

011 0110

100 1001

101 1010

110 1100

111 1111

.

,

,

,

2103

22

11

00

cccс

aс

aс

aс

2

1

0

3

2

1

0

111

100

010

001

a

a

a

c

c

c

c

Порождающая матрица

Пусть - кодовое слово длины n - информационное слово длины k

G – nxk порождающая матрица кода

G

G

Систематический код

• Первые разрядов кодового слова совпадают с информационными битами

1G

IG k

Порождающая матрица

• Пример.

• Длина слов n=7, число иформационных разрядов =4, число проверочных разрядов n-k=3

G

3

2

1

0

6

5

4

3

2

1

0

1110

0111

1101

1000

0100

0010

0001

a

a

a

a

с

с

с

с

с

с

с

Проверки

• Пример. Получаем проверки

,

,

,

3216

2105

3204

сссс

сссс

сссс

3

2

1

0

6

5

4

3

2

1

0

1110

0111

1101

1000

0100

0010

0001

a

a

a

a

с

с

с

с

с

с

с

Проверочная матрица

• Пример.

• H – (n-k)xn проверочная матрица:

,0

,0

0

6321

5210

4320

сссс

сссс

сссс

0

1001110

0100111

0011101

6

5

4

3

2

1

0

с

с

с

с

с

с

с

0H

Связь порождающей и проверочной матрицы систематического кода

• Пример.•

,

1110

0111

1101

1000

0100

0010

0001

4

P

IG

)(

1001110

0100111

0011101

3IPH

0HGT

Связь порождающей и проверочной матрицы систематического кода

•

,)(

kkn

k

kn P

IG )( )(

)(knkkn

nknIPH

0HGT

Сводка результатов по линейным кодам

• Линейный код задается порождающей ( ) или проверочной ( ) матрицами.

• Код (множество кодовых слов) – линейное подпространство, порожденное столбцами

• С другой стороны – линейный код – дуальное подпространство столбцов матрицы - дуальный код

G

H

GG

G

TH