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第十章 曲线积分与曲面积分. 返回. 一、主要内容. 1. 曲线积分与曲面积分. 2. 各种积分之间的联系. 3. 场论初步. 联系. 联系. 1. 曲线积分与曲面积分. 对面积的 曲面积分. 对弧长的 曲线积分. 曲线积分. 曲面积分. 定义. 计算. 定义. 计算. 对坐标的 曲线积分. 对坐标的 曲面积分. 曲 线 积 分. 对弧长的曲线积分. 对坐标的曲线积分. 定义. 联系. 计 算. 二代一定 ( 与方向有关 ). 三代一定. 与路径无关的四个等价命题. 条件. 等 价 命 题. 曲 面 积 分. - PowerPoint PPT Presentation
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第十章 曲线积分与曲面积分第十章 曲线积分与曲面积分
返回返回
1. 曲线积分与曲面积分
2. 各种积分之间的联系
3. 场论初步
一、主要内容一、主要内容
曲线积分
曲线积分
曲面积分
曲面积分
对面积的曲面积分对面积的曲面积分
对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分
对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分
定义定义
计算计算
定义定义
计算计算
联系联系
联系联系
1. 1. 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分
曲 线 积 分对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分
定义
n
iiiiL
sfdsyxf1
0),(lim),(
L
dyyxQdxyxP ),(),(
]),(),([lim1
0iii
n
iiii yQxP
联系 dsQPQdyPdx
LL)coscos(
计
算
dtf
dsyxfL
22],[
),(
三代一定 )(
dtQP
QdyPdxL
]),(),([
二代一定 ( 与方向有关 )
与路径无关的四个等价命题
条件
在单连通开区域 D 上 ),(),,( yxQyxP 具有
连续的一阶偏导数 ,则以下四个命题成立 .
L
QdyPdxD 与路径无关内在)1(
C
DCQdyPdx 闭曲线,0)2(
QdyPdxduyxUD 使内存在在 ),()3(
xQ
yP
D
,)4( 内在
等
价
命
题
曲 面 积 分对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分
定义
n
iiiii sfdszyxf
10
),,(lim),,(
xyi
n
iiii SRdxdyzyxR )(),,(lim),,(
10
联系
RdxdyQdzdxPdydz
计
算 一代 , 二换 , 三投 ( 与侧无关)
一代 , 二投 , 三定向 ( 与侧有关 )
dSRQP )coscoscos(
dszyxf ),,(
xyD
yx dxdyzzyxzyxf 221)],(,,[
dxdyzyxR ),,(
xyD
dxdyyxzyxR )],(,,[
定积分曲线积分
重积分曲面积分
计算
计算计算
Green 公式Stokes 公式
Guass 公式
2. 2. 各种积分之间的联系各种积分之间的联系
点函数)(,)(lim)(1
0MfMfdMf
n
ii
.)()(
,],[1
b
adxxfdMf
baR
时上区间当
.),()(
,2
D
dyxfdMf
DR
时上区域当
积分概念的联系积分概念的联系
定积分
二重积分
dVzyxfdMf
R
),,()(
,3
时上区域当
.),,()(
,3
dszyxfdMf
R
时上空间曲线当
.),,()(
,3
S
dSzyxfdMf
SR
时上曲面当曲面积分
曲线积分
三重积分
.),()(
,2
LdsyxfdMf
LR
时上平面曲线当曲线积分
计算上的联系计算上的联系
)(,]),([),()(
)(
2
1
面元素 ddxdyyxfdyxfb
a
xy
xyD
)(,),,(),,()(
)(
),(
),(
2
1
2
1
体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfb
a
xy
xy
yxz
yxz
b
aLdsdxyxyxfdsyxf ))((,1)](,[),( 2 曲线元素
b
aLdxdxxyxfdxyxf ))((,)](,[),( 投影线元素
xyD
yx dxdyzzyxzyxfdszyxf 221)],(,,[),,(
xyD
dxdyyxzyxfdxdyzyxR )],(,,[),,(
其中
dsRQP
dxdyRQdzdxPdydz
)coscoscos(
dsQPQdyPdxL
)coscos(
))(( 曲面元素ds
))(( 投影面元素dxdy
理论上的联系理论上的联系
1. 定积分与不定积分的联系
))()(()()()( xfxFaFbFdxxfb
a
牛顿 --莱布尼茨公式
2. 二重积分与曲线积分的联系
)()( 的正向沿LQdyPdxdxdyyP
xQ
LD
格林公式
三重积分与曲面积分的联系
RdxdyQdzdxPdydzdvzR
yQ
xP
)(
高斯公式曲面积分与曲线积分的联系
dxdyy
P
x
Qdzdx
x
R
z
Pdydz
z
Q
y
R)()()(
RdzQdyPdx 斯托克斯公式
D
LdxdykArotsdA )(
D
LdxdyAdivdsnA
)(
GreenGreen 公式公式 ,,GuassGuass 公式公式 ,,StokesStokes 公式之间的公式之间的关系关系
dSnArotdSA )(
RQPzyx
dxdydzdxdydz
RdzQdyPdx
dvAdivdsnA
)(
dvzR
yQ
xP
RdxdyQdzdxPdydz
)(
D
Ldxdy
yP
xQ
QdyPdx )(
D
Ldxdy
yQ
xP
PdyQdx )(或
推广 推广
为平面向量场)(MA
为空间向量场)(MA
梯度 kzu
jyu
ixu
gradu
通量
旋度
环流量zR
yQ
xP
Adiv
RdxdyQdzdxPdydz
kyP
xQ
jxR
zP
izQ
yR
Arot
)()()(
RdzQdyPdx
散度
3. 3. 场论初步场论初步
二、典型例题二、典型例题
ttytx ),(),(
对弧长的曲线积分的计算方法练习对弧长的曲线积分的计算方法练习解法：化为参变量的定积分计算
解题步骤：
（ 1 ）画出积分路径的图形；
（ 2 ）把路径 L 的参数式子写出来：
（ 3 ）将 ds 写成参变量的微分式，代入并计算：
dtttttfdsyxf
L)()()](),([),( 22
注意：参数大的作为上限 β ，小的作为下限 α
. 1. 22 L
dsyx计算例 ).0( : 22 aaxyxL
解
.sin2
,cos22 :
ay
aaxL
.20
L
dsyx 22
daaaaa
2
02222 )cos
2()sin
2()sin
2()cos
22(
daa
2
0
2)cos1(2
2
da2
0
2
2cos
2
dada
22
0
2 )
2cos(
2
2cos
2.2 2a
o x
y
a
a/2
形的边界。轴在第一象限中所围图及
直线由圆周计算例
x
xyayxLdseL
yx ,:,.2 22222
解：
L
yx dse22
B
O A(a,0) X
Y
aa
2
2,
2
2
axyOA 0,0:
OA
yx dse22
BO
yx
AB
yx
OA
yx dsedsedse22
^
2222
dxea x
01 ae
B
O A X
Y
aa
2
2,
2
2
,4
0,sin,cos:^
ttaytaxAB
^
22
AB
yx dse
,2
20,: axxyBO
BO
yx dse22
aa
BO
yx aeedse4
1222
故：
dtaea 4
0
aae
4
dxea x 2
2
0
2 2 1 ae
. 3 xyzds例
),0,20( ),00,0( . : ，，折线 AooABC.)4,2,3( ),0,2,3( CB
o
x
y
z
A
B
C
2
3
4
解 xyzds
BCABoA
xyzdsxyzdsxyzds
oA：
过点 o (0, 0, 0) ，平行于 y 轴，
}.0,1,0{ s取
方程： ,
0
0
z
ty
x
.20 t
.0oAxyzds
AB ： 过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x 轴， }.0,0,1{ s取
.0oAxyzds
AB ：过点 A (0, 2, 0) ，平行于 x 轴， }.0,0,1{ s取
o
x
y
z
A
B
C
2
3
4
方程：
.0
,2
z
y
tx
.30 t
.0ABxyzds
BC ：过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z 轴， }.1,0,0{ s取
方程：,2
3
tz
y
x
.40 t
.001 22 dtdds
.0oAxyzds
.0ABxyzds
BC ：过点 B (3, 2, 0) ，平行于 z 轴， }.1,0,0{ s取
方程：
4
023 tdtxyzds
BC.48
xyzds BCABoA
xyzdsxyzdsxyzds
于是，
.484800
o
x
y
z
A
B
C
2
3
4,2
3
tz
y
x
.40 t
.001 22 dtdds
对坐标的曲线积分的计算方法：对坐标的曲线积分的计算方法：四种四种解法 1 ：化为参数的定积分求解
dttttQtttPQdyPdxL
)}()](),([)()](),([{
. , tt 终点起点
).(),(
:tytx
L（ 1
）
（ 2 ）
（ 3）
则，终点为起点为 .)(: baxxyL
.)}( )](,[)](,[{ dxxxxQxxPQdyPdxb
aL
则，终点为起点为 .)(: dcyyxL
.]}),([)(]),([{ dyyyQyyyPQdyPdxd
cL
解法 2 ：利用格林公式求解
.)(
LD
QdyPdxdxdyyP
xQ
注意：
（ 1 ） P （ x ， y ）、 Q （ x ， y ）在闭域 D 上一阶偏导数的连续性；
（ 2 ）曲线 L 是封闭的，并且是取正向。
解法 3 ： L 不闭合，则补充边 L’ 使 L+L’ 闭合，在再用格林公式
'' LLLL
QdyPdxQdyPdxQdyPdx
'' LLL
QdyPdxy
P
x
Q
解法 4 ：利用与路径无关条件求解
1
0
1
0
11
00
),(),( 10
),(
),(
y
y
x
x
yxB
yxAdyyxQdxyxPQdyPdx
y
P
x
Q
则
若
.)2( 1 2 L
dyxyx例
. )0,( 1 )0,( :2
2
2
2的弧段到沿从 aB
b
y
axaAL
解
.sin
,cos :
tby
taxL .BA
o x
y
aa
b
AB.0 : t
. cos dttbdy
L dyxyx )2( 2 0
22 cos)cossin2cos( dttbttabta
0
22 coscos dtttba
0
22 sin )sin1( tdtba
.34 2ab
0
22 sincos2 dtttab
0
22 cos cos2 tdtab
. 2 L
ydxxdy例
. 132
: 域的正向边界所围轴，轴， DyxyxL
o x
y
2
3
A
B
D
解 . , xQyP
P ， Q 在 D 上具有一阶连续偏导数。
.1 ,1
xQ
yP
由格林公式，有
dxdyyP
xQ
ydxxdyD
L )(
dxdyD 2 .632
。）的曲线，）到（，点（
为由其中计算例
xy
LdyyxdxxyxIL
2sin1100
,)()2(3 422
解,2x
y
P
xx
Q2
,2),( 2 xyxyxP ,),( 42 yxyxQ
,x
Q
y
P
与路径无关所以 L
dyyxdxxyxI )42()22(
Y
XO 2
1
1
A
B
选择路径 OBA ，则
LdyyxdxxyxI )()2( 422
1
0
41
0
2 1 dxydxx15
23
.)cos()sin( 4 L
xx dymxyedxmyye例
. )0,0( )cos1()sin( )2,( : 的弧段到沿从 o
tayttaxaaAL
o x
y
a
a2 A
解 .cos ,sin mxyeQmyyeP xx
P ， Q 在全平面一阶连续偏导数。
,cos myeyP x
.cos myexQ x
，即xQ
yP
且全平面是单连通域。
因此，曲线积分与路径无关。
Bo x
y
a
a2 A,cos mye
yP x
.cos myexQ x
，即xQ
yP
且全平面是单连通域。
因此，曲线积分与路径无关。
取一简单路径： AB + Bo ..02: , : ayaxAB .0: ,0 : axyBO
L
xx dymxyedxmyye )cos()sin(
0
)cos()sin( B
xxAB
dymxyedxmyye
0)cos(0
2
aa dyamye .2sin2
2 aeam a
.)()( 5 L
dyyxdxyx例
. : 222 上半圆周，逆时针方向ayxL
o x
y
aa
a. , yxQyxP
P ， Q 在全平面一阶连续偏导数。
,1
yP .1
xQ
解
补上直线段 AB ， L 与 AB 所围为 D 。
A BD
在 D 域上应用格林公式。
dxdyxQ
yPdyyxdxyx
DABL
)()()(
dxdyD2 .2
a
补上直线段 AB ， L 与 AB 所围为 D 。在 D 域上应用格林公式。
dxdyy
P
x
Qdyyxdxyx
DABL
)()()(
dxdyD2 .2
a
.: ,0 : aaxyAB
AB
dyyxdxyx )()( a
adxx )0(
.0dy
.0
L
dyyxdxyx )()(
ABLdyyxdxyx )()(
ABdyyxdxyx )()(
.2 a
o x
y
aa
a
A BD
的正方向。
：为沿椭圆其中
计算曲线积分例
1
,I
6
2
2
2
2
2222
b
y
a
x
Ldyyx
yxdx
yx
yx
L
22 yx
yx
yy
P
解 2222 ),(,),(yx
yxyxQ
yx
yxyxP
Y
XO-a a
b
-b
,2
222
22
22yx
xxyy
yx
yx
xx
Q
L
在 L 包围的椭圆区域内作顺时针方向的小圆周 L1：
)20(,sin,cos yrx
,2
222
22
yx
xxyy
L1
所以，
dxdyx
Q
y
Pdy
yx
yxdx
yx
yx
DLL
1
2222 )(1
.0 Y
XO-a a
b
-b
D1
L
在 D1 域上应用格林公式，有
Ldy
yx
yxdx
yx
yx2222
1
2222Ldy
yx
yxdx
yx
yx
dr
r
rrr
r
rr
2
0 22 cossincos
sinsincos
2
0d 2
1
2222Ldy
yx
yxdx
yx
yx
L1
对面积的曲面积分的计算法
解题步骤：
1 、画出曲面∑的草图；
2 、由曲面∑的方程，写出其去曲面微分 ds
dsyxzz 则若 ),,( ;1 22 dxdyzz yx
dsxzyy 则若 ),,( ;1 22 dzdxyy xz
dszyxx 则若 ),,( ;1 22 dydzxx zy
3 、计算在投影面上的二重积分；
解法：化为投影域上的二重积分的计算
面上方的部分。在为抛物面其中
计算曲面积分例
xOyyxz
dSyx
)(2
,)(.1
22
22
解： z
x
yO
∑ 在 xOy 面上的投影域为：
dxdyzzdS yx221
222 yx
yzxz yx 2',2'
dxdyyx 22 441
20,20 r投影域在极坐标下可表示为：
z
x
yO
所以，
Dxy
dxdyyxyx 2222 441)(
rdrrrd 2
0
222
041
)41(8
141)141(
4
12 22
0
22 rdrr
0
2)41(
3
2)41(
5
2
162
322
52
rr
dSyx )( 22
30
149
。为球面其中
计算曲面积分例
azzyx
dSzyx
2
,)(.2
222
222
解：z
x
yO
a
∑2
∑1
如图所示，记上半球面为∑ 1
记下半球面为∑ 2
则 ∑ =∑1+∑2
∑1 的方程为： 222 yxaaz
,'222 yxa
xzx
222'
yxa
yz y
221 yx zzdS ,222
dxdyyxa
a
∑1 在 xOy 面上的投影域为：
222 ayx
ar 0,20 投影域在极坐标下可表示为： z
x
yO
a
∑2
∑1
1
222 )( dSzyx
Dxy
dxdyyxa
ayxaaa
222
2222
Dxy
dxdyyxa
yxaaa
222
22222
ardr
ra
raada
0 22
222
0
22
46 a
同理，可得
2
222 )( dSzyx 42 a
故
dSzyx )( 222 46 a 42 a 48 a
轴的转动惯量。对于的均匀半求壳求面密度为例
z
zazyx )0(.3 22220
解：z
x
yO222 yxaz
,'222 yxa
xzx
222
'yxa
yz y
221 yx zzdS ,222
dxdyyxa
a
半球壳的方程为：
z
x
yO
dSyxI z
022 )(
此半球壳在 xOy 面上的投影域为：
222 ayx
ar 0,20 在极坐标系下可表示为：
故，所求转动惯量为：
dxdyyxa
ayx
Dxy222
220 )(
a
rdrra
ard
0 22
22
00
arad
ra
raada
0
22
22
2222
00 )()(
2
1
aradraraaa
0
222
1222
1222
0 )()()(
0)(
3
2)(2 2
3222
1222
0
araraaa
403
4a
对坐标的曲面积分的计算法解法有三种：1 、通过投影化为二重积分
RdxdyQdzdxPdydzI
Dyz
dydzzyzyxP ,),,(
Dzx
dzdxzxzyxQ ),,(, Dxy
dxdyyxzyxR ),(,,
”；” “，否则取“积分前取为锐角，则上式第一个，轴的夹角与的法向量若
xnxn
^
”；” “，否则取“积分前取为锐角，则上式第二个，轴的夹角与的法向量若
ynyn
^
”；” “，否则取“积分前取为锐角，则上式第三个，轴的夹角与的法向量若
znzn
^
2 、利用两类曲面积分之间的联系
dxdyRQdzdxPdydz
dydzRQP )cos
cos
cos
cos(
dzdxRQP )cos
cos
cos
cos(
dSRQP )coscoscos(
dSRQP
cos)cos
cos
cos
cos(
dxdyRQP )cos
cos
cos
cos(
3 、利用高斯公式
RdxdyQdzdxPdydzI
（ 1 ）曲面∑闭合，且 P 、 Q 、 R 在闭曲面∑所围成的空间区域 Ω中有连续的一阶偏导数，则
取外侧。其中
,dxdydzz
R
y
Q
x
P
（ 2 ）若曲面∑不闭合，且 P 、 Q 、 R 比较复杂， P、 Q 、 R 在∑ + ∑* （ ∑ + ∑* 闭合）所构成的空间区域 Ω中有连续的一阶偏导数，则
**
I
*
例 1 计算 ,
yzdxdyxydzdxzxdydz 其中 是圆柱面
在第一卦限中 122 yx
解
10 z 的部分的前侧 .
1
x
y
z
o1
1
zxdydz )1( 计算
. 1 2 前侧： yx
面投影，得向将曲面 yoz
.10 ,10 : zyDyz
yzD
前侧
zxdydzzxdydz yzD
dydzyyz 1 2
dyyzdz 11
021
0 .8
1
x
y
z
o1
1
xydzdx )2( 计算
. 1 2 右侧： xy
面投影，得向将曲面 xoz
.10 ,10 : zxDxz
右侧
xydzdxxydzdx xzD
dzdxxx 1 2
dxxxdz 11
021
0 .31
xzD
例例 1-21-2
1
x
y
z
o1
1
yzdxdy )3( 计算
面，轴或垂直于平行于 xoyz
.0
yzdxdy因此，
于是，
yzdxdyxydzdxzxdydz
yzdxdyxydzdxzxdydz .31
8
例 2 计算 ,
yzdzdxxydydzxzdxdy 其中 是平面
在第一卦限内的上侧 。1 zyx
解1}1{1 ，，的法向量为 n
方法一，化为投影域上的二重积分
因为取∑的上侧，所以
03
1coscoscos
yzdzdxxydydzxzdxdy
Dxy
dxdyyxx )1( Dyz
ydydzzy )1( Dzx
dzdxxz )1(
Dxy
dxdyyxx )1(3
1
x
y
z
o1
1Dxy
面投影，得向将平面 Oy x
.10 ,10 : xyxDxy
yzdzdxxydydzxzdxdy
Dxy
dxdyyxx )1( Dyz
ydydzzy )1( Dzx
dzdxxz )1(
Dxy
dxdyyxx )1(3
从而
yzdzdxxydydzxzdxdy
Dxy
dxdyyxx )1(3
x
dyyxxdx1
0
1
0)1(3
8
1
1
x
y
z
o1
1Dxy
1}1{1 ，，的法向量为 n
方法二，利用两类面积分的联系
因为取∑的上侧，所以
03
1coscoscos
yzdzdxxydydzxzdxdy
dSyzxyxz coscoscos
dSyzxyxz
coscos
cos
cos
cos
dxdyyzxyxz
Dxy
dxdyyxyxyyxx )1()1(
x
dyyxyxyyxxdx1
0
1
0)1()1(
8
1
1
x
y
z
o1
1Dxy
方法三，利用高斯公式
yzdzdxxydydzxzdxdy
321
)( dvzyx
1
x
y
z
o1
1Dxy
补充∑ 1 ： x=0 取后侧
∑2:y=0 取左侧∑3:z=0 取下侧，使其与∑构成封闭外向曲面。
321321
∑1
∑3
∑2
如图所示， ∑ 1 ： x=0 ∴ 011
xydydzxzdxdy
又 ∑ 1 和 zOx 面垂直 ∴ 01
yzdzdx
从而 01
yzdzdxxydydzxzdxdy
1
x
y
z
o1
1Dxy
∑1
∑3
∑2
如图所示， ∑ 1 ： x=0 ∴ 011
xydydzxzdxdy
又 ∑ 1 和 zOx 面垂直 ∴ 01
yzdzdx
从而 01
yzdzdxxydydzxzdxdy
yzdzdxxydydzxzdxdy
321
)( dvzyx
同理可得 02
yzdzdxxydydzxzdxdy
03
yzdzdxxydydzxzdxdy
所以，
yzdzdxxydydzxzdxdy 000)(
dvzyx
yxx
dzzyxdydx1
0
1
0
1
0 8
1
例 3 计算曲面积分,2 2
dxdyzyzdzdxxzdydzI 其中 是由曲面
解
2222 2 yxzyxz 与 所围立体的表面外侧。
dxdydzz
R
y
Q
x
PI
dxdydzzzz
22
dxdydzz
2
221
0
2
0
r
rzdzrdrd
2sincos2
2
0
34
0
drrd
z
x
y1
例 4 计算曲面积分
yzdxdydzdxyxdydzyI 4)1(2)18(2
,
其中是由曲线 )31(0
1
yx
yz 绕 y轴旋转一周
所成的曲面,它的法向量与 y轴正向的夹角恒大于2
.
解
221
0
1
xzy
yx
yz
轴旋转面方程为绕
( 如图所示 )
例例 4-14-1
x
y
z
o 1 3
2
*
补充∑ * ： y=3 取右侧则∑ * 与∑构成封闭外向闭曲面
* *
I
x
y
z
o 1 3
2
*
dxdydzzR
yQ
xP
)(*
dxdydzyyy )4418(
dv
xzDxz
dydxdz3
1 22
3
1
2
0
2
0 2rdyrdrd
例例 4-24-2
2
0
3 )2(2 drrr ,2
* *
2
*
2 )31(20)1(20 dzdxdzdxy ,32
)32(2 I故 .34
又 ∵∑ * ： y=3 和面 yOz 、 xOy 都垂直 ∴
04)18(**
yzdxdyxdydzy
三、巩固练习三、巩固练习
一 、 选 择 题 :
1、 设 L 为2
30,0 yxx , 则 L
ds4 的 值 为 ( ) .
( A) 04 x ， ( B) ,6 ( C) 06 x .2、 设 L 为 直 线 0yy 上 从 点 ),0( 0yA 到 点 ),3( 0yB 的
有 向 直 线 段 , 则 Ldy2 =( ) .
( A) 6; ( B) 06 y ; ( C) 0.
3、 若 L 是 上 半 椭 圆
,sin
,cos
tby
tax取 顺 时 针 方 向 , 则
L
xdyydx 的 值 为 ( ) .
( A) 0; ( B) ab2
; ( C) ab .
4 、 设 ),(,),( yxQyxP 在 单 连 通 区 域 D 内 有 一 阶 连 续 偏 导 数 , 则 在 D 内 与
LQdyPdx 路 径 无 关 的 条 件
Dyxy
P
x
Q
),(, 是 ( ) .
( A ) 充 分 条 件 ; ( B ) 必 要 条 件 ; ( C ) 充 要 条 件 .5 、 设 为 球 面 1222 zyx , 1 为 其 上 半 球 面 , 则 ( ) 式 正 确 .
( A )
1
2 zdszds ;
( B )
1
2 zdxdyzdxdy ;
( C )
1
22 2 dxdyzdxdyz .
6、若为 )(2 22 yxz 在 xoy面上方部分的曲面 , 则
ds等于( ).
(A) r
rdrrd0
22
041
;(B)
2
0
22
041 rdrrd
;
(C) 2
0
22
041 rdrrd
.
7、若为球面 2222 Rzyx 的外侧,则
zdxdyyx 22 等于( ).
(A) xyD
dxdyyxRyx 22222 ;
(B) 2 xyD
dxdyyxRyx 22222 ; (C) 0 .
8、曲面积分
dxdyz 2 在数值上等于( ).
(A) 向量 iz 2 穿过曲面的流量； (B) 面密度为 2z 的曲面的质量； (C) 向量 kz 2 穿过曲面的流量 . 9、设是球面 2222 Rzyx 的外侧, xyD 是xoy面
上的圆域 222 Ryx , 下述等式正确的是( ).
(A) xyD
dxdyyxRyxzdsyx 2222222 ；
(B) xyD
dxdyyxdxdyyx )()( 2222 ；
(C) xyD
dxdyyxRzdxdy 2222 .
10、若是空间区域的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A)
外侧
dxdyyzdydzx )2(2
=
dxdydzx )22( ；
(B)
外侧
zdxdyydzdxxdydzyzx 23 2)(
= dxdydzxx )123( 22 ；
(C)
内侧
dxdyyzdydzx )2(2
=
dxdydzx )12( .
二、计算下列各题:
1、求zds,其中为曲线
,
,sin
,cos
tz
tty
ttx
)0( 0tt ；
2、求 L
xx dyyedxyye )2cos()2sin( ,其中L为上
半圆周 222)( ayax , 0y ,沿逆时针方向 . 三、计算下列各题:
1、求 222 zyx
ds 其中是界于平面 Hzz 及0
之间的圆柱面 222 Ryx ；
2、 求
dxdyyxdzdxxzdydzzy )()()( 222 ，
其中为锥面 )0(22 hzyxz 的外侧；
3、
3222 )( zyx
zdxdyydzdxxdydz其 中 为 曲 面
9)1(
16)2(
51
22
yxz)0( z 的上侧 .
四、证明:22 yx
ydyxdx
在整个xoy平面除去 y的负半轴及
原点的开区域 G 内是某个二元函数的全微分,并 求出一个这样的二元函数 .
五、求均匀曲面 222 yxaz 的重心的坐标 .
六、求向量 kzjyixA 通过区域 : ,10 x 10,10 zy 的边界曲面流向外侧的通量 .
七、流体在空间流动,流体的密度 处处相同( 1 ), 已知流速函数 kzyjyxixzV 222 ,求流体在单 位时间内流过曲面 zzyx 2: 222 的流量(流 向外侧)和沿曲线 :L zzyx 2222 , 1z 的环流量(从z轴正向看去逆时针方向) .
测验题答案
一、1、B； 2、C； 3、C； 4、C； 5、B； 6、C； 7、B； 8、C； 9、C； 10、B.
二、1、3
22)2( 2
320 t
； 2、 2a .
三、1、RH
arctan2 ； 2、 4
4h
； 3、0.
四、 )ln(21
),( 22 yxyxu .
五、 )2
,0,0(a
. 六、3.
七、 0,1532 .
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