ВейвлетыВейвлетыи банки фильтрови банки фильтров

Лектор: Лукин Алексей СергеевичЛектор: Лукин Алексей Сергеевич

ПланПлан

Вейвлеты и их связь с банками фильтровВейвлеты и их связь с банками фильтров– Непрерывное вейвлет-преобразованиеНепрерывное вейвлет-преобразование– Дискретное вейвлет-преобразованиеДискретное вейвлет-преобразование– Квадратурные зеркальные фильтрыКвадратурные зеркальные фильтры– Пирамидальное представление данныхПирамидальное представление данных– Банки фильтров: Банки фильтров: DFT, MDCTDFT, MDCT

Применения банков фильтровПрименения банков фильтров– АудиоэффектыАудиоэффекты– ШумоподавлениеШумоподавление– Компрессия звука и изображенийКомпрессия звука и изображений

Понятие вейвлетаПонятие вейвлета

Вейвлеты – это сдвинутые и Вейвлеты – это сдвинутые и масштабированные копии масштабированные копии ψψa,ba,b(t)(t) ((«дочерние «дочерние

вейвлеты»)вейвлеты») некоторой быстро затухающей некоторой быстро затухающей осциллирующей функции осциллирующей функции ψψ(t)(t) («материнского («материнского вейвлета»)вейвлета»)

Используются для изучения частотного Используются для изучения частотного состава функций в различных масштабах и состава функций в различных масштабах и для разложениядля разложения//синтеза функций в синтеза функций в компрессии и обработке сигналовкомпрессии и обработке сигналов

a

bt

atba 1)(,

Понятие вейвлетаПонятие вейвлета

Обычно накладываемые условия на Обычно накладываемые условия на ψψ(t):(t):

► ИнтегрируемостьИнтегрируемость

► Нулевое среднее, нормировкаНулевое среднее, нормировка

► Нулевые моменты (Нулевые моменты (vanishing moments)vanishing moments)

dtt)(

dtt2)(

0)(

dtt 1)(2

dtt

0)(

dtttm

Понятие вейвлетаПонятие вейвлета

Примеры вейвлетовПримеры вейвлетов

Meyer

Mortlet

Mexican hat

Непрерывное вейвлет-Непрерывное вейвлет-преобразование (преобразование (CWT)CWT)

Скалярные произведения исследуемой Скалярные произведения исследуемой функции функции f(t) f(t) с вейвлетами с вейвлетами ψψa,ba,b(t)(t)

dtttxxbaxW baba )()(,),}({ ,,

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование (преобразование (DWT)DWT)

Используются лишь целочисленные Используются лишь целочисленные сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 сдвиги вейвлета и масштабирование в 2 разараза

Возможность построения ортогонального Возможность построения ортогонального преобразованияпреобразования

Дискретный вейвлетДискретный вейвлет1.1. Последовательность чиселПоследовательность чисел

2.2. Ортогональна своим сдвигам на четное число Ортогональна своим сдвигам на четное число точекточек

3.3. Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), Существует скейлинг-функция (НЧ-фильтр), ортогональная вейвлетуортогональная вейвлету

][2 mh

0,,0]2[][ 22

kZkkmhmhm

0][][ 21

m

mhmh

Преобразование Хаара Преобразование Хаара

Простейший случай вейвлет-Простейший случай вейвлет-преобразованияпреобразованияДан входной сигнал Дан входной сигнал x[n]x[n]

Образуем от него последовательности полусумм и Образуем от него последовательности полусумм и полуразностей:полуразностей:

Легко видеть, что сигнал Легко видеть, что сигнал x[n] x[n] можно восстановить:можно восстановить:

Такое кодирование избыточно: из одной Такое кодирование избыточно: из одной последовательности получаем двепоследовательности получаем две

2

]1[][][*1

nxnxnx

2

]1[][][*2

nxnxnx

][][][ *2

*1 nxnxnx

Преобразование Хаара Преобразование Хаара

Устранение избыточностиУстранение избыточностиПроредим полученные последовательности в 2 Проредим полученные последовательности в 2

разараза::

Легко видеть, что справедлив алгоритм Легко видеть, что справедлив алгоритм восстановления:восстановления:

]2[][ *11 nxnx ]2[][ *

22 nxnx

2,1,0

,2][

iнечетноеn

четноеnn

xny i

i (интерполяция нулями)

]1[][][ 11**1 nynynx ]1[][][ 22

**2 nynynx (фильтрация)

][][][ **2

**1 nxnxnx (суммирование)

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

Обобщение преобразования ХаараОбобщение преобразования Хаара

Свойство точного восстановления (Свойство точного восстановления (PR):PR):

Количество информации не изменяется.Количество информации не изменяется.

Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие Нужно найти хорошие фильтры, обеспечивающие точное восстановление.точное восстановление.

H2

H1

↓2

↓2Коэффициенты

↑2

↑2

G2

G1

+x[n] x’[n]

Декомпозиция Реконструкция

][][ nxnx

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

ПрореживаниеПрореживание

ИнтерполяцияИнтерполяция

↑2

↓2

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

Квадратурные зеркальные фильтры (Квадратурные зеркальные фильтры (QMF)QMF)

частотныехарактеристики

импульсныехарактеристики

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

QMF: QMF: базис Хаарабазис Хаара

Плохое частотное разделение, но хорошая

временная (пространственная)

локализация

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

Условия точного восстановления:Условия точного восстановления:– Рассмотрим случайРассмотрим случай

hh11[m] – [m] – симметричный, четной длинысимметричный, четной длины

– В этом случаеВ этом случае требуется, чтобы требуется, чтобы Построение Построение PR-PR-вейвлетоввейвлетов::

– Нужна хорошая пространственная локализация Нужна хорошая пространственная локализация – берем стандартные вейвлеты (например, – берем стандартные вейвлеты (например, вейвлеты Добеши).вейвлеты Добеши).

– Нужна хорошая частотная локализация – Нужна хорошая частотная локализация – свойству свойству PR PR удовлетворить трудно. Поэтому удовлетворить трудно. Поэтому строим строим QMF QMF со свойством «почти со свойством «почти PRPR».».

нечетноеmmh

четноеmmhmh

],[

],[][

1

12

],[][ 11 mhmg ],[][ 22 mhmg

2][][2

2

2

1 HH

Дискретное вейвлет-Дискретное вейвлет-преобразование преобразование

Построение «почти Построение «почти PRPR»»--фильтров большого фильтров большого размера с хорошим частотным разделениемразмера с хорошим частотным разделением::1.1. Строим симметричный НЧ-фильтр Строим симметричный НЧ-фильтр hh11[m] [m] методом методом

оконного взвешивания.оконного взвешивания.

2.2. Нормируем его коэффициенты:Нормируем его коэффициенты:

3.3. Строим дополняющий его ВЧ-фильтр Строим дополняющий его ВЧ-фильтр hh22[m]:[m]:

4.4. Проверяем величину искажений по суммарной Проверяем величину искажений по суммарной частотной характеристикечастотной характеристике и пробуем изменить и пробуем изменить частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения частоту среза НЧ-фильтра для уменьшения искажений.искажений.

2][1 m

mh

нечетноеmmh

четноеmmhmh

],[

],[][

1

12

Пирамидальное Пирамидальное представление представление

Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-Продолжаем вейвлет-разложение для НЧ-коэффициентовкоэффициентов

H2

H1

↓2

↓2 Коэффициенты

x[n]

H2

H1

↓2

↓2

Двумерное вейвлет-преобразование

на каждом шаге получаем4 набора коэффициентов:

НЧ («основные»)и ВЧ («детализирующие»)

Частотный диапазон

делится на октавы

Одномерный случай

Банки фильтров Банки фильтров

Банки фильтров – преобразования, Банки фильтров – преобразования, разбивающие сигнал на несколько разбивающие сигнал на несколько частотных полос.частотных полос.– С точным восстановлением?С точным восстановлением?– С увеличением количества информации?С увеличением количества информации?– С перекрытием между временными окнами?С перекрытием между временными окнами?

ПримерПример:: дискретные вейвлеты дискретные вейвлеты Еще примерЕще пример:: кратковременное кратковременное

преобразование Фурьепреобразование Фурье (STFT – Short Time (STFT – Short Time Fourier Transform)Fourier Transform)

Банки фильтров Банки фильтров

Как банки фильтров разбивают частотно-Как банки фильтров разбивают частотно-временную плоскость?временную плоскость?

f

tОконное ДПФ

f

tВейвлеты

Банки фильтров: Банки фильтров: STFTSTFT

Без окон, без перекрытияБез окон, без перекрытия– Плохое разделение по частотамПлохое разделение по частотам– Временной алиасингВременной алиасинг– Нет избыточностиНет избыточности

С окнами, с перекрытиемС окнами, с перекрытием– Хорошее разделение по частотамХорошее разделение по частотам– Нет временного алиасинга (при двукратном Нет временного алиасинга (при двукратном

применении окон)применении окон)– ИзбыточностьИзбыточность

Банки фильтров: Банки фильтров: MDCTMDCT

Хорошее разделение по частотамХорошее разделение по частотам С перекрытием и уничтожением С перекрытием и уничтожением

временного алиасингавременного алиасинга Без избыточности!Без избыточности!

Каждое окно длины Каждое окно длины 2N 2N захватывает захватывает NN новых новых отсчетов и выдает отсчетов и выдает N N коэффициентовкоэффициентов

Требование к окнам:Требование к окнам:

Подходящие окна – Подходящие окна – Kaiser-Bessel derived (KBD)Kaiser-Bessel derived (KBD)

constNnwnw 22 ][][

Банки фильтров:Банки фильтров:достоинства и достоинства и недостаткинедостатки STFTSTFT

DWTDWT

+Очень быстрая реализация для большого числа полос.

–Слишком различающееся число осцилляцийбазисных функций, эффект Гиббса.

+Возможность произвольных разбиений F-T плоскости.

–Малое число частотных полос.Плохое частотное разделение между полосами.