{ определение случайных величин - математическое ожидание - примеры – дисперсия – центральные и начальные моменты – коэффициент корреляции - ковариация }

Математическое ожидание

M ( )p( )

Математическим ожиданием дискретной случайной величины

называется величина

Pj

P

xj

Если д.с.в. имеет математическое ожидание, то оно находится как сумма всех произведений значений случайных величин на их вероятности n

j jj 1

M x p

Случайных величин без математического ожидания не бывает, так как, если у нас есть случайная величина мы всегда в праве от нее что-нибудь ожидать.

Из студенческой контрольной работы

@@

Пример

n n nm m n m m n m

j j nj 1 m 1 m 1

nm 1 n m

m 1

n nm 1 m 1 ( n 1) ( m 1) m m n m

n 1 nm 1 m 0

n!M( ) x p mC p g m p g

m!( n m) !

( n- 1) !np p g

( m- 1) !(( n- 1) - ( m- 1)) !

np C p g np C p g np

Найти математическое ожидание для биномиального распределения дискретной случайной величины.

M ( ) np

РешениеРешение

Математическое ожидание случайной величины

M xf ( x )dx

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины

называется величина

f(x)

x

Свойства: Mc c

Mc cM n n

j jj 1 j 1

M M

)(M)(M)(M

( и – независимые СВ)

@@

Пример

Найти математическое ожидание для нормального распределения непрерывной случайной величины.

РешениеРешение

dtteπ2σ

1M 2

2

σ2

m)(t

dzdtσ1

σm)d(t

zσ

m)(t

2

2 2

z2

z z2 2

1M ( z m)e dz

2π

1ze dz m( e dz )

2π 2π

= 0 !

= 1 !

M() = m

m

Дисперсия случайной величины

f(x)

x

Дисперсия случайной величины определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания

0)M(ξ)M(ξ)MξM(ξ 2 2D M( M ) - cреднее квадратичное отклонение

2 2 2D M( M ) M( ) M( 2 M) M(M ) 2 2Dξ M(ξ ) ( Mξ )

22 2j j j j j j

j j j

D p (x M ) x p ( x p ) Д.С.В.

Н.С.В. 2 2 2D f (x)(x M ) dx x f (x)dx ( xf (x)dx)

Dc 0

2Dc c D j jj j

D D j независимы в совокупности

Свойства:

D( ) D( ) D( )

@@

Пример

n

jj 1

D DX npg npq

2

2 2 2

MX 0 q 1 p p MX 0 q 1 p p

DX MX (MX) p p p( 1 p) pg

1 2 nX X .... X

Найти дисперсию для биномиального распределения

Предварительно найдем дисперсию в распределении Бернулли

n

jj 1

M MX np

РешениеРешение

X 0 1

P q p

@@

Пример

bb 2

a a

1 x a bM x dx

b a 22 b a

1, x [a,b]

f (x) b a 0 , x [a,b]

bb 3 2 22 2

a a

1 x a ab bM x dx

b a 3(b a) 3

Найти дисперсию для равномерного распределения

f(x)

x

2 2 2 22 2 a ab b (a b) (b a)

D M (M )3 4 12

a b

Центральные и начальные моменты

2 2 2 21 0 1 2 2 1

M(ξ ), 1, 0 , (a) M( a) M( ) (M )

kk

m (a) M | a |

Математическим моментом случайной величины называется математическое ожидание величины ( - a)

k :

Если a = M() , момент называется центральным, если a = 0 , тоначальным - k

Абсолютный момент k-го порядка:

f(x)

3 < 03 > 0

44

E 3

kk a)M(ξ(a)μ

33 3 2 1 1

2 44 4 3 1 2 1 1

nn k k n k n 1 n

n n k 1 1k 2

3 2

4 6 3

( 1) C ( 1) (n 1)

3 33 / 2 32

A

Коэффициент ассиметрии Эксцесс – степень крутости распределения E=0 для случая Н.З. распределения

@@

Пример

xe , x 0f (x )

0 , x 0

3 3 2 33 3 1 2 13 3 3

6 1 2 13 23 2

A 21 1

1M

Определить числовые характеристики для экспоненциального распределения

2 2 x 22 1 2 2

0

2 1D x e dx ( 1 / )

44

E 3 9

2

A 2

M = 1/2

D = 1/4

f(x)

Числовые характеристики зависимости двух случайных величин

MM)M()M()(M))(M()(M)(D 22 222222

Величина M(ξη) - MξMη равняется нулю, если случайные величины ξ и η независимы. Однако из равенства ее нулю вовсе не следует независимость. Эту величину часто используют как «индикатор наличия зависимости» пары случайных величин.

Ковариацией covcov(ξ,η(ξ,η)) случайных величин ξξ и ηη называется число

))Mηη)(Mξξ((M)ξ,ηcov( MηM)ξη(M))Mηη)(Mξξ((M)ξ,ηcov(

Dξ)ξ,ξcov( )η,ξcov()ξ,ηcov(

j,i

jiji

jiji

i

n

1ijii

n

1i

n1 ),ξξcov(),ξξcov(2ξD),ξξcov(ξD)ξ...ξ(D

Для независимых случайных величин с конечными вторыми моментами дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Чему равна дисперсия суммы в общем случае?

)MM)(M(DD)(D 2

Если ковариация cov(ξ,η)cov(ξ,η) отлична от нуля, то величины ξξ и ηη зависимы !

@@

Пример

MMM ξ))ηξ(ξ(M 2

0

22

Dξ

)MηM)Mξ((MηMMξ)ηξ,ξcov(

Пусть ξ и η — независимые случайные величины, и дисперсия ξ отлична от нуля. Доказать, что ξ и ξ + η зависимы.

MM)M ξ())ηξ(MM 2

Следовательно, ξ и ξ + η зависимы

Коэфициент корреляции

КовариацияКовариация – размерная величина. Её нужно нормировать так, чтобы она не менялась при умножении или сдвиге случайных величин и свидетельствовала о силе их зависимости.Говоря о «силе» зависимости между с.в., мы имеем в виду следующее. Самая сильная зависимость – функциональная, а из функциональных – линейная зависимость, когда ξ = ξ = aaη + η + bb.

Коэффициентом корреляцииКоэффициентом корреляции ρρ(ξ, η)(ξ, η) случайных величин ξ, η, дисперсии которых существуют и отличны от нуля, называется число

DηDξ

η),(ξcovρ(ξ,η)

1. Если с. в. ξ и η независимы, то ρ(ξ, η) = cov(ξ, η) = 02. | ρ(ξ, η) | 13. | ρ(ξ, η) | = 1, если и только если случайные величины ξ и η с вероятностью 1 линейно связаны, т.е. существуют числа а 0 и b такие, что P( η = a, ξ = b) = 1

@@

Пример

Dξ)M ηM)M ξ((M ηMM ξ)ηξ,ξcov( 22

Найти коэффициент корреляции для ξξ и ξ +ξ +ηη . ξ , η - независимые случайные величины, дисперсии ξ и η равны между собой и отличны от нуля.

η)D(ξDξ

η)ξ,(ξcovη)ξ ρ(ξ,

ξ и ξ + η зависимы с коэффициентом корреляции = 0.707

21

2

DξDξDξ

DηDξDξDξ

РешениеРешение

@@

Пример

6n

npMξi

Найти коэффициент корреляции между числом выпадений единицы и числом выпадений шестерки при n подбрасываниях симметричного кубика.

Обозначим для i = 1, 2, 3, 4, 5, 6 через ξi случайную величину, равную числу выпадений грани с i очками при n подбрасываниях кубика. Подсчитаем cov(ξ1, ξ6)

Каждая из случайных величин ξi имеет биномиальное распределение с параметрами n и p =1/6, поэтому

365

65

61

1n

n)p(npnpgDξi

РешениеРешение

@@

Пример

n

nMξ)ξ...ξ(Mξ6

2

1611

613121 ξMξ....ξMξξMξ

Cумма ξ1 + … + ξn равна n. В силу симметрии кубика, все математические ожидания Mi,j равны, но отличаются от Mi,i

36365 2

211

2111

nn)Mξ(DξMξξMξ

61

2

612

1611 53636

55 ξMξ

nnξMξMξ)ξ...ξ(Mξ

или по другому

61

616161 DξDξ

MξMξ)ξξ(M),ξρ(ξ

51

365

3636

22

61

n

nnn

)ξ,ξ(ρ

Зависимость между двумя величинами

iσ

)](x[y

iiii dyeπσ

)dy(yfdPii

2

2

2

21

)(xm i σ...σ..... σσ i21

Даны два множества величин xi и yi , где yi – измеряется с ошибкой. Рассмотрим задачу установления функциональной зависимости между двумя величинами y=y=(x)(x) по результатам измерений, в которых значения функции определяются с ошибкой – случайной величиной, которая подчиняется нормальному закону.

xi x

y ni , .... ,y,y,yy y 321

miny = y = (x)(x)

n

iiiii )](x[y

σn

ii

σ

)](x[y

Kedyeπσ

dP 1

222

2

21

1

2

21

Метод наименьших квадратов

?,...?, c?,ba

..)(x,a,b,c,.y

Данная совокупность измеренных значений величин yi будет наивероятнейшей, если сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений yi от предполагаемых ( xi ) будет минимальной. Получаем использование метода максимального правдоподобия для получения статистических оценок.

min)],a,b,c,...(x[yn

iii

1

2

c)/)](,a,b,c,...(x[y

..................................................

a)/)](,a,b,c,...(x[y

n

iiii

n

iiii

1

1

0

0

0

xi x

y

y = y = (x, a, b, c,..)(x, a, b, c,..)

n

x~ ,

n

yx~ ,

n

ym~ ,

n

xm~

n

ii

n

iii

,

n

ii

y

n

ii

x

1

2

21

1111

Подбор параметров для линейной функции

)b/(

x)a/(

i

ii

1

b n

xa

n

y

n

xb

n

xa

n

yx

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

n

iii

0

0

11

11

2

1

bn ]axy[

]bxxaxxy[

n

iii

n

iiiiii

1

1

0

0

b]ax[y

b]xax[y

n

iii

n

iiii

1

1

0

0

xbax(x,a,b)y

y

Подбор параметров для линейной функции

)m~([x]ν~ D~

m~m~[x,y]ν~K~

xx

yx,xy

22

11

xy

x

xy m~am~, bD~

K~

a

m~[x,y]ν~

b

a

m~m~[x]ν~

y

,

x

x

112

1

xyx

yx, m~am~, bm~[x]ν~

m~m~[x,y]ν~a

22

11

Запись уравнений упрощается, если ввести “центральные моменты”

Система уравнений примет вид

Решение

Решение

n

i ii 1

xy x y

n2i

2i 1x x

x yK m m

n

xD m

n

Подбор параметров для линейной функции

x

y

В приведенных формулах появляются выборочные средние, дисперсия и корреляционный момент

n

ixix

n

iiy

n

iix )m~(x

nD~

,yn

m~ ,xn

m~1

2

11

111

My))Mx)(yM((x(x,y)cov)m~)(ym~(xn

K~ n

iyixixy

1

1

)m~(xD~

K~

m~y x

x

xyy

Линейная регрессия