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機率及機率分佈 ( 二 )

Yu, Hsiao-Li

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名詞介紹

變數 -擁有能被測量或分類的特性隨機變數 -數值是由機會決定的

離散型隨機變數連續型隨機變數

機率分佈 -應用機率理論去描述隨機變數的特性列出可能的結果及各結果可能出現的機率顯示數值在特定範圍內的機率

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離散型機率分佈

二項分佈 (Binomial Distribution)普瓦松分佈 (Poisson Distribution)

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二項分佈 (Binomial Distribution)

隨機變數為兩互斥且窮舉結果的其中一個Bernoulli隨機變數生、死；輸、贏；正、反；有、無… .

假設前提：N次試驗結果是獨立的每次試驗結果一定是兩互斥結果之ㄧ每次試驗成功機率 p固定

X~B.(n, p) , E(X)= np, V(X)= npq

x-nxx-nx qpx

np)-(1p

x

nxf

•x=0, 1, 2, …,n ;n為正整數

•q=1-p, 0 p 1≦ ≦

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i.e. 若電資大樓所有移動人口抽菸率 p(=0.23)，隨機找 n(=10)人， x人抽菸的機率

1p......qpx

n......qp

2

npq

1

nqqp nx-nx2-n21-nnn

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i.e. 若電資大樓所有移動人口抽菸率 p(=0.23)，隨機找 n(=10)人， x人抽菸的機率

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x人抽菸

P(X=x)

7-4.14E pqpn

n n,x

5-1.39E qp1-n

n 1,-nx

0.294 qp2

n 2,x

0.218 qp1

n 1,x

0.073 qqp0

n 0,x

n0n

11-n

2-n2

1-n1

n0-n0

….….….

E(X) = (0×0.073 + 1×0.218 + 2×0.294 + 3×0.234 + 4×0.122 + 5×0.043 + 6×0.010 + 7×0.001 + 8×0.0002 + 9×1.39E-05 + 10×4.14E-07)= 2.3 = np

σ2 =[(0-2.3)^2×0.073 + (1-2.3)^2×0.218 + (2-2.3)^2×0.294 + (3-2.3)^2×0.234 + (4-2.3)^2×0.122 + (5-2.3)^2×0.043 + (6-2.3)^2×0.010 + (7-2.3)^2×0.001 + (8-2.3)^2×0.0002 + (9-2.3)^2×1.39E-05 + (10-2.3)^2×4.14E-07] = 1.77 = npq

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測試電資客梯文宣維持維持度：假設維持率為 30%，若維持率可信，則貼 20張文宣，(1)應該有多少張文宣還維持原樣 ?(2)至多僅 5張文宣還維持原樣的機率為多少 ?

0.416](0.7)(0.3)5

20......(0.7)(0.3)

0

20

(0.7)(0.3)X

20f(X)5XPr

5-2050-200

X-20X5

0x

5

0x

E(X)=20*0.3=6(1)

(2)

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離散型機率分佈

二項分佈 (Binomial Distribution)普瓦松分佈 (Poisson Distribution)

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普瓦松分佈 (Poisson Distribution)

類似二項分佈 時間空間方面不常發生的離散事件 (n很大， p很小 )

罕見事件分布

假設前提任一區間內一事件發生機率與區間長度成正比兩任一區間內，事件發生機率相同，事件彼此獨立

X~P.(μ) , E(X)= np =μ, V(X)= np =μ

x!

exXP

x-

•λ:特定區間內，某事件發生的平均次數•λ= np = μ

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i.e.根據經驗，交大校門口發生機車事故機率為 0.000024，試問每年一萬人中(1)會發生幾起 ?(2)僅兩起的機會 ?(3)至少四起的機會

(1) λ= np =10,000 × 0.00024 =2.4

x!

exXP

0.2214)P(X-14XP

0.2093!

2.4e3XP

0.2612!

2.4e2XP

0.2181!

2.4e1XP

0.0910!

2.4e0XP

x-

3 2.4-

2 2.4-

1 2.4-

0 -2.4

(2)

(3)

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連續型隨機變數

常態分布 (Normal Distribution)

身高、體重、血壓… X~N(μ,σ2)

μ

68.3%

σ σ

95.5%

2σ 2σ

2

2

2

)-(X -

e2

Ny

99.7%

3σ 3σ-∞ ∞= Md = Mo

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X~N(0, 1)

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i.e.假設成人男性體重接近常態分配，其 μ=60kg ， σ=5kg。(1)求體重小於 65kg者佔全體成人男性之機率(2)求體重介於 55kg~62kg之機率

(1)(2)

0.496

0.841)-(1 -0.655

-1)Pr(z-0.4)Pr(z

0.4)zPr(-1

)5

60-62-x

5

60-55Pr(62)XPr(55

84.14%(68.28%/2)50%1)Pr(z)5

60-65-xPr(

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1-0.8413

0.6554

Z= -1

Z= 0.4

Z= 0.4Z= -1

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