制作人 : 香山中学 梁洁萍

多面体

由若干个平面多边形围成的空间图形叫多面体 , 自然界许多物体都成多面体形状如图 (1-1)

简单多面体棱柱与凌锥1多面体

图 1-1

2. 棱柱与它的性质

如果一个多面体有两个面互相平行 , 而其余每想邻两个面的交线互相平行 ,这样的多面体叫做棱柱 , 两个互相平行的面叫做棱柱的底面 , 简称为底 ;其余的各个面叫做棱柱的侧面 ; 两侧面公共边叫做棱柱的侧棱 ; 两底面所在的平面的公垂线段叫做棱柱的高 ( 公垂线段的长度也简称高 ).

我们常见的一些物体 , 例如三棱镜 , 方转以及螺杆的头部等 , 都成棱柱的形状 .

3. 平行六面体与长方体

底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体 . 侧棱与底面垂直的平行六面体叫做直平行六面体 .( 图 1-7(2)), 底面是矩形的直六面体叫做长方体 ( 图 1-7(3)), 棱长都相等的长方体叫做正方体 ( 图 1-

7(4).

定理 :平行六面体的对角线交于一点 ,并且在交点处互相平行

图 1-7

（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） （ 4 ）

围成多面体的各个多边形叫做多面体的面 , 两个面的公共边叫做多面体的棱 , 棱和棱的公共点叫做多面体的顶点 , 连接不在同一

面上的两个顶点的线段叫做多面体的体积 .

把一个多面体的任一个伸展成平面 , 如果其余的面都位于这个平面的同一侧 , 这样的多面体叫做凸多面体 ( 图 1-1 左下图 ).但图 9-80 右下图中的多面体则不是凸多面体 . 一个多面体至少有四个面 , 多面体按它的面数分别叫做四面体 , 五面体 , 六面体等 .

定义

例 1 。已知正三棱柱 ABC-A’B‘C’ 的各邻长是 1 （图 1-6 ） M 是底面上 BC边的中点， N 是侧棱 CC‘ 上的点，且 CN=1/4CC’ ，求证： AB‘ 垂直 MN 。

证明：设 cAAbACaAB ',,

0**,1*,1 cbcaaacba

CbANcaAMcaAB4

1),(

2

1,'

则由已知条件和正三棱柱的性质

cbaAMANMN4

1

2

1

2

1

04

160cos

2

1

2

1)

4

1

2

1

2

1)((*' cbacaMNAB

MNAB '

B C

A

C’

A‘

B’

已知 : 平行六面体 ABCD-A’B’C’D’( 图 1-8). 求证 : 对角线 AC’,BD’,CA’,DB’相交与一点 O, 且在 O 点处互相平分 .

证明 : 设点 O 是 AC’ 的中点 , 则 )(2

1AAADABAO

设 P,M,N 分别是 BD’,CA’,DB’ 的中点 , 同样可证

)(2

1AAADABAM

)(2

1AAADABAN

)'(2

1AAADABAN

)'(2

1AAADABAP

由此可知 O,P,M,N 四点重合定理 : 长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长平方和 .

已知长方体 AC’ 中 ,AC’ 是一条对角线 ( 图 1-9), 求证 : 2222 '' AAADABAC

证明 : '' AAADABAC 2)'(' AAADABAC

A B

CDA’ B’

C’D’

A B

CDA’ B’

C’D’

ADAAAAABADAB ',',

''22

2

AAADABAC 所以即证知得

如果一个多面体的一个面是多面形，其余各面是一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥。棱锥的底 面可以是三角形，四边形，五边形 ------ 我们把这样的凌锥分别叫做三凌锥（图1-9 （ 1 ）），四凌锥（图 1-9 （ 2 ）），五凌锥（图 1-9（ 3 ）） -------

定理：如果凌锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面的面积的比

等于顶点到截面的距离与凌锥的高的平方比 .

已知：如图 1-10 ，在棱锥 S-AC 中， SH 是高，截面 A‘B’C‘D‘E’ 平行于底面并与 SH 交于 H‘ 。

求证 : 截面 A’B’C’D’E’∽ 底面 ABCDE, 且

2

2''''' '

SH

SH

S

S

ABCDE

EDCBA

棱椎与其性质棱椎与其性质

考思

图 1-9(1) (2)

S

A

B C

DEH’

A’

B’ C’D’

E’

证明：因为截面平行与底面，所以 A‘B’//AB ， B‘C’//BC ， C‘D’//CD ， ------

,''',''' BCDDCBABCCBA

SH

SH

SA

SA

AB

BA ''''

SH

SH

BC

CB '''

因而又因为过 SA ， SH 的平面与截面和底面分别相交于 AH‘ 和 AH 。所以 A’H‘//AH ，得

A

B

C

DE

A’

B’C’

E’

同理

SH

SH

BC

CB

AB

AB ''''

2

2

2

2''''' '''

SH

SH

AB

BA

S

S

ABCDE

EDCBA

如果一个凌锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的凌锥叫做正凌锥。

H

D’

S

正棱锥有下面的一些性质 :

(1) 正凌锥各侧棱相等 , 各侧棱都相等的等腰三角形 , 各等腰三角形底边上的高相等 ( 它叫做正凌锥的斜高 )( 图 1-11).

''' CBA

(2) 正凌锥的高 , 斜高和斜高在地面内的射影组成一个只三角形 , 正凌锥的高 , 侧棱 , 侧棱在地面上的摄影也组成一个直角三角形 ( 图 1-12)

B C

D

S

OA

B

C

SA’

B’

C’

例 2. 已知正三凌锥 S-ABC 的高 SO=l, 求经过 SO 的中点 O’ 平行与底面的截面的面积（图 1-12 ）。

解：连接 OM ， OA ，在直角 22, hlOMSOM 22*3260tan*22 hlOMAMAB

4

1'),(3*4*

4

3

4

32

2'''222

h

h

S

shlABS

ABC

CBAABC )(

4

33 22''' hls CBA

A

E

5直棱柱和正凌锥的的直观图的画法：

画法 : （ 1 ）画轴，画 x’ 轴， y’ 轴， z’ 轴，记坐标原点为 O‘ 点，使 90'''),135(45''' zoxyox

(2) 画底面，按轴，轴画正六边形的直观图 ABCDE 。（ 3 ）画侧棱，过 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 各点分别作轴的平行线，并且在这些平行线上截取 AA’ 、 BB‘ 、 CC’ 、 DD‘ 、 EE’ 、 FF‘ ，使它们都等于棱长。（ 4 ）成图，顺次连接 A’ 、 B‘ 、 C’ 、 D‘ 、 E’ 、 F‘ ，并加以整理（去辅助线，将别遮挡的部分改为虚线），就得到正六棱柱的直观图。

X’

Y’

Z’

F

F’

A

A’

B

B’

C

C’

A

B C

D

EF

A’B’ C’

D’

E’F’

O

DE

D’E’

例 3. 划一个底面边长为 5cm, 高为 11.5cm 的正五棱锥的直观图比例尺是 1/5.

画法 :(1) 画轴 ,x‘ 轴 ,y’ 轴 ,z’ 记坐标原点为 o’, 使 45yox 90zox（图 1-14(1))

（ 2 ）画底面，按 x’ 轴， y’ 轴，画五正无边形的直观图 ABCDE ，按比例尺取边长等于 5÷5=1(cm) ，并且使正无边形的中心对应于 o’ 点。

（ 3 ）画高线，在 z’ 轴上取 =11.5÷5=2.3(cm)

(4) 成图 . 连接 SA,SB,SC,SD,DE, 并加以整理 , 就得到所画的正无棱锥的正棱锥的直观图 ( 图 1-14(2)).

O’ X’

Z’

A B

CE

D

E

Y’

A B

C

D

S

图 1-14(1) (2)

每一个面都是相同边数的正多面形 , 每一个顶点都为端点 , 都有相同棱数的凸多面体 , 叫做正多面体 .

正多面体只有四面体 , 正六面体 , 正八面体 , 正十二面体 , 正二十面体 5 种 ( 图 1-15), 它们的展开图分别为 :

正多面体

1 求证：直棱柱的侧棱与高相等，经过不相邻的两侧棱的截面都是矩形。2 已知以正方体的一个顶点为端点的

三棱长 a 、 b 、 c ，求它的对角线（ 1 ） a=3,b=4,c=5(2)a=7,,b=11,c=4

3 画一个底面边长是 3cm ，高为 4.5cm 的正三凌锥的直观图（不写画法）

4 已知直棱柱 ABC-A‘B’C‘ 中， 6',3,1,90 AACACBABC

M 是 CC’ 的中点，求证： AMBA '

C

D

B‘ D’C‘

练练 习习

A

M

谢谢观看