ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА

Наставна тема за ученике VII разреда

ОШ “ДОСИТЕЈ ОБРАДОВИЋ” УМКА – БЕОГРАД Трудио се: ЂОКИЋ НОВАК

Pitagorina teoremasadržaj

- Pedagoška dokumentacija

- Istorijske činjenice pre

Pitagore

- Podaci o Pitagori

- Prva ideja o dokazu teoreme

- Pitagorina teorema dokaz na I nacin

- Pitagorina teorema dokaz na II nacin

- Pitagorina teorema dokaz na III način

- Tekst, posledice i značaj teoreme

- Zadaci 1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8. 9.

- Komentar

- Literatura

- Kraj

Neka matematička saznanja pre Pitagore

• Odnos stranica pravouglog trougla je bio poznat Vaviloncima 1500 g. p.n.e.• Trougao čije su stranice 5; 12 i13 poznat je kao indijski trougao, sto znači da su

stari Indijci znali za ovaj problem.• Stari Egipćani su znali da je• trougao čije su stranice 3; 4 i 5• jediničnih duži pravougli trougao, pa• su za trasiranje pravog ugla • koristili konopac koji je čvorovima• podeljen na 12 jednakih delova• ( kao na slici desno ).• Brojeve 3;4 i 5 su smatrali svetim

Medjutim sve navedene tvrdnje su bile bez dokaza. Pitagora je

prvi dokazao ovu teoremu.

Istorijske činjenice o Pitagori

O Pitagori vise

Ostaci Pitagorine kućeKrotona – Pitagorin trg

Pitagora (oko 580-500. pne)

Prva ideja o dokazu teoreme

Pitagora je posmatrao crni pravougli trougao (ovoga puta jednakokraki ) i primetio da je zbir kvadrata nad katetama ( 2 + 2 pločice ) jednak kvadratu nad hipotenuzom ( 4 pločice ).

Оstalo mu je još da dokaže da ovo važi za bilo koji pravougli trougao.

Čekajući u predvorju palače da ga primi tirjanin Polikrat Pitagora se zagledao u pločice na podu. .

Legenda o prvom dokazu teoreme

Kvadrat nad hipotenuzom

Kvadrat nad

katetom

Kvadrat nad

katetom

Jedan od načina

dokazivanja Pitagorine

teoreme

KKvadrat nad hipotenuzom c

Kvadrat nad katetom b

Kvadrat nad katetom a

Drugi načindokazivanjaPitagorineteoreme

Treći način dokazivanja Pitagorine teoreme

Tekst,posledice i značaj teoreme

kateta

kateta

Hipotenuza

90°

Pitagorina teorema glasi:Kvadrat nad hipotenuzom jednak je

zbiru kvadrata nad katetama a2 +b2 = c2

Ili:Kvadrat nad jednom katetom jednak je razlici kvadrata nad hipotenuzom i drugom katetom. a2=c2– b2 ili b2=c2- a2

Posledice-Ako je trougao pravougli onda vazi: a2+b2= c2

-Ako je a2 + b2= c2, onda je trougao pravougli

a

b cNapomena: 1.Prema legendi, kada je Pitagora otkrio svoju čuvenu teoremu , napravio je hekatombu, t.j.prineo je na žrtvu bogovima 100 volova. Kažu da od tada volovi ne vole matematiku.

2.Prema istoričaru Jovani I. Deretiću, Pitagora je bio Srbin , pa je moguće da je u znak slavlja zaklao i ispekao 100 volova.

ZnaZnaččaj teoremeaj teoreme

Značaj se ogleda u tome da ima ogromnu primenu u rešavanju matematičkih zadataka, njena genijalnost je u tome da možemo izračunati nepoznatu stranicu pravouglog trougla, ako znamo druge dve stranice.

Zadaci:1.) Date su duži čiji su merni brojevi: a) 11; 13 i 15 b) 15; 17 i 8 c) 13; 20 i 7 d) 9; 11 i 12

Date duži mogu biti stranice

pravouglog trougla pod:

Date duži ne mogu biti stranice nijednog trougla pod:

Klikni na slovo za koje misliš da je odgovor tačan

a) b)

c) d)

a) b)

c) d)

1. pitanje2. pitanje

Sa Kajmanskih ostrva ( naziv su dobila po tome sto su neki naši “skidali kajmak” pa nosili na ta ostrva ) istovremeno krenu dva broda. Prvi na sever brzinom 40 km/h a drugi na istok brzinom 30 km/h.Kolika je udaljenost ta dva broda posle sat vremena plovidbe?

Ako zadatak nije dovoljno jasan klikni više puta mišem.

2. Zadatak

Brodovi će biti udaljeni:

a) 70 km b) 60 km

c) 50 km d) 700 km

Klikni na broj za koji misliš da je tačan.

Nadam se da se sećas obrasca iz fizike: s=vt

Ako ni sada nije jasno, klikni za još pomoći.

3. zadatak: Putnik treba da otputuje izmesta A u mesto B koja su medjusobno udaljena13 km, medjutim, setio se da bi trebalo da poseti druga u mastu C koje je udaljeno od A 12 km , pa da nastavi u mesto B. Izračunaj koliko je put ACB duži od puta AB, ako je ugao ACB prav?

RAZLIKA JE:

a) 25 km b) 1 km c) 4 km d) 0 km

Klikni na slovo ispred mere za koju musliš da je tačna.

Ako zadatak nije dovoljno jasan klikni levim tasterom miša za pomoć.

Zadatak 4. Avion krene sa aerodroma na sever . Posle 40 min leta, pilot dobije od kontrole leta informaciju da je ispred njega jaka oluja. Posle toga pilot skreće na istok.Pola sata nakon promene kursa, seti se Egziperijevog romana “Zemlja ljudi” i problema koji je njegov junak imao zbog oluje ,pa reši da se najkraćim putem vrati na aerodrom. Koliki put je prešao, ako je letio prosečnom brzinom od 600 km/hAvion prešao put od:

a) 670 km b) 1300 km

c) 700 km d) 1200 km

Klikni na broj za koji misliš da je tačan. Ako zadatak nije dovoljno jasan klikni nekoliko puta mišem.

Iz fizike si učio da je s=vt.

5. Zadatak

Do koje visine dosežu merdevine duge 26 dm naslonjene na zid, ako je donji kraj udaljen 1 m od podnožja zida?

Merdevine dosežu do:

a) 36 dm

b) 24 dm

a) 25 dm

b) 23 dm

Klikni na broj za koji misliš da je tačan.

Ako zadatak nije dovoljno jasan klikni levim tasterom miša za pomoć.

6. zadatak: Izračunaj obim pravouglog trougla ako mu je porvšina 150 dm2 a jedna kateta 2 m.

Obim trougla iznosi:

a) 6 m b) 4,5 m c) 7 m d) 3,5 m

Klikni na broj za koji misliš da je tačan.

Ako treba pojasniti zadatak klikni mišem.

7. zadatak: Nadam se da ste čuli za onu narodnu pesmu “ Dva su bora uporedo rasla, medju njima tankovita jela.” , e pa ta dva bora, koji su uporedo ( paralelno ) rasli na ravnom terenu bili su razmaknuti 15 m . Visina jednog je 9m a drugog 17m. Koliko je rastojanje izmedju vrhova bora?

Klikni na broj za koji misliš da je tačan. Ako nesto nije jasno klikni za pomoć. Ako zadatak ni sada nije dovoljno jasan, danas nešto nisi raspoložen i razmišljanje

ti ne ide od glave, pa klikni još jednom za izuzetnu pomoć.

Rastojanje iznosi:

a) 17 m

b) 24 m

c) 23 m

d) 26 m

Ako i sada ne ide, opet ćemo pomenuti deo narodne pesme: “ Da se mlada za zelen bor uhvatim I on bi se zelen osušio.

8. Zadatak Iz mesta B i C na ekvatoru, čije je rastojanje 36 km pošli su Nikola iz B na sever brzinom od 5 km/h, Marko iz C na jug brzinom 4 km/h. Koliko će biti medjusobno udaljani posle 3 h?

Posle 3 h ce biti udaljeni:

a) 27 km b) 51 km

c) 48 km d) 45 km

Klikni na merni broj za koji misliš da je tačan.

Ako zadatak nije jasan klikni levim tasterom misa za pomoć

Iz fizike je vam poznato da je s=vt ( put=brzina*vreme)

Ako i ovo nije pomoglo, to znaci da klikeri danas nešto ne funkcionmišu, najbolje pa nudimo specijalnu pomoć.Klikni opet mišem.

9. Zadatak Daska dužine 1m naslonjena je na vertikalan zid. Podnožje daske je udaljeno 28 cm od zida. Ako se vrh daske spusti za 16 cm, za koliko ce se pomeriti podnožje daske?

Klikni na merni broj za koji misliš da je tačan.

a) 68 cm b) 32 cm

c) 72 cm d) 16 cm

Ako zadatak nije dovoljno jasan klikni levim tasterom miša za pomoć