ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ

СИСТЕМЫ

ЛЕКЦИЯ 2: ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА

КОЛИЧЕСТВ ДВИЖЕНИЯ

1. Момент количеств движения материальной системыМоментом количеств движения системы относительно центра О называется сумма моментов (главный момент) количеств движения всех материальных точек, входящих в систему, относительно того же центра:

1 1

n n

O Oi i i ii i

m

K K r v

Координатная запись в проекциях Координатная запись в проекциях на оси системы координат на оси системы координат OxyzOxyz

- масса - масса ii-ой точки-ой точки - скорость - скорость ii-ой точки-ой точки- радиус-вектор - радиус-вектор ii-ой точки с началом в центре -ой точки с началом в центре OOir

ivim

1

n

z i i iy i ixi

K m x v y v

1

n

y i i ix i izi

K m z v x v

1

n

x i i iz i iyi

K m y v z v

Компонента вектора Компонента вектора количества движенияколичества движения системы характеризует системы характеризует поступательноепоступательное движении систему в направлении оси движении систему в направлении осиКомпонента Компонента момента количеств движениямомента количеств движения характеризует характеризует вращательное вращательное движениедвижение системы относительно оси системы относительно оси

xQ

xKx

x

2. Момент количеств движения вращающегося твердого тела

Элемент Элемент MM массы массы dmdm движется по окружности движется по окружности радиуса радиуса hhzz

O

z

v

Mzh

Скорость движения Скорость движения zv h Количество движения Количество движения zh dmМомент количества движения Момент количества движения 2

z zdK h dm

2 2

z

z z z

V V

I

K h dm h dm

Интеграл Интеграл IIzz зависит только от распределения масс внутри тела и не зависит зависит только от распределения масс внутри тела и не зависит

от его кинематического состояния. Он называется от его кинематического состояния. Он называется моментом инерции теламоментом инерции тела относительно оси относительно оси zz..

z zK I

Момент количеств движения твердого тела, вращающегося относительно Момент количеств движения твердого тела, вращающегося относительно неподвижной оси равен произведению момента инерции тела относительно неподвижной оси равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела.этой оси на угловую скорость тела.

3. Примеры вычисления момента инерции1) Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей 1) Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец. перпендикулярно стержню через его конец.

lM

dm dxl

2 2 2

0

1

3

L

z z

MI h dm x dx ML

L

dx

x x

z

z

R

H

1) Момент инерции однородного цилиндра относительно его оси. 1) Момент инерции однородного цилиндра относительно его оси.

2

Mdm rdr dz d

HR

2 42 2

2 20 0 0

12

4 2

H R

z

M M RI r rdrd dz H MR

HR HR

4. Связь с моментом, взятым относительно центра масс

ТеоремаТеорема

CKOK

ir

O i i i i C i C ii i

m m K r v r r v v

Моменты количеств движения и главные моменты сил взятые Моменты количеств движения и главные моменты сил взятые относительно произвольного центра относительно произвольного центра OO и центра масс и центра масс СС системы системы

Cr Радиус векторы и скорости материальных точек и центра массРадиус векторы и скорости материальных точек и центра массiv Cv

i i C r r r

i i C v v vРадиус-векторы и скорости относительно центра массРадиус-векторы и скорости относительно центра масс

O C C K r Q K

Свойства центра массСвойства центра масс 0, 0i i C i i i ii i i

m M m m r r r v

O i i C i i C i i i C Ci i i i

M r F r r F r F r F r F M

C C C i ii

M m r v r v i ii

m r C i i i C C

i

m v r v r Q K

OM CM

O C C M r F M

1)1)

2)2)

5. Пример применения

V

O C C K r Q K

1

V

R

C

OCr

1R2R

1sinC Cr MV MVR r Q CK I

2

1

2 4 42 2 21 2

1 22 2 2 21 2 1 20

12

4 2

R

R

M M R RI r rdrd M R R

R R R R

ЗадачаЗадача: Найти момент количеств движения : Найти момент количеств движения полого диска, катящегося без скольжения полого диска, катящегося без скольжения относительно неподвижной точки относительно неподвижной точки ОО

2 2 2 21 1 2 1 2

1 1

32 2O

MV MVK MVR R R R R

R R

6. Теорема об изменении момента количеств движенияТеоремаТеорема. Производная по времени вектора момента количеств . Производная по времени вектора момента количеств движения системы материальных точек, вычисленная относительно движения системы материальных точек, вычисленная относительно неподвижного центра, равна главному моменту всех внешних сил неподвижного центра, равна главному моменту всех внешних сил относительно того же центра.относительно того же центра.

++

eOO

d

dt

KM

11 1e iO

O Od

dt

KM F M F

22 2e iO

O Od

dt

KM F M F

e iOnO n O n

d

dt

KM F M F

……

1 1 1

n n ne i

Ok O k O kk k k

d

dt

K M F M F

1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение момента 1. Внутренние силы непосредственно не влияют на изменение момента количеств движения материальной системы (они могут оказать косвенное количеств движения материальной системы (они могут оказать косвенное влияние через внешние силы). влияние через внешние силы). 2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого 2. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторого неподвижного центра равен нулю, то момент количества движения неподвижного центра равен нулю, то момент количества движения материальной системы относительно этого центра остается постоянным по материальной системы относительно этого центра остается постоянным по величине и направлению. величине и направлению.

закон сохранения момента количеств закон сохранения момента количеств движениядвижения

3. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой 3. Если главный момент всех внешних сил относительно некоторой неподвижной оси равен нулю, то момент количеств движения неподвижной оси равен нулю, то момент количеств движения материальной системы относительно этой оси остается постоянным. материальной системы относительно этой оси остается постоянным.

7. Следствия

0 constOO

d

dt

KK

8. Какие силы исключаются в уравнении моментов?При записи уравнения моментов относительно некоторой оси При записи уравнения моментов относительно некоторой оси

исключаютсяисключаются1)1) Все внутренние силыВсе внутренние силы2)2) Те внешние силы, момент которых относительно оси равен нулю, т.е. Те внешние силы, момент которых относительно оси равен нулю, т.е.

а) силы параллельные осиа) силы параллельные осиб) силы, чья линия действия пересекает осьб) силы, чья линия действия пересекает ось

Выбор оси зависит от насВыбор оси зависит от нас. При удачном выборе можно достигнуть . При удачном выборе можно достигнуть исключения значительного числа внешних сил, упростив тем самым исключения значительного числа внешних сил, упростив тем самым уравнение моментов уравнение моментов

9. Формула Эйлера для турбины: постановка задачи

В уравнении моментов исключаются В уравнении моментов исключаются а) все внутренние силы, т. е. взаимные давления внутри жидкости;а) все внутренние силы, т. е. взаимные давления внутри жидкости;б) давления между жидкостью и внешней и внутренней поверхностью колеса; б) давления между жидкостью и внешней и внутренней поверхностью колеса; б) реакции опор оси турбины;б) реакции опор оси турбины;в)если ось вертикальна, то исключается вес воды и самого колеса.в)если ось вертикальна, то исключается вес воды и самого колеса.

В канал все время поступает вода со В канал все время поступает вода со скоростью под углом к внешнему скоростью под углом к внешнему ободу и выходит из канала со скоростью ободу и выходит из канала со скоростью под углом к внутреннему ободу. под углом к внутреннему ободу. Движение воды установившееся в том Движение воды установившееся в том смысле, что скорости и и углы и смысле, что скорости и и углы и не зависят от положения канала.не зависят от положения канала.

1V

2V1

2

1V

2V 1 2

ТребуетсяТребуется определить момент сил давления воды на определить момент сил давления воды на стенку канала относительно оси вращения турбины.стенку канала относительно оси вращения турбины.

1

2

1V

2V 1r2r

1Ui iU r

2U

9. Формула Эйлера для турбины: вывод

1) Изменение момента количеств движения 1) Изменение момента количеств движения за время за время dtdt

2 2 2 1 1 1cos cosm

dK K K Qdt V r V r

2) 2) Действующие силы: реакция стенок каналаДействующие силы: реакция стенок канала

Q

2 2 2 1 1 1cos cosM Q V r V r

объем жидкости, протекающей объем жидкости, протекающей через канал в единицу временичерез канал в единицу времени

dKM

dt

1 1 1 2 2 2sin sinQ SV S V

1

2

1V

2V 1r2r

1Ui iU r

2U

10. Опыты со скамейкой Жуковского

Примеры: переворот падающей кошки, вращение прыгуна в воду, Примеры: переворот падающей кошки, вращение прыгуна в воду, стабилизация вращения космического аппаратастабилизация вращения космического аппарата

11. ДУ вращения твердого те-ла вокруг неподвижной оси

z zK I

ezz

dKM

dt

zzed

Idt

M

Замечание:Замечание: При вычислении главного момента всех внешних сил При вычислении главного момента всех внешних сил относительно оси вращения нужно учитывать, что реакции идеальных (без относительно оси вращения нужно учитывать, что реакции идеальных (без трения) опор в уравнение не войдут, так как линии их действия пересекают трения) опор в уравнение не войдут, так как линии их действия пересекают ось вращения. Если же опоры создают моменты трения, то их необходимо ось вращения. Если же опоры создают моменты трения, то их необходимо учитывать. учитывать.

zz ed

mdt

Fv

Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно Произведение момента инерции тела на его угловое ускорение равно сумме моментов всех сил, приложенных к телу. сумме моментов всех сил, приложенных к телу. Полная аналогия с 3-м законом НьютонаПолная аналогия с 3-м законом НьютонаМомент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном Момент инерции тела представляет меру его инерции во вращательном движении.движении.

12. Пример: время разгона электродвигателя

ЗадачаЗадача: К ротору электромотора приложен вращающий момент , : К ротору электромотора приложен вращающий момент , изменяющийся по закону , где и некоторые изменяющийся по закону , где и некоторые положительные постоянные, характеризующие двигатель (постоянная положительные постоянные, характеризующие двигатель (постоянная называется крутизной характеристики мотора), а - угловая скорость называется крутизной характеристики мотора), а - угловая скорость ротора. Определить закон изменения угловой скорости в период разгона ротора. Определить закон изменения угловой скорости в период разгона ротора, если его момент инерции относительно оси вращения равенротора, если его момент инерции относительно оси вращения равен

врMврM

0врM M

0

dI Mdt

I

(0) 0 0 1

tI

Me

0

уст

M

ln 20 3пер

I It

уст

t

перt0

0.95 уст

13. ТИМКД для относительно-го движения: проблема

О –неподвижный центрО –неподвижный центрС –центр масс системыС –центр масс системы

QQ –произвольным образом –произвольным образом движущаяся геометрическая движущаяся геометрическая точкаточка

mmii – – одна из точек системыодна из точек системы

ВопросВопрос: Можно ли записать аналог ТИМКД для точки : Можно ли записать аналог ТИМКД для точки QQ, взятой в качестве , взятой в качестве центра? Если центра? Если QQ движется равномерно и прямолинейно относительно О, то движется равномерно и прямолинейно относительно О, то ответ очевиден: форма записи не изменится. Ну а что в общем случае?ответ очевиден: форма записи не изменится. Ну а что в общем случае?

eOO

d

dt

KM

14. ТИМКД для относительно-го движения: решение

Q eQ Q Q

dM

dt

KM r w

ОтветОтвет::

Q i i Q i Qi

m K r r v v

Qi i Q i Q i i Q i Q

i i

dm m

dt

Kr r v v r r v v

e ii i

i Q i i i i Q i Q Qi i i

m m m

F F

r r v r v r v

Q

e eQ Q Q Q Q Q QM M M

r

M r v r v M r r w

Доказательство:Доказательство:

Важное следствие:Важное следствие:

Форма записи ТИМКД при Форма записи ТИМКД при Q=C Q=C сохраняетсясохраняется