专 题 篇C1. 流体的平衡

C2. 不可压缩无粘性流体平面势流

C3. 不可压缩粘性流体内流

C4. 不可压缩粘性流体外流

C5. 可压缩流体流动基础

C1 流体的平衡

C1.1 引言

压强分布

总压力

固壁受力分析

浮体稳定性

平衡的条件

任 务

液压系统原理

压力仪器设计

浮体稳定性分析

C1 流体的平衡

应 用

流体静力学

相对平衡

液缸 , 水坝 , 闸门等

水压机 , 油压系统等

比重计 , 测高仪 , 分离器等

舰船 , 浮吊 , 气艇等

C1.2 流体平衡微分方程C1.2.1 欧拉平衡方程

由 N-S 方程 D

D2v

f - v pt

可得欧拉平衡方程

0 p f

0 0

C1 流体的平衡

说明作用在单位体积流体上的体积力与压强梯度平衡。

分量式为 , xfx

p , yf

y

p

zfz

p

d d d d p p p

p x y zx y z

( d d d ) df r x y zf x f y f z

压强全微分式为

说明体积力向任何方向的投影为该方向的压强增量

C1.2.2 等压面C1 流体的平衡

d d d df r x y zf x f y f z 0

• 静止流体中等压面为水平面

旋转流体中等压面为旋转抛物面。

由 , 可得等压面方程：dp 0

• 等压面上的体积力特征：体积力处处与等压面垂直 .

C1.2 流体平衡微分方程

C1.2.3 流体平衡的条件

• 为保证欧拉平衡方程 f=p

f 成立，均质流体（ ρ= 常数）和正压流体（ ρ=ρ(p) ）必须满足体积力有势的条件： ， π 称为势函数。

• 重力是有势力。在重力场中

1. 均质流体（如淡水）和正压流体（如等温的空气）可以保持平衡，等压面、等势面、等密度面三者重合：

= , p 0 = 0

2. 斜压流体（ ρ=ρ(p,T) ，如大范围的大气、海水）不能 保持平衡，等压面、等密度面不重合，要引起对流。

设大气满足完全气体状态方程

[例 C1.2.3] 贸易风：流体平衡条件

p = RρT (B1.4.5)

差悬殊，由（ B1.4.5 ）式相应的密度不相同，因此大气密度除了沿高度变化外还随地球纬度改变而改变，等压面与等密度面（虚线）不重合( 见右图），造成大气层的非正压性，不满足流体平衡条件。这样形成在赤道处大气自下向上，然后在高空自赤道流向北极；在北极大气自上向下，最后沿洋面自北向南吹的大气环流。通常将沿洋面自北向南吹的风称为贸易风。

设在赤道和北极地区离地面相同高度处压强相同，但由于太阳光照射强度不同，两处温度相

• 单位质量流体机械能守恒式

C1.3 流体静力学基本方程C1 流体的平衡

p

gz 常

数

重力势能 总势能

1 21 2

p pz z

g g

• 水头形式

• 常用形式

常数g

pz

位置水头 总水头（测压管水头）

限制条件 : （ 1 ）均质，（ 2 ）重力，（ 3 ）连通的同种流体。

压强势能

压强水头

C1.4 均质液体相对平衡C1 流体的平衡

当液体以等加速度 a 作直线运动或以等角速度（向心加速度 ) 旋转并达到稳定时，液内象刚体一样运动，N-S 方程可化为

Ra 2

p)( a-ff g

fg 为重力。上式与欧拉平衡方程形式相同， fg – a 也是有势力。符合平衡条件，称为液体的相对平衡。

C1.4.1 等加速直线运动设液体以等加速度 a 沿水平方向作直线运动

1. 体积力分量 f x = -a , f y = 0 , fz = -g

d d d d d dx y zp ( f x f y f z ) ( a x g z )

压强全微分式

C1.4.1 等加速直线运动

2. 压强分布式

x

g

azzgρpp 00

在图示坐标系中

• 说明液内压强在 x 、 z 方向均为线性分布。0p = p gh用淹深表示

•　说明垂直方向压强分布与静止液体中一样。

• 等压面为一簇与自由液面平行的斜平面，处处与体积力合力 　垂直

3. 等压面方程a x + g z = C

[ 例 C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡

已知 : 用汽车搬运一玻璃缸。缸长×宽×高 =l×b×h=0.6×0.3×0.5m3 ， 静止时缸内水位高 d=0.4m。设鱼缸沿汽车前进方向纵向放置。 求 : (1) 为不让水溢出，应控制的汽车最大加速度 am ；

解：建立坐标系 oxz 如图示。设鱼缸加速度为 a ，体积力分量为

等压面微分方程为

(2)若鱼缸横向放置时的最大加速度 am' 。

fx= - a ， fz= -g

a x + g z = c

液面中点的坐标为（ 0 , d ）， c = g d 。液面方程为 a x+ g z = g d

[ 例 C1.4.1] 匀加速直线运动液体的相对平衡

加速度表达式为

(2) 当鱼缸横向放置时，与后壁最高液位（ - b / 2, h ）相应的加速度为

gx

zda

(1) 当鱼缸纵向放置时，与后壁最高液位（ -l / 2, h ）相应的加速度为

gggl

hdam 3

1

3.0

5.04.0

2/

gg2/b

hda'

m 3

2

0.15

0.50.4

可见 ，鱼缸横向放置水不易溢出。 aam 2'

C1.4.1 等加速直线运动

设液体以等角速度ω绕中心轴 z 轴旋转 1. 体积力分量

2. 压强分布式

C1.4.2 等角速度旋转运动

fx=ω2x ， fy=ω2y ， fz= － g

2 2d d d dp ( x x y y g z )

)(

2 0

22

0 zzg

rgpp

压强全微分式

在图示坐标系中

• 说明液内压强在 z 方向为线性分布，在 r 方向为二次曲线分布。

C1.4.2 等角速度旋转运动

3. 等压面

代入压强分布式，令 h = zs- z ，可得

由 2 2d d d d 0p ( x x y y g z )

积分得 cgz2

r

22

0

22

2zz

g

rs

证明在垂直方向的压强分布规律仍与静止液体中一样。

z)g(zρp)z(zz)(zgρpp s0s000

hρgp0

c 不同值时得一簇旋转抛物面。自由液面上 c = － g z0 。设自由液面垂直坐标为ｚ s ，

方程为

[ 例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡

已知 : 一封闭圆筒，高 H = 2m ，半径 R=0.5m ，注水高 H0 = 1.5 m ，压

强为 p0=1000 N /m2 。圆筒开始旋转并逐渐加速 求 : (1 ）当水面刚接触圆筒顶部时的 ω1 、 pc1 及 pw1 ；

(1) 当边缘水位刚达顶部时，由自由面方程式

g

rzzs 2

22

0

(2 ) 当气体刚接触圆筒底部的 ω2 、 pc 2 及 pw

2 。 解：

建立坐标系 oxyz ,原点 o 在底部中心，静止时 z 0 = H 0 。

[ 例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡

pc1= p 0 + ρg z0 = 1000 + 9807×1 = 10806 N/m2

p w1= p 0+ρg H =1000 + 9807×2 = 20612 N/m2

(2) 当气体接触圆筒底部时，设顶部液面线的半径为 r2 ，由空气容积不变

)( 2

10

222 H-HRHr

02( ) 2 2 1.50.5 0.354

22

H - H ( - )r R m

H

取 r = 0.5 m, zs = 2 m, z0 =1 m

2 2 9.81 2 18.86

0.5s 0

1

g(z z ) ( - )ω 1 /s

r

[ 例 C1.4.2] 匀角速度旋转运动液体的相对平衡

讨论：在第二种情况中 , 若没有顶盖限制，边缘水位将上升至

mg

Rhw 4

2

222

2

在自由面方程中 z 0 = 0 ， z s = 2 m ， r = 0.354

m

1/sr

zg s 17.710.354

29.812)(z2 02

2 217.71 0.50 100 9807

2 9.806

2 22

w2 0

ω Rp p ρ g( )

2g

1000 9807 4 40227 2N ( )

m

2 1000 2c 0Np p

m

C1.5 均质液体对平壁的总压力C1 流体的平衡

sinyh

1. 工程 背景：压力容器，水坝，潜艇，活塞等；结构强度，安全性能，运动规律计算等。

2. 条件：均质流体，体积力为重力。

图示斜平壁和坐标系 oxy , o点在自由液面上， y轴沿斜平壁向下。

在面积 A 上取面元 dA ，纵坐标 y ，淹深为

C1.5.1 平壁总压力大小

作用在 dA 和 A 上的总压力 C1.5 均质流体对平壁的压力

在几何上面积 A 对 x 轴的面积矩

d d sin dF gh A gy A

d sin dA A

F= F=ρ g θ y A

d cAy A y A

ApAghAgyF ccc sin

pc 为形心的压强。表明作用在面积 A 上的总压力大小等于形心压强乘以面积 。

c FpA

yc 为面积 A 形心的纵坐标 ,sincc yh 为形心的淹深。

用力矩合成法

C1.5 均质流体对平壁的压力

C1.5.2 平壁总压力作用点 1 、积分法

d sin dD

2

A AFy y F g y A

可得 D x cy I y A

2 2 2 2dx c cAI y A y A I y A r A

可得 ， （纵向偏心距）

D cy y e 2

ce r y

fxx cD 同理 ， （横向偏心距）

cf I y A

Ix 为面积对 x轴惯性矩。用平行移轴定理

rξ 为面积 A 对 ξ轴的回转半径。

[ 例 C1.5.2A] 圆形平壁总压力

已知 : 封闭油柜侧壁上有一圆形封盖 , d = 0.8m

h = 1.2 m ,ρ= 800 kg/m3 . 求 : p0 分别为 (1) 5 kPa ; (2) 2 kPa 时总压

力 F 和偏心距 e 。

解： (1) 当 p01 = 5kPa 时，在封盖中心的压强为 p c1 = p 01+ρgh = 5 + 0.8×9.81×1.2 =

5 + 9.42 = 14.42 (kPa)

o1 点位于油面上方 p 0 1 / ρ 处

h c 1 = 0.5 l sin30°= l / 4 = 1 m

)(25.7503.042.144

2111 kNdpApF cc

)1.837(9.810.8

14.42

g101

1 mg

ph

py c

c

[ 例 C1.5.2A] 圆形平壁总压力

o2 点位于油面上方 | p 0 2 | / ρ 处

(2) 当 p0 2 = -2 kPa

时 p c2 = p 0 2+ρg h = -2 + 9.42 = 7.42 (kPa)

F2=pc 2 A= 7.42×0.503 = 3.73 (kPa)

7.420.945 ( )

0 8 9.81c2

c2

py m

ρ g .

圆板 rξ2 = d 2 /16 =0.82/16=0.04 m2 ，偏心距为

21 1 0 04 1 837 0 022ce r / y . / . . m

22 0 04 0 945 0 0422 ce r / y . / . . m

C1.5.2 平壁总压力作用点

2.几何法 当一矩形平壁的一边平行于液面时，作用在平壁上的压强构成平面线性平行力系，得用几何合成法求解。

sin1 2

1F F F gh lb ghl lb

2

总压力

矩形面积 三角形面积

向 A点取矩求压强中心

sinsin

21 2

1 2

1 2F l+F l 3hl+2l θ2 3AD= =F +F 6h+3l θ

sinsin

21 le AD l2 6( 2h l )

可得

C1.6 均质液体对曲壁的总压力C1 流体的平衡

二维曲壁的母线垂直某一坐标面归结为求端线 ab( 单位宽度 ) 上的压强合力。分为水平分力和垂直分力。工程应用中以二维曲壁为主。

A B

C

O

三维曲壁有三个投影面，三个投影面上的三个分力不一定共点，可化为一个合力，一个力偶，应用较少。

C1.6 均质液体对曲壁的总压力

1. 水平分力

以储液罐为例，曲壁 ab 沿水平方向的投影面积为 Ax ，沿垂直方向的投影面积为Ah 。

C1.6.1 二维曲壁

h x c 为投影面积 A x 形心的淹深。水平分力作用应按平壁计算。当投影面积有重叠部分时，该部分的合力为零。

dF x

dFh

dF

d dx x x xc xAx AxF F g h A gh A

2. 垂直分力d d

h hh h h pA A

F F g h A g τp 称为压力体。压力体内液体重量构成垂直分力，作用线通过压力体的重心。

C1.6.1 二维曲壁

3. 总压力水平分力作用线按平壁总压力方法确定。垂直分力作用线通过压力体的重心。

22hx FFF

4. 压力体

压力体的虚实取决于大气压液面与壁面的相对位置，一种判别方法为

当液体与压力体位于曲壁同侧，压力体为正 ( 方向向下） 当液体与压力体位于曲壁异侧，压力体为负 ( 方向向上）

h pF ' g

压力体是指曲壁与自由液面之间的垂直空间的容积。当压力体内无水时（如图 C1.6.4 示）称为虚压力体，总压力的垂直分力

负号表示垂直分力方向向上。

[ 例 C1.6.1.A] 二维曲壁总压力 ( 二 )

已知 : 图示封闭容器 α= 45° 方孔 ,边长 l = 0.4 m ，盖有半圆柱形盖 . H = 0.5 m,压强为 p0 = 0.25 atm

求 : 盖所受总压力大小与方向 。

解： 基准面离液面 p0 / ρg ，坐标系 oxyh

(1) 盖 ABE 水平投影，实际面积 Ax = l 2 cos4

5 ° ，水平方向合力分量为

cos45)( 20 lgHpAF xcxx

I

)(9.3419113.05.30228 N

45cos4.0)5.09807103.10125.0( 23

[ 例 C1.6.1.A] 二维曲壁总压力 ( 二 )

(3) 总压力大小与方向

( ) cos458 8

0.4 9807 3419.9 246.5 3419.9 3173.4( )8

2h

3 3

0

3

l g p gH l l g Fx

N

F g

-

- - -

)4665.4(23173.423419.922 NhFxFF

3173.4 οarctg 42.93419.9

arctg h

x

F

F

ο22313414 45sin)(

42

1)()( lH

gρ

pll

π 0 -

45cos)(8

203 lHg

pl

(2) 盖 ABE 垂直投影 ,AB段的压力体为负 ,BE段的压力体为正 ,分别与 组合3

1 4

C1.7.1 阿基米德浮力定律

• 第一浮力定律：沉体受到的浮力 等于排开的液体重量。

C1 流体的平衡

C1.7 浮力与稳定性

g Fb 设沉体体积为 τ

当 (物体重量 ) 沉体

bF W

C1.7.1 阿基米德浮力定律

设浮体浸没部分体积为 w g

当 (物体重量 ) 潜体

bF W

当 (物体重量 ) 浮体

bF W

• 浮心：浸没部分液体的形心C• 浮轴：通过浮心的垂直轴

• 第二浮力定律：浮体排开液体重量等于自身重量。

被测液体液面线将在基准线以下 Δh 位置处

[例 C1.7.1] 液体比重计

液体比重计如图，比重计插入蒸馏水 (4℃) 中，液面基准线 (SG=

1), 排水体积为 τ0 。

SG 为被测液体的比重， k 为常数。当 SG＞ 1 时刻度线在基准线的下方，当 SG＜ 1 时刻度线在基准线的上方。

0OH2 gW

)( 0 hAgW

)1

1()1( OH0 2

SGk

Ah

C1.7 浮力与稳定性

C1.7.2 潜体与浮体的稳定性

1 、潜体 (浮心不变 )的稳定性

潜体举例：水下舰艇、水雷、气艇、气球等。浮体举例：水面舰船、船坞、浮吊、浮标等。• 平衡条件： (1) 浮力＝重力； (2) 浮轴＝重力线

(1) G( 重心 ) 在 C( 浮心 ) 下方：稳定平衡(2) G 在 C 上方：不稳定平衡(3) G 与 C 重合：随遇平衡

(2) G 在 C 下方：稳定平衡

(1) G 与 C 重合：随遇平衡

2 、浮体 (浮心改变 )的稳定性

(3) G 在 C 上方：取决于稳心 高度

C1.8 大气中的压强分布欧拉平衡方程适用于可压缩流体（正压流体），但需补充 ρ 与p 的关系式。

C1 流体的平衡

p RT 设大气满足状态方程

按国际标准大气模型规定 (海平面上z ＝ 0) ：

T0 = 228.15 K p0 =101.3 kPa (ab)

ρ0=1.225 kg/m3 Μ0 =1.789×10-5 Pa·s

0 ～ 11km 为对流层 0T T βz

11 ～ 20km 为同温层 T=T2≡216.5 K

C1.8 大气中的压强

2 、在同温层 (11 ～ 20k

m) )(

1

12

zzRT

g

epp

式中 p1 ， z1 为对流层与同温层交界面参数， T 2 为同温层内温度。

1 、在对流层 (0 ～ 11k

m) g Rp p (1 z )

T 0

0

由欧拉平衡方程得ddp gp

gz RT

已知 : 上海市 Z0 = 0 ， T0 =288 K （ 15℃）， p0 =101.3 k Pa (a

b) ρ0 =1.225 kg/m3 ，拉萨市 Z = 3658 m ， T=279K

（ 6℃）。 求 : (1)按温度 -高度线性关系计算拉萨市平均气压p ；

解： (1) 由温度 -高度关系 T = T0-β

Z

[ 例 C1.8.1] 大气压强与密度变化

(2)按完全气体计算两地大气的密度比 ρ/ρ0。

)/(1046.23658

279288 30 mKZ

TT

9.132871046.2

81.93

R

g

[ 例 C1.8.1] 大气压强与密度变化

(2) 按完全气体状态方程

说明拉萨的大气压强约为上海的 64.3% 。

)(1.65643.03.101)288

279(3.101

)()1(

9.13

//

abkPa

T

TpZ

Tpp Rg

00

Rg

00

66.0276

288

3.101

1.65/ 0

00

0

0

T

T

p

p

RT

p

RT

p

说明拉萨的大气压强约为上海的 66% 。

对流层压强与高度关系