第二十章 曲线积分第二十章 曲线积分§1 §1 第一型曲线积分第一型曲线积分

§2 §2 第二型曲线积分第二型曲线积分

§1 §1 第一型曲线积分第一型曲线积分

一、问题的提出一、问题的提出

二、对弧长的曲线积分的概念三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算

四、几何与物理意义四、几何与物理意义

一、问题的提出一、问题的提出实例 : 曲线形构件的质量

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

.sM 匀质之质量

分割 ,,,, 121 in sMMM

,),( iii s取 .),( iiii sM

求和 .),(1

n

iiii sM

取极限 .),(lim1

0

n

iiii sM

近似值

精确值

二、对弧长的曲线积分的概念

,),(

,),(

,

),(,.

,,,.

),(,

1

121

n

iiii

iii

iii

n

sf

sf

i

si

nLMMMLL

yxfxoyL

并作和

作乘积点个小段上任意取定的一

为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在

函数面内一条光滑曲线弧为设

1. 定义

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

.),(lim),(

,),(,

),(,

,0

10

n

iiiiL

L

sfdsyxf

dsyxf

L

yxf

即记作线积分

第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在

时长度的最大值如果当各小弧段的

被积函数

积分弧段

积分和式

曲线形构件的质量 .),(L

dsyxM

2. 存在条件：

.),(

,),(

存在对弧长的曲线积分

上连续时在光滑曲线弧当

L dsyxf

Lyxf

3. 推广

曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数 ),,( zyxf

.),,(lim),,(1

0i

n

iiii sfdszyxf

注意：

)(,)(.1 21 LLLL 是分段光滑的或若

.),(),(),(2121

LLLL

dsyxfdsyxfdsyxf

.),(

),(.2

L dsyxf

Lyxf

曲线积分记为

上对弧长的在闭曲线函数

4. 性质 .),(),()],(),([)1(

LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf

).(),(),()2( 为常数kdsyxfkdsyxkfLL

.),(),(),()3(21

LLL

dsyxfdsyxfdsyxf

).( 21 LLL

且在 L上 ( , ) ( , )f x y g x y ，

则 ( , )L

f x y ds ( , )L

g x y ds .

( , ) g( , )L L

f x y ds x y ds 与 都存在，(4)

L L( ) ( , ) .f x y ds f x y ds 且 ，

.

（ 5）

( , y) s ( , )L L

f x d f x y ds 若 存在，则 也存在，

6 ( , y) sL

f x d ( )若 存在，L的弧长为s,

则存在常数c,使得

( , y) s=csL

f x d

三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理

且上有一阶连续导数在其中

参数方程为

的上有定义且连续在曲线弧设

, ],[ )( ),(

)( ),(

),(

,),(

tt

tty

tx

LLyxf

dtttttfdsyxfL

)()()]( ),([),( 22

)( 证略。

).(),(

:tytx

L这里， . t

. )()( 22 dtttds

曲线积分 定积分

(1) L ： y=y(x), a≤x≤b

假设 y(x)C1([a, b]). 有

xxyxyxfsyxfb

aLd)('1))(,(d),( 2

( a < b )

xxys d)('1d 2

计算：

(2) L ： x=x(y), c≤y≤d

假设 x(y)C1([c, d]). 有

yyxyyxfsyxfd

cLd)('1)),((d),( 2

( c < d )

yyxs d)('1d 2

例 1. 计算 .dsyL 其中 L 为 y2=2x 自点 (0, 0) 到点 (2,

2)的一段弧 .

xx

xsyL

d2

112d

2

0

解 1： 0≤x≤2,2 : xyL

xx

ys d

d

d1d

2

x

xd

2

11

y2=2x

0 2

2

y

x

xx d122

0 ＋ )155(3

1

(3) L ： x=(t), y=(t), ≤t≤

ttts d)(')('d 22

tttttfsyxfL

d)(')('))(),((d),( 22

( < )

注意 :

;.1 一定要小于上限定积分的下限

.,,),(.2 而是相互有关的不彼此独立中 yxyxf

.)(:)2( dycyxL

.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxfd

cL )( dc

. .

),(: dyc

yyyx

L

. )(1 2 dyyds

特殊情形

.)(:)1( bxaxyL

. ).(

,: bxa

xyxx

L

. )(1 2 dxxds

.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxfb

aL )( ba

).(),(

:tytx

L

1. 曲线 . t

对弧长曲线积分的计算公式

dtttttfdsyxfL

)()()]( ),([),( 22

则

2. 曲线 .)(: bxaxyL

.)(1)](,[),( 2 dxxxxfdsyxfb

aL

.)(: dycyxL 3. 曲线

.)(1]),([),( 2 dyyyyfdsyxfd

cL

则

则

推广 : )().(),(),(: ttztytx

)(

)()()()](),(),([

),,(

222

dtttttttf

dszyxf

例 1. 计算 .dsyL 其中 L 为 y2=2x 自点 (0, 0) 到点 (2,

2)的一段弧 .

xx

xsyL

d2

112d

2

0

解 1： 0≤x≤2,2 : xyL

xx

ys d

d

d1d

2

x

xd

2

11

y2=2x

0 2

2

y

x

xx d122

0 ＋ )155(3

1

解 2： 0≤y≤2,2

:2y

xL

yyysyL

d1d 2

0

2

yy

xs d

d

d1d

2

yy d1 2

)155(3

1

0 2

2

y

x

2

2yx

例 2. 计算 L

syx d)(

L: 连接 O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2) 的闭折线 OABO.

解： L 分段光滑

BOABOAL

ds=dx

2

1d)0(d)(

1

0 xxsyx

OA

OA: y=0, 0≤x≤1

O

2

A

By

x1

1

0d5))22((d)( xxxsyx

AB

AB: y=22x, 0≤x≤1

xys d'1d 2 xd55

2

3

2

0dd)( yysyx

BO

BO: x=0, 0≤y≤2

ds=dy

=2

252

3

2

1d)( Lsyx

)535(2

1

O

2

A

By

x

1

例 3. 计算 L

syx d)( 22 其中 L: x2+y2=a2.

L: x=acos t, y=asin t, 0≤t≤2

L

syx d)( 22

ttatatata d)cos()sin()sincos( 22222

0

22

taa d2

0

2

32 a

(4) 空间 R3 中的曲线： x=(t), y=(t), z=(t),

≤t≤

szyxf d),,(

xy

z

O

tttttttf d)()()()](),(),([ 222

( < )

例 4. 计算 .d)( 23 szyx

其中：从点 A(3, 2, 1) 到点 O(0, 0, 0) 的直线段 .

解：直线段 AO 方程：123

zyx

化成参数方程： x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

ttttszyx d123))2()3((d)( 22221

0

323

tt d14311

0

3 144

31

例 52

,

: , (0,0) (1,1) .

LI yds

L y x

求

其中 从 到 一段

解

dxxxI )(1 21

0

2

.10: 2 xxyL

dxxx 21

041

)155(12

1

例 6

)20(.

,sin,cos:,)( 222

的一段

其中求

kz

ayaxdszyxI

解

).43(3

2 22222 kaka

dkaa

kaa

222

222222

)cos()sin(

sincos

2

0I

2

0

22222 )( dkaka

例 7

.0

,

,

2222

2

zyx

azyx

dsxI

为圆周其中

求

解 由对称性 , 知 .222 dszdsydsx

dszyxI )(31 222故

dsa3

2

.3

2 3a ),2( 球面大圆周长 dsa

例 8 ).(,sin

,cos: , 象限第椭圆其中求

tby

taxLxydsI

L

解

dttbtatbta 2220

)cos()sin(sincos

dttbtattab 222220

cossincossin

)(sin sin)(2

220

2222 tdbtbaab

,cos)( tatx .sin)( tbty

x

y

o a

b,sin)( tat .cos)( tbt

.2

0 t

L xyds

.)(3

)( 22

bababaab

]sin)[( sin)()(2

222220

222222

btbadbtbaba

ab

2

0

23222222

sin)(32

)(2

btba

baab

dttbtatbta 2220

)cos()sin(sincos

dttbtattab 222220

cossincossin

)(sin sin)(2

220

2222 tdbtbaab

L xyds

例 9 其中计算 . )( L

dsyx

解 .0)( x

的直线；到点点 )0,2( )0,0( : )1( AoL

的直线；到点点 )3,2( )0,2( : )2( BAL A

x

y

o 2

3B

(1) L： .20 ,0)( xxy

L dsyx )( dxx 2

0201 )0(

dxx2

0 .2

.0)( x(2) L： .30 ,2)( yyx

L dsyx )( dyy 3

0201 )2(

dyy 3

0 )2( .

221

例 10

.)2,1()2,1(,4:

,

2 一段到从其中

求

xyL

ydsIL

解

dyy

y 22

2)

2(1

.0

xy 42

x

y

o 1

2

2

.22 ,4

)( :2

yy

yxL

.2

)(y

y

L ydsI

dyy

y4

12

2

2

例 11

解

直其中曲线计算 , . 222

22

ayxdseL

yx

形边界。在第一象限中所围的图线 ,0 xyx

dseL

yx

22

x

y

o

2 2 a

AB

.0 ,0 : ayxoA .0x

dseoA

yx 22

dyea y 01 20

0 22

dyea y0

.1 ae

dsedsedseoB

yxAB

yxoA

yx 222222

x

y

o

2 2 a

AB

.0 ,0 : ayxoA .0x

dseoA

yx 22

dyea y 01 20

0 22

dyea y0

.1 ae

dttatae tata )sin()cos( 222

4)sin()cos( 22

.24

,sin ,cos : ttaytaxAB

dseAB

yx 22

.cos ,sin taytax

dttatae tata )sin()cos( 222

4)sin()cos( 22

dtaea2

4

.

6aea

.24

,sin ,cos : ttaytaxAB

dseAB

yx 22

.cos ,sin taytax

.2

20 , : axxyoB .1y

dseoB

yx 22

dxea xx 11 222

0

22

x

y

o

2 2 a

AB

于是， dseL

yx

22

dsedsedseoB

yxAB

yxoA

yx 222222

)1(4

)1( aaa eeae

.2)4

2( aea

.1 ae

dxea x 2

22

0 2

.2

20 , : axxyoB .1y

dseoB

yx 22

dxea xx 11 222

0

22

四、几何与物理意义四、几何与物理意义,),()1( 的线密度时表示当 Lyx

;),(L

dsyxM

;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当

,),(

),()3(

处的高时柱面在点

上的表示立于当

yx

Lyxf

.),(L

dsyxfS柱面面积

s

L

),( yxfz

对弧长曲线积分的应用对弧长曲线积分的应用

,)1( 曲线弧的转动惯量

., 22 LyLx dsyIdsxI

曲线弧的质心坐标)2(

.,

L

L

L

L

ds

dsyy

ds

dsxx

,)( 220

LdsyxI

例 9

).(,sin

,cos:

ttRy

tRxL

解 : 如图设置坐标系

dttRtRtR 2222 cos)sin(sin

.1(

2,

）设线密度为它的对称轴的转动惯量对于的圆弧中心角为计算半径为 LR

x

y

Lx dsyI 2

tdtR

23 sin ).cossin(3 R

1 、对弧长曲线积分的概念

2 、对弧长曲线积分的计算

3 、对弧长曲线积分的应用

五 小结与思考判断题五 小结与思考判断题

思考判断题

（ 1 ） 对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？

iS

（ 2 ） 对弧长的曲线积分是否与曲线方向有关？

思考题

对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？

iS

思考题解答

iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度 .