کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی

سیدمحسن موسوی و دانیال خشابیدانشکده مهندسی برق، دانشگاه صنعتی امیرکبیر

{moosavi.sm,d.khashabi}@gmail.com

سيزدهمين کنفرانس دانشجويی مهندسی برق ايران

1

مقدمه ای بر موجک تقریب توابع یک متغیره با موجکHaar چگونگی حل معادله ی دیفرانسیل معمولی با موجک

Haarنتایج


2

موجک ها ◀ مجموعه ای از توابع متعامد پایه کاربردهای زیادی در زمینه ی ریاضیات، فیزیک، علوم کامپیوتر و

مهندسی ،برای مثال فشرده سازی اطالعات اعم از تصویر، حذف نویز اطالعات

[1]پردازش سیگنال اعم از تصویر یا صدا، آنالیزهای عددیاستفاده از موجک در آنالیز های عددی معادالت دیفرانسیل

معمولی یا پاره ای◦ی های عملی، نتیجه های طبیعی و آزمایش ی پدیده در مطالعه◦

شود. آزمایش به حل یک معادله ی دیفرانسیل منجر می


3

[1] A.W.Galli, G.T.Heydt and P.F.Ribeiro, “Exploring the Power of Wavelet Analysis”, IEEE Computer Application in Power, Oct 1996, pp.37 – 41.

[1] A.W.Galli, G.T.Heydt and P.F.Ribeiro, “Exploring the Power of Wavelet Analysis”, IEEE Computer Application in Power, Oct 1996, pp.37 – 41.

موجکHaar به علت سادگی◀ محبوبیت بیشتری نسبت به سایر [1]موجک ها

.موجک توانایی همگرایی دقیق تری در مقیاس محلی دارد یکی از دالیلی برتری آنالیز موجک بر سایرتقریب ها ◀ میل سریع

ضرایب حقیقی توابع پایه آن به ازای کالس های مختلف از سیگنال ها

خانواده ی موجکHaar:با مقیاس دودویی

انتقال:◦

تغییر مقیاس:◦

انتقال و مقیاس:◦


4

0, ( ) ( )k x x k

,0 ( ) (2 )jj x x

, ( ) (2 )jj k x x k

P.Chang, P.PiauSimple, “Procedure for the Designation of Haar Wavelet Matrices for Differential Equations”, International Multi-Conference of Engineers and Computer Scientists, 2008

P.Chang, P.PiauSimple, “Procedure for the Designation of Haar Wavelet Matrices for Differential Equations”, International Multi-Conference of Engineers and Computer Scientists, 2008

خانواده ی موجک مادرHaar:


5

,

0.51

0.5 1( ) 1

0

m k

k kt

m mk k

x tm m

else

2 ; 0,1,2,3,...,

0,1,2,..., 1

jm j J

k m

, ( ) (2 )jj k x x k

J!بیشتر، دقت بیشتر


6

1 2

0 , ,0 1

( ) ( ), ( ) . ( )jJ

J j k j kj k

f t c f t

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Fourier Series: 500 iterations

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.2

0.4

0.6

0.8

Approximation Level: pow( 2, 9 )

تقریب سری فوریهتقریب با موجکو پدیده گیبس

[1] S.Mallat, “a Wavelet Tour of Signal Processing, The Sparse Way”, 3 rd Edition, 2009, Elsevier Pub.[1] S.Mallat, “a Wavelet Tour of Signal Processing, The Sparse Way”, 3 rd Edition, 2009, Elsevier Pub.

عدم امکان استفاده مستقیم از موجکHaar !به علت ناپیوستگی چاره؟

◀ موجب پیچیدگی زیاد.[1] با استفاده از درون یابیHaarهموارکردن موجک ◦ ◀ انتگرال گرفتن )به جای مشتق( ◀ از بین [2]تبدیل مشتق ها به انتگرال ها◦

رفتن مشکل ناپیوستگی تبدیل کرد. معادله ی جبریلذا میتوان یک معادله ی دیفرانسیل را به یک

در اینجا(با مشخص بودن دسته توابع پایهHaar میتوان ◀ )ساختارهایی ایجاد کرد که در هر محاسبه با پیش فرض مشخص بودن

آنها به حل معادله پرداخت! ◀ افزایش سرعت محاسبات نیاز به گسسته سازی روی زمان:◀ برای انجام آنالیز


7

[1] C.Cattani, “Haar wavelet spline”, Journal of Interdisciplinary Math.4 (2001) 35-47.[2] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.

[1] C.Cattani, “Haar wavelet spline”, Journal of Interdisciplinary Math.4 (2001) 35-47.[2] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.

0.5; 1,2,3,..., 2

2l

lt l M

M

های موجک دو ماتریس به عنوان ابزار حل معادالت با پایهHaar :[3]معرفی میشود

: برای خود توابع موجک Hماتریس ◦ H : برای ایجاد انتگرال توابع از روی تقریب با ماتریس Pماتریس ◦

: ماتریس:چند خانواده ی اول


8

[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143.


( , ) ( )i lH i l h t 2 2M MH

2

1 1H =

1 1

4

1 1 1 1

1 1 1 1H =

1 1 0 0

0 0 1 1

8

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 1 1H =

1 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 1

[1]ماتریس :چند خانواده ی اول:◦


9



2 2M MP

0

[( ) ] [ ( ) ]lt

li iPH h t dt

2

2 1=

1 0P

4

8 4 2 2

4 0 2 21=

1 1 0 016

1 1 0 0

P

داده شده است که می توان ماتریس [1]در نشان P را از رابطه ی بازگشتی زیر بدست آورد:

ی ماتریس محاسبهP و H![2] تنها برای بار اول کافی است با یکبار محاسبه، می توان آنها را برای هر معادله ی دلخواه بکار برد.◦


10

[1] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143

[1] C.F.Chen, C.H.Hsiao, “Haar Wavelet Method for Solving Lumped and Distributed-Parameter Systems”,IEEEProc.Pt.D144 (1)(1997) 87-94.U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143

اگر تقریبی از بر اساس ماتریس ضرایب مجهولباشد:

H.ماتریس پایه های موجک : X.ماتریس ضرایب :

هدف: بدست آوردن به صورت یک عبارت ماتریسی بر اساس :◦


11

( ) ( )my t( )

2 1 2 2 2 1mM M M MY H X ( )

2 1mMY

( 1)2 1

mMY

X2

( ) ( )2 1 2 2 2 1 ,1 , ,1

1

Mm mM M M M l l i i

i

Y H X Y H X

( 1) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1)

,1 ,110

( ) ( ) (0) (0)t l

m m m m m ml l

l

y t y d y Y Y y

2

( 1), ,1

1 1

(0)l M

ml i i

l i

H X y

2

( 1),1 ,

1 1

(0) (*)M l

mi l i

i l

X H y

, , ,10

( ) ( ) ( )lt l

l i i l i l il

PH h t dt PH H

2

( 1) ( 1) ( 1), ,1 2 1 2 2 2 1 2 1

1

(*) ( ) (0) ( ) [ (0)]M

m m ml i i M M M M M

i

PH X y Y PH X y

:در حالت کلی داریم

:اگر را به عنوان مبدا آنالیز در نظر بگیریم

با توجه به رابطه فوق ◀ بدیهی است هرODE را می توان بصورت جبری حل کرد.

◦X !مجهول است


12

( ): ( )mif y t HX( )1

( ) (.)

0

(0): ; : ( )

!

n im nn m n i

i

yst m n then Y P H X T

i

0t t

( )1( ) (.)0

0

( )( )

!

n im nn m n i

i

y tY P H X T

i

:معادله ی زیر را در نظر می گیریم:داریم

:مقادیر مقابل را در نظر بگیرید

:جواب دقیق به این صورت است


13

( )y ay by cy i t 2 3

(.)0

(.)1

(.)2

( ) ( ) ( )

-[ (0) (0) (0) ]

-[ (0) (0)]

(0)-( )

2

HX a PH X b P H X c P H X

I ay by cy T

by cy T

cyT

1, 0, 2, ( ) sin(5 )

(0) 0, (0) 0, (0) 0

a b c i t t

y y y

25 25 sin(5 )y y y y t

- 125 -5 25 13 cos 5 38 -325 sin 5( )

16900

t te e t t t ty t

:جواب نهایی به اینصورت است

:نتیجه ی محاسبه ی ماتریسی با استفاده از موجک بصورت زیر است


14

2M=1282M=512

3 (.)2 (.)1 (.)0 (0)( ) (0) (0)

2!

yY P H X T y T y T

ها◀موجک معرفی کلی موجکHaar استفاده برای تقریب توابع◀حل ◀ODE سریع روشی حال عین در و ساده روشی

امکان استفاده از ساختار های محاسباتی اسپارس◦ برای دقت های باالH و Pامکان ذخیره سازی ماتریس های ◦قابلیت استفاده برای حل معادله خطی با ضرایب متغیر با زمان◦

نیازمند آنالیز پایداری برای مرتبه های باال است ◀به علت خطی [1[]2]سازی محلی

گستردگی معادالت انتگرال-دیفرانسیل ◀بررسی دقیق موردی روش ها:امکان ترکیب چنین روشی با سایر روش های عددی وجود دارد

◦Wavelet-Galerkin ◀[3] PDE◦Wavelet Finite Element Method ◀PDE◦…


15

[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143[2] U.Lepik, “Haar Wavelet Method for Solving Stiff Differential Equations”, Mathematical Modeling and Analysis, Vol.14, No. 4, 2009, pp. 467-481.[3] H.Akca, M.H.Ali-Lail, “Survey on Wavelet Transform and Application on ODE and Wavelet Network”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol.1-Number 2(2006), pp.129-162.

[1] U.Lepik, “Numerical Solution of Differential Equations Using Haar Wavelets”, Mathematics and Computers in Simulation 68 (2005) 127–143[2] U.Lepik, “Haar Wavelet Method for Solving Stiff Differential Equations”, Mathematical Modeling and Analysis, Vol.14, No. 4, 2009, pp. 467-481.[3] H.Akca, M.H.Ali-Lail, “Survey on Wavelet Transform and Application on ODE and Wavelet Network”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol.1-Number 2(2006), pp.129-162.

16

17

Documents

کاربرد موجک در تقریب توابع یک بعدی و حل معادلات دیفرانسیل معمولی