Квадратные уравнения.

презентация

Тема урока

Решение задач с помощью квадратных

уравнений.

Цель урока

oПродолжить формирование навыка решений квадратных уравнений по формуле.

oСовершенствовать навык составления уравнения по условию задачи, умение проверять соответствие найденного решения

условиям задачи.

Уравнения вида

ax2+bx+c=0, где a≠0

называют квадратным уравнением.Если а=1, то уравнение называютприведенным квадратным

уравнением.

В Греции математики овладели

искусством решать квадратные уравнения путем использования геометрической алгебры.

Примеры геометрического решения квадратных уравнений приводятся в знаменитой «Алгебре Мухаммеда аль-Хорезми»

Решим уравнение x2+10x=39

Построим квадрат ABCD со стороной

х см и на его сторонах ВС и СD равные прямоугольники с высотой 5 см.

M K F В С L

А D N

SAMFN=SABCD+2SCDNL+SCKFL=x2+2x*5+25

SAMFN=(x+5)2

(x+5)2=x2+10x+25т.к. x2+10x=39(x+5)2=39+25(x+5)2=64х+5=8 х+5= -8Х=3 х = -13

А

ВС

D

М F

N

K

L

Впервые отрицательные корни уравнений стал находить индийский математик Бхаскара ХII в., книга которого «Лилавати» являлась главным источником математических знаний на Востоке

В Европе решение квадратных уравнений было изложено итальянским ученым Леонардо Фибоначчи в «Книге абака» (начало ХIII в.).

В середине XVI в. в общее правило решения квадратных уравнений при любых знаках коэффициентов было дано немецким математиком М. Штифелем

Решение квадратных уравнений по формуле.

корень. 1 имеет уравнение 0,Д Если 3)

корней. имеет не уравнение 0,Д Если 2)

корня.различных 2 имеет уравнение 0, Д Если )1

4

02

2

асвД

свхах

Решение квадратного уравнения по формуле

132

1610

32

1610

256)39(14100

03910

3910

2

1

2

2

х

х

Д

хх

хх

Реши уравнения и выбери правильный ответ

нет г)корней 0;6 в) 0 6;-б) 6 а)

183)3

1;-4,5 г) нет в)корней 4,5 ; б)1 4,5- 1;- а)

0972)2

7;6-г) 6;-7-в) ;-6 б)7 6;7 а)

042х)1

2

2

2

хх

хх

х

Ответы

1 2 3

б г в

№ 1

Из города А в город В, расстояние между которыми 120 км, выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого на 3 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в город В на 2 ч раньше. Определите скорость велосипедистов.

Условие

А В120 км

Решение

S, км , км/ч t, ч

1 велосипедист 120 х+3

2 велосипедист 120 х

Пусть х км/ч – скорость второго велосипедиста

3x

120

x

120

Известно, что второй велосипедист прибыл в город В раньше на 2 ч, чем первый.

А В120 км

Решение

•

Составим и решим уравнение:

Умножим обе части этого уравнения на x(x+3)

Ответ: 12 км/ч; 15 км/ч.

13x

60

x

60

3)x(x60x3)60(x

Число -15 противоречит смыслу задачиЕсли х=12, то х(х+3)≠0, верно12 км/ч – скорость второго велосипедиста15 км/ч – скорость первого велосипедиста

3xx60x18060x 2

01803xx2 22772918049D

122

273 x 15

2

273x 21

23

120120

хх

Реши самостоятельно

Из пунктов А и В навстречу друг другу одновременно вышли два пешехода. Скорость первого на 1 км/ч больше скорости второго, поэтому он прибыл в пункт В на 1 ч раньше, чем второй в пункт А. Найдите скорости пешеходов, если расстояние между пунктами А и В равно 20 км.

Условие

А В

РешениеS, км , км/ч t, ч

1 пешеход 20 х+1

2 пешеход 20 х1x

20

x

20

По условию задачи время движения первого пешехода на 1 ч меньше времени движения второго.

А В

РешениеСоставим и решим уравнение:

-52

91x

42

91x

9812041D

020xx

xx20x2020x

1)x(x20x1)20(x

1)х(х

1)х(х

1)х(х

20х

1)х(х

1)20(х

11х

20

х

20

2

1

2

2

2

Число -5 противоречит смыслу задачиЕсли х=4, то х(х+1)≠0, верно4 км/ч – скорость второго пешехода5 км/ч – скорость первого пешеходаОтвет: 5 км/ч; 4 км/ч.

№ 2

Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошёл по реке расстояние, равное 15 км, по течению и такое же расстояние против течения. Найдите скорость течения реки, если время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Условие

Решение

S, км , км/ч t, ч

Против течения 15 8-х

По течению 15 8+хx-8

15

x8

15

Известно, что время, затраченное на весь путь, равно 4 ч.

Пусть х км/ч – скорость течения реки.

РешениеСоставим и решим уравнение:

2 х 2х

4х

6064х

х-64415

)х-64(41615

)х-64(4x)8x15(8

х-64

)х-64(4

х-64

х)-15(8х)15(8

)х)(8-(8

)х)(8-4(8

)х)(8-(8

х)-15(8

)х)(8-(8

х)15(8

48

15

х-8

15

21

2

2

2

2

2

2

2

2

х

х

хх

х

Число -2 противоречит смыслу задачиЕсли х=2, то (8-х)(8+х)≠0, верно2 км/ч – скорость течения реки

Ответ: 2 км/ч.

Реши самостоятельно

Расстояние между пристанями по реке равно 21 км. Моторная лодка отправилась от одной к другой и через 4 ч вернулась назад, затратив 24 мин. на стоянку. Найти собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Условие

Решение

S, км , км/ч t, ч

Против течения 21 х-2

По течению 21 х+22-x

21

2x

21

По условию задачи время, затраченное моторной лодкой на весь путь по реке, равно

Пусть х км/ч – собственная скорость моторной лодки.

ч 5

18ч

5

33ч

60

363мин. 36 ч 3мин. 24-ч 4

РешениеСоставим и решим уравнение:

126

3735 х

3

1

6

3735х

1369144122512)(3435D

01235х3х

02470х6х

246х70х

4)-6(х2)х235(х

4)-5(х

4)-6(х

4)-5(х

2)35(х2)35(х

2)2)(х5(х

2)2)(х6(х

2)2)(х5(х

2)5(х7

2)2)(х-5(х

2)5(х75

6

2х

7

2-х

75

18

2х

21

2-х

21

21

2

2

2

2

2

2

2

2

Число противоречит смыслу задачи

Если х=12, то (х-2)(х+2)≠0, верно12 км/ч – собственная скорость моторной лодки

3

1

Ответ: 12 км/ч.