特殊平行四边形 (复习课 )

四边形平行四边形

矩 形

菱 形

一角为 90°

正方形两组对边分别平行 一角为直角且一组邻边相等

一组邻边相等

一组邻边相等 一角为 90°

知识网络1 ． 概念

平行四边形矩形 菱形正方形

2 ． 平行四边形的从属关系

3. 几种特殊平行四边形的性质

平 行四边形矩 形菱 形

正方形

边对边平行 且相等对边平行且相等对边平行，四边都相等对边平行， 四条边 都相等

角对角相等，邻角互补 四个角都是直角对角相等，邻角互补 四个角都是直角

对 角 线对角线互相平分

对角线相等且互相平分对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角

对称性中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形 轴对称图形、中心对称图形

4 ．特殊平行四边形的常用判定方法平 行 四边形

（ 1 ）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（ 2 ）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（ 3 ）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 ;（ 4 ）对角线互相平分的四边形是平行四边形；（ 5 ）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．矩 形 （ 1 ）有一个角是直角的平行四边形是矩形；（ 2 ）有三个角是直角的四边形是矩形； （ 3 ）对角线相等的平行四边形是矩形． 菱 形 （ 1 ）有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（ 2 ）四条边都相等的四边形是菱形； （ 3 ）对角线互相垂直的平行四边形是菱形．正方形 （ 2 ）有一组邻边相等的矩形是正方形；（ 3 ）有一个角是直角的菱形是正方形．

（ 1 ）一个角是直角且，一组邻边相等的平行四边形是正方形；

2. 若四边形 ABCD 为平行四边形，请补充条件 使得四边形 ABCD 为菱形．

1. 已知： AD∥BC ，要使四边形 ABCD 为平行四边形，需要增加条件是 ___________________ ．

AB=BC 、

或 AD=BC 、或∠ A=∠C 、或∠ B=∠D 、或∠ A+∠D=180° 、 或∠ B+∠C=180° ．

基本练习

AC⊥BD

AB∥ＤＣ　

3. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点 O ，∠ AOB=2∠BOC ， 若对角线 AC=6cm ，则你能求什么？

4. 如图，菱形 ABCD 的边长为 8cm ，∠ BAD=120° ，你可以求什么？

A

B C

D

O

我发现：当矩形对角线夹角为 60° 时，以等边三角形为突破口；当菱形有一个内角为 60° 时，以等边三角形为突破口．

角？ 边？周长？面积？

菱形的面积等于它的两条对角线乘积的一半．我想到：

BA

D C

O

5. 如图，菱形 ABCD 的对角线的长分别为 2 和 5 ， P 是对角线 AC 上任一点（点 P 不与点A 、 C 重合）且 PE BC∥ 交 AB 于 E ， PF CD∥ 交 AD 于 F ，则阴影部分的面积是 ．2.5

我想到：平行四边形被对角线分成的四个三角形面积相等．

例题剖析例 1. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O ，过点 D 作 DP∥OC ，且 DP=OC ，连结 CP ，试判断四边形 CODP 的形状．

A B

D CO

P

解 : 四边形 CODP 是菱形 ∵ DP∥OC ， DP=OC ， ∴ 四边形 CODP 是平行四边形．

∵ 四边形 ABCD 是矩形 ，　∴ CO=DO ． ∴ 四边形 CODP 是菱形 ．

变式 2: 如果题目中的矩形变为正方形 ( 图二 ) ，结论又应变为什么？变式 1: 如果题目中的矩形变为菱形 ( 图一 ) ，结论应变为什么？

图一

AAOO

DDPP

BB

CCPP

CCDD

OOBBAA

图二

A B

D CO

P

如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 、 BD 交于点 O ，过点 D 作 DP∥OC ，且 DP=OC ，连结 CP ，试判断四边形 CODP的形状．

① 当∠ BAC 等于 时，四边形 ADFE 是矩形；② 当∠ BAC 等于 时，平行四边形 ADFE 不存在；③ 当△ ABC 分别满足什么条件时，平行四边形是菱形、正方形．

例 2. 以△ ABC 的边 AB 、 AC 为边作等边△ ABD和等边△ ACE ，四边形 ADFE 是平行四边形．

解 : ③ AB=AC 时，平行四边形ADFE 时菱形．AB=AC 且∠ BAC=150° 时，平行四边形 ADFE 是正方形．

150°

60°

B C

A E

FD

60° 60°

（ 9 ）已知△ ABC 中， D 是 AB 的中点， E 是 AC 上的点，且∠ ABE=∠BAC ， EF∥AB ， DF∥BE ，请猜想 DF与 AE 有怎样的特殊关系，并说明理由．

AA

EEDD

FF

CCBB

（ 10 ）已知 BE 、 CF 分别为△ ABC中∠ B 、∠ C 的平分线， AM⊥BE 于M ， AN⊥CF 于 N ．求证： MN∥BC ． AA

MMNNEEFF

CCBB QQRR

F

B

A

C

DE

（ 11 ）如图，在四边形 ABCD 中， AB=DC ，BC=AD ，点 E 、 F 在对角线 AC 上，试问：当 BE 、 DF 满足什么条件时， EF 与 BD 互相平分？并说明理由．