Upload
gazit
View
75
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
מתמטיקה ב' לכלכלנים. שיעור 3 – נג זרות, דיפרנציאבליות וקירובים תיאוריה. נגזרת חלקית. הרעיון:. כאשר הגדרנו נגזרת ניסינו לתאר את מגמת השינוי הרגעית של פונקציה כאשר X מתקדם. במרחב אנחנו יכולים לדבר על התקדמות במספר כיוונים. נגזרת חלקית. לשיפועים האלו אנחנו קוראים "נגזרת כיוונית". - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
1
מתמטיקה ב' לכלכלנים – נגזרות, דיפרנציאבליות 3שיעור
וקירוביםתיאוריה
2
נגזרת חלקית
השינוי מגמת את לתאר ניסינו נגזרת הגדרנו כאשרכאשר פונקציה של הרגעית
X . מתקדם
לדבר יכולים אנחנו במרחבבמספר התקדמות על
כיוונים.
הרעיון:
xy
3
נגזרת חלקית
." כיוונית " נגזרת קוראים אנחנו האלו לשיפועים
. במסילה תנועה נגדיר כיוונית נגזרת להגדיר כדילהיות צריכה במסילה שהתנועה לב לשים עלינו
.1בקצב
( : היא המסילה (at,btכלומר122כאשר ba
4
נגזרת חלקית
: החלקיות הנגזרות הן במיוחד חשובות כיווניות נגזרות
לפי חלקית לפי :xנגזרת החלקית :xהנגזרת המסומנת : להיות: מוגדרת xאו
yxf
),(
),( yxf x
x
yxfyxxf
dx
yxdf
x
yxfx
),(),(lim
),(),(0
לפי חלקית נגזרת נגדיר דומה משתנה yבאופן כל ולפיאחר.
5
נגזרת חלקית - דוגמאות
13),( 2 xxyyyxF
xyyeyxF ),(
yxyxF ),(
: הבאות לפונקציות חלקיות נגזרות חשב
13),( yyxFx
xyyxFy 32),(
xyx eyyxF 2),(
xyxyy yxeeyxF ),(
yxyxFx
2
1),(
yxyxFy
2
1),(
6
התחלפות הנגזרות החלקיות222),( yxyxF :) שוורץ ) כיוונים משפט בשני החלקיות הנגזרות אם
בנקודה( yו xלמשל) :,רציפותו aקיימות מתקיים אזי
)()( afaf yxxy
בכיוון הכיוונית הנגזרת הכיוונית xכלומר הנגזרת שלבכיוון yבכיוון הכיוונית לנגזרת בדיוק של yשווה
בכיוון הכיוונית .xהנגזרת
שקפים הוכחה: שני עוד
7
נגזרת חלקית - דוגמאות
13),( 2 xxyyyxF
xyyeyxF ),(
yxyxF ),(
: מתחלפות הנגזרות כי נראה
13),( yyxFx
xyyxFy 32),(
xyx eyyxF 2),(
xyxyy yxeeyxF ),(
yxyxFx
2
1),(
yxyxFy
2
1),(
),(3),( yxFyxF yxxy
xyxyxy exyyeyxF 22),(
23
4
1),(
yxyxFxy
8
התחלפות הנגזרות החלקיות
: הרעיון: נקודות ארבע על נסתכל
),(),,(
),,(),,(
0000
0000
yyxxfyyxf
yxxfyxf
x
yyxfyyxxfyyxf
x
yxfyxxfyxf
x
x
),(),(),(
),(),(),(
000000
000000
yx
yyxfyyxxf
x
yxfyxxf
yxf xy
),(),(),(),(
),(
00000000
00
9
התחלפות הנגזרות החלקיות
שני : מצד
),(),,(
),,(),,(
0000
0000
yyxxfyyxf
yxxfyxf
y
yxxfyyxxfyyxf
y
yxfyyxfyxf
y
y
),(),(),(
),(),(),(
000000
000000
xy
yyxfyyxxf
y
yxfyxxf
yxf yx
),(),(),(),(
),(
00000000
00
החלפנו!
10
עבור הוכחה: משתנים בשני : a=(x0,y0)נוכיח
של קטנה , y0בסביבה הגבולות שני לכן מוגדרת הנגזרת: שווה הביטוי ולכן קיימים
ונקבל סדר נחליף
התחלפות הנגזרות החלקיות
yx
yxfyxxfx
yyxfyyxxfxx
y
),(),(lim
),(),(lim
lim
0000
0
0000
0
0
),( 00 yxf xy
yx
yxfyxxfyyxfyyxxfxy
),(),(),(),(limlim 00000000
00
yx
yxfyyxfyxxfyyxxfxy
),(),(),(),(limlim 00000000
00
11
yx
yxfyyxfyxxfyyxxfxy
),(),(),(),(limlim 00000000
00
xy
yxfyyxfy
yxxfyyxxf
xy
),(),(),(),(
limlim
00000000
00
xy
yxfyyxfy
yxxfyyxxf
yx
),(),(),(),(
limlim
00000000
00
: ורציפים קיימים שהגבולות משום כעת
x
yyxfyyxf
yyxxfyyxxf
yy
x
),(),(lim
),(),(lim
lim
0000
0
0000
0
0
),( 00 yxf yx
12
נגזרת כיוונית
כיוון - בכל חלקית נגזרת להגדיר אפשר שהבטחנו כפי
, . a,bיהי )הגדרה: כלומר( יחידה וקטורבכיוון ) הכיוונית הנגזרת את : a,bנגדיר להיות(
122 ba
t
yxfbtyatxf
dt
btatdft
),(),(lim
),(0
13
נגזרת כיוונית
),(23המחשה: yxyxf )5.0,6.0( a
08.13)5.0,6.0( )5.0,6.0(2 xf x
12)5.0,6.0( )5.0,6.0( yf y
בכיוון נגזרת וכעת
2,2
tt
23 )2
5.0()2
6.0()(tt
tf
057.02
08.0
2
108.1
2
1
)2
5.0(22
1)2
6.0(32
1)0(0
2
ttt
dt
df
2100
8
אבל:
12
108.1
2
1
2100
8
14
נגזרת כיוונית
. למשפט המקרים צירוף את נהפוך
של משפט: בנקודה החלקיות הנגזרות אםו קיימות מתקיים. רציפותהפונקציה אזי
: היא בכיוון הכיוונית שהנגזרת
... בהמשך הוכחה
),( ba
),( 00 yx
),(),( 0000 yxfbyxfa yx
),( yxf
15
דיפרנציאביליות וליניאריזציה
כיוון בכל משתנים מרובת פונקציה לקרב למדנובקלות...
הכיוונים בכל אותה לקרב ניתן האם אחת אבל ?בבת: הקודם מהקורס במונח ניזכר
:)' א ) מתמטיקה פונקציה הגדרה של גזירה f(x)דיפרנציאלהוא:
נסמן –
יתקיים גזירה פונקציה לכל אזי
. דיפרנציאבילית – גזירה פונקציה שכל אמרנו ולכן
)()()( 00)( 0xfxxfxDf xx
xx xxDfxxf )()( )(0 0
0)(lim0
xx
16
דיפרנציאביליות וליניאריזציה
: משתנים בשני וכעת
את הגדרה: קיימות החלקיות שנגזרותיה לפונקציה נגדיר
השלם (.x0,y0בנקודה )f(x,y)של הדיפרנציאלשל – ליניאריזציה מכונה השלם הדיפרנציאל fלעיתים
),(),(),(),( 000000),( 00yxfyyxfxyxfyxDf xxyx
:הגדרה: המקיימת פונקציה
. דיפרנציאבילית נקראת כאשר
yxyx yxyxDfyyxxf ),(),( ),(00 00
0)(lim,0)(lim00
yy
xx
17
משפט הדיפרנציאביליות
בנקודה משפט: החלקיות הנגזרות אםאזי ורציפות קיימות הפונקציה של
. דיפרנציאבילית הפונקציה
),( 00 yx),( yxf
? המשמעות ומהעל 1. בסביבה דיפרנציאבילית פונקציה כל לקרב אפשר
. משיק מישור ידי.2 . למציאות מתקרב הקירוב לנקודה מתקרבים כאשר
. . – ? בהמשך לכך נתייחס פתוחה שאלה עדיין זו כמה עד
כן ועל רבים טכניים מונחים ומערבת קשה ההוכחה . עליה לוותר נאלץ
18
דיפרנציאביליות
המחשה:
: ונקבל חלקיות נגזרות נחשב
: " י ע הפונקציה את לקרב ניתן לכן
22)1(),( yxyxf )0,0(),( 00 yx
02)0,0( )0,0( yf y
2)1(2)0,0( )0,0( xf x
)0,0()0()0,0()0()0,0(),(~
yx fyfxfyxf
xyxf 21),(~
19
גרדיאנט
כיוון בכל משתנים בשני פונקציה לקרב שלמדנו לאחרלשימוש – מעשי כלי לבנות עלינו מסילה כל ולאורך
. זו ביכולתקיימות הגדרה: החלקיות שנגזרותיה לפונקציה נגדיר
: הגרדיאנט את ),,...,,(),,...,(ורציפות2121 kxxxk fffxxxf
: סקלרית – מכפלה שימושי מונח עוד ונגדיר
לשתי הגדרה: יות –kנגדיר
מכפלה שנכנה הפעולה את מספרים שלשל . סקלרית
),...,,(),,...,( 21211 kk xxxvxxv
i
k
iixxvv
121 ),(
),( 21 vv
20
שימושי הגרדיאנט
לפני הגרדיאנט של המיידי השימוש את לראות קל : הכיווניות הנגזרות נוחסאת
),...,,(),,,...,,()),(( 2121 kk aaaxxxfaxf אם: כלומר= – a1,a2,…,ak))aמסקנה כיוון
הנגזרת היא אזבכיוון Aהכיוונית
1... 23
22
21 aaa
... נוספים ושימושים משמעויות לגרדיאנט אך
21
משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט
: גיאומטרית מבחינה סקלרית מכפלה היא מה
: הקוסינוסים במשפט ניזכר
: ונקבל הציור לפי נציב
נשווה:
ונקבל:
X
Y
A=(3,4)
B=(6,2)53.13
)2463(226432463 222222
)cos(2222 abbac
cos26432)26()43(2463 2222222222
)2463(22643cos26432)26()43( 222222222222
את נחשבB-Aגודל
שוב חישבנו B-Aאת
. שונה בדרך
)2463(cos2643 2222
22
משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט
וקטורים שני של סקלרית מכפלה . ביניהם הזווית קוסינוס כפול אורכיהם מכפלת היא
),(),,( 2211 yxbyxa
.תרגיל: הקודם השקף על בהסתמך המשפט את הוכח
כדי סקלרית מכפלה על הידע את לנצל נוכל כעתלגבי לכת ומרחיקות שימושיות מסקנות להסיק
הגראדיאנט.
23
משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט
היא כיוון עם הגרדיינט של סקלרית שמכפלה אמרנו. זה בכיוון הכיוונית הנגזרת
סקלרית מכפלה כי גם אמרנואם אז - aאבל כיוון
היא - הכיוונית הנגזרת כלומר לכןלכיוון הגרדיאנט בין הזווית קוסינוס כפול הגרדיאנט אורך
a.
)cos(||||),( baba
),...,,( 21 kaaaa 1... 222
21 kaaaa
)cos(|)(|)),(( xfaxf
:משפט: להיות – מוגדר אשר הגדריאנט כיווןהפונקציה שבו הכיוון הוא
. מכסימלי בקצב עולה
)(
)(,...,)(
)(,)(
)(
)(
)(21
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xf
xfkxxx
פונקציות הומוגניות – קסם 24הגראדיאנט
:) אוילר ) :משפט אם ורק אם הומוגנית היא פונקציה
)())(,( xdfxfx
קיים fפונקציה הגדרה: אם הומוגנית כך dנקראתשמתקיים:
כל . aעבור ההומוגניות dחיובי דרגת מכונה.fשל
)()( xfaxaf d
... – ? נבין חודשים כמה עוד טוב זה מה בשביל אבל. תרגול – בינתיים
...(הוכחה: בקרוב ) אחד כיוון בהמשך
25
פונקציות הומוגניות
22)( yxxf : דוגמאות קצת
)()()()( 22222 yxaayaxaxf
)2,2()( yxxf
היא ההומוגניות 2דרגת
)(2)(222
))2,2(),,(()),(),((2222 xfyxyx
yxyxyxxf
: אוילר משפט
היא ההומוגניות 2דרגת
26
פונקציות הומוגניות
xyyxxf )( : דוגמאות קצת
)()()()()()( 5.1 xyyxaaxayayaxaxf )
2,
2()(
y
xx
x
yyxf
y
xyxy
x
xyyxyxxf
22)),(),((
לב – .aשימו חיובי היא ההומוגניות דרגת
1.5
y
xy
x
xyxyyxyxxf
22)),(),((
)(5.122
)),(),(( xyyxyxxy
xyyxyxxf
: אוילר משפטהיא ההומוגניות דרגת
1.5
27
כעת נוכל לחשב את מגמתה של כל פונקציהרב-ממדית!
למרות שהדבר נראה כפרדוקס, כל המדע , כשאדם אומר קירובים נשען על המדויק
שהוא יודע את האמת בדיוק, אתה יכול להיות -- ברנרד ראסלסמוך ובטוח שאינו דייקן.