27
1 בבבבבבב ב' בבבבבבבב בבבבב3 – בבבבבב, בבבבבבבבבבבבב בבבבבבבב ההההההה

מתמטיקה ב' לכלכלנים

  • Upload
    gazit

  • View
    75

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

מתמטיקה ב' לכלכלנים. שיעור 3 – נג זרות, דיפרנציאבליות וקירובים תיאוריה. נגזרת חלקית. הרעיון:. כאשר הגדרנו נגזרת ניסינו לתאר את מגמת השינוי הרגעית של פונקציה כאשר X מתקדם. במרחב אנחנו יכולים לדבר על התקדמות במספר כיוונים. נגזרת חלקית. לשיפועים האלו אנחנו קוראים "נגזרת כיוונית". - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: מתמטיקה ב' לכלכלנים

1

מתמטיקה ב' לכלכלנים – נגזרות, דיפרנציאבליות 3שיעור

וקירוביםתיאוריה

Page 2: מתמטיקה ב' לכלכלנים

2

נגזרת חלקית

השינוי מגמת את לתאר ניסינו נגזרת הגדרנו כאשרכאשר פונקציה של הרגעית

X . מתקדם

לדבר יכולים אנחנו במרחבבמספר התקדמות על

כיוונים.

הרעיון:

xy

Page 3: מתמטיקה ב' לכלכלנים

3

נגזרת חלקית

." כיוונית " נגזרת קוראים אנחנו האלו לשיפועים

. במסילה תנועה נגדיר כיוונית נגזרת להגדיר כדילהיות צריכה במסילה שהתנועה לב לשים עלינו

.1בקצב

( : היא המסילה (at,btכלומר122כאשר ba

Page 4: מתמטיקה ב' לכלכלנים

4

נגזרת חלקית

: החלקיות הנגזרות הן במיוחד חשובות כיווניות נגזרות

לפי חלקית לפי :xנגזרת החלקית :xהנגזרת המסומנת : להיות: מוגדרת xאו

yxf

),(

),( yxf x

x

yxfyxxf

dx

yxdf

x

yxfx

),(),(lim

),(),(0

לפי חלקית נגזרת נגדיר דומה משתנה yבאופן כל ולפיאחר.

Page 5: מתמטיקה ב' לכלכלנים

5

נגזרת חלקית - דוגמאות

13),( 2 xxyyyxF

xyyeyxF ),(

yxyxF ),(

: הבאות לפונקציות חלקיות נגזרות חשב

13),( yyxFx

xyyxFy 32),(

xyx eyyxF 2),(

xyxyy yxeeyxF ),(

yxyxFx

2

1),(

yxyxFy

2

1),(

Page 6: מתמטיקה ב' לכלכלנים

6

התחלפות הנגזרות החלקיות222),( yxyxF :) שוורץ ) כיוונים משפט בשני החלקיות הנגזרות אם

בנקודה( yו xלמשל) :,רציפותו aקיימות מתקיים אזי

)()( afaf yxxy

בכיוון הכיוונית הנגזרת הכיוונית xכלומר הנגזרת שלבכיוון yבכיוון הכיוונית לנגזרת בדיוק של yשווה

בכיוון הכיוונית .xהנגזרת

שקפים הוכחה: שני עוד

Page 7: מתמטיקה ב' לכלכלנים

7

נגזרת חלקית - דוגמאות

13),( 2 xxyyyxF

xyyeyxF ),(

yxyxF ),(

: מתחלפות הנגזרות כי נראה

13),( yyxFx

xyyxFy 32),(

xyx eyyxF 2),(

xyxyy yxeeyxF ),(

yxyxFx

2

1),(

yxyxFy

2

1),(

),(3),( yxFyxF yxxy

xyxyxy exyyeyxF 22),(

23

4

1),(

yxyxFxy

Page 8: מתמטיקה ב' לכלכלנים

8

התחלפות הנגזרות החלקיות

: הרעיון: נקודות ארבע על נסתכל

),(),,(

),,(),,(

0000

0000

yyxxfyyxf

yxxfyxf

x

yyxfyyxxfyyxf

x

yxfyxxfyxf

x

x

),(),(),(

),(),(),(

000000

000000

yx

yyxfyyxxf

x

yxfyxxf

yxf xy

),(),(),(),(

),(

00000000

00

Page 9: מתמטיקה ב' לכלכלנים

9

התחלפות הנגזרות החלקיות

שני : מצד

),(),,(

),,(),,(

0000

0000

yyxxfyyxf

yxxfyxf

y

yxxfyyxxfyyxf

y

yxfyyxfyxf

y

y

),(),(),(

),(),(),(

000000

000000

xy

yyxfyyxxf

y

yxfyxxf

yxf yx

),(),(),(),(

),(

00000000

00

החלפנו!

Page 10: מתמטיקה ב' לכלכלנים

10

עבור הוכחה: משתנים בשני : a=(x0,y0)נוכיח

של קטנה , y0בסביבה הגבולות שני לכן מוגדרת הנגזרת: שווה הביטוי ולכן קיימים

ונקבל סדר נחליף

התחלפות הנגזרות החלקיות

yx

yxfyxxfx

yyxfyyxxfxx

y

),(),(lim

),(),(lim

lim

0000

0

0000

0

0

),( 00 yxf xy

yx

yxfyxxfyyxfyyxxfxy

),(),(),(),(limlim 00000000

00

yx

yxfyyxfyxxfyyxxfxy

),(),(),(),(limlim 00000000

00

Page 11: מתמטיקה ב' לכלכלנים

11

yx

yxfyyxfyxxfyyxxfxy

),(),(),(),(limlim 00000000

00

xy

yxfyyxfy

yxxfyyxxf

xy

),(),(),(),(

limlim

00000000

00

xy

yxfyyxfy

yxxfyyxxf

yx

),(),(),(),(

limlim

00000000

00

: ורציפים קיימים שהגבולות משום כעת

x

yyxfyyxf

yyxxfyyxxf

yy

x

),(),(lim

),(),(lim

lim

0000

0

0000

0

0

),( 00 yxf yx

Page 12: מתמטיקה ב' לכלכלנים

12

נגזרת כיוונית

כיוון - בכל חלקית נגזרת להגדיר אפשר שהבטחנו כפי

, . a,bיהי )הגדרה: כלומר( יחידה וקטורבכיוון ) הכיוונית הנגזרת את : a,bנגדיר להיות(

122 ba

t

yxfbtyatxf

dt

btatdft

),(),(lim

),(0

Page 13: מתמטיקה ב' לכלכלנים

13

נגזרת כיוונית

),(23המחשה: yxyxf )5.0,6.0( a

08.13)5.0,6.0( )5.0,6.0(2 xf x

12)5.0,6.0( )5.0,6.0( yf y

בכיוון נגזרת וכעת

2,2

tt

23 )2

5.0()2

6.0()(tt

tf

057.02

08.0

2

108.1

2

1

)2

5.0(22

1)2

6.0(32

1)0(0

2

ttt

dt

df

2100

8

אבל:

12

108.1

2

1

2100

8

Page 14: מתמטיקה ב' לכלכלנים

14

נגזרת כיוונית

. למשפט המקרים צירוף את נהפוך

של משפט: בנקודה החלקיות הנגזרות אםו קיימות מתקיים. רציפותהפונקציה אזי

: היא בכיוון הכיוונית שהנגזרת

... בהמשך הוכחה

),( ba

),( 00 yx

),(),( 0000 yxfbyxfa yx

),( yxf

Page 15: מתמטיקה ב' לכלכלנים

15

דיפרנציאביליות וליניאריזציה

כיוון בכל משתנים מרובת פונקציה לקרב למדנובקלות...

הכיוונים בכל אותה לקרב ניתן האם אחת אבל ?בבת: הקודם מהקורס במונח ניזכר

:)' א ) מתמטיקה פונקציה הגדרה של גזירה f(x)דיפרנציאלהוא:

נסמן –

יתקיים גזירה פונקציה לכל אזי

. דיפרנציאבילית – גזירה פונקציה שכל אמרנו ולכן

)()()( 00)( 0xfxxfxDf xx

xx xxDfxxf )()( )(0 0

0)(lim0

xx

Page 16: מתמטיקה ב' לכלכלנים

16

דיפרנציאביליות וליניאריזציה

: משתנים בשני וכעת

את הגדרה: קיימות החלקיות שנגזרותיה לפונקציה נגדיר

השלם (.x0,y0בנקודה )f(x,y)של הדיפרנציאלשל – ליניאריזציה מכונה השלם הדיפרנציאל fלעיתים

),(),(),(),( 000000),( 00yxfyyxfxyxfyxDf xxyx

:הגדרה: המקיימת פונקציה

. דיפרנציאבילית נקראת כאשר

yxyx yxyxDfyyxxf ),(),( ),(00 00

0)(lim,0)(lim00

yy

xx

Page 17: מתמטיקה ב' לכלכלנים

17

משפט הדיפרנציאביליות

בנקודה משפט: החלקיות הנגזרות אםאזי ורציפות קיימות הפונקציה של

. דיפרנציאבילית הפונקציה

),( 00 yx),( yxf

? המשמעות ומהעל 1. בסביבה דיפרנציאבילית פונקציה כל לקרב אפשר

. משיק מישור ידי.2 . למציאות מתקרב הקירוב לנקודה מתקרבים כאשר

. . – ? בהמשך לכך נתייחס פתוחה שאלה עדיין זו כמה עד

כן ועל רבים טכניים מונחים ומערבת קשה ההוכחה . עליה לוותר נאלץ

Page 18: מתמטיקה ב' לכלכלנים

18

דיפרנציאביליות

המחשה:

: ונקבל חלקיות נגזרות נחשב

: " י ע הפונקציה את לקרב ניתן לכן

22)1(),( yxyxf )0,0(),( 00 yx

02)0,0( )0,0( yf y

2)1(2)0,0( )0,0( xf x

)0,0()0()0,0()0()0,0(),(~

yx fyfxfyxf

xyxf 21),(~

Page 19: מתמטיקה ב' לכלכלנים

19

גרדיאנט

כיוון בכל משתנים בשני פונקציה לקרב שלמדנו לאחרלשימוש – מעשי כלי לבנות עלינו מסילה כל ולאורך

. זו ביכולתקיימות הגדרה: החלקיות שנגזרותיה לפונקציה נגדיר

: הגרדיאנט את ),,...,,(),,...,(ורציפות2121 kxxxk fffxxxf

: סקלרית – מכפלה שימושי מונח עוד ונגדיר

לשתי הגדרה: יות –kנגדיר

מכפלה שנכנה הפעולה את מספרים שלשל . סקלרית

),...,,(),,...,( 21211 kk xxxvxxv

i

k

iixxvv

121 ),(

),( 21 vv

Page 20: מתמטיקה ב' לכלכלנים

20

שימושי הגרדיאנט

לפני הגרדיאנט של המיידי השימוש את לראות קל : הכיווניות הנגזרות נוחסאת

),...,,(),,,...,,()),(( 2121 kk aaaxxxfaxf אם: כלומר= – a1,a2,…,ak))aמסקנה כיוון

הנגזרת היא אזבכיוון Aהכיוונית

1... 23

22

21 aaa

... נוספים ושימושים משמעויות לגרדיאנט אך

Page 21: מתמטיקה ב' לכלכלנים

21

משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט

: גיאומטרית מבחינה סקלרית מכפלה היא מה

: הקוסינוסים במשפט ניזכר

: ונקבל הציור לפי נציב

נשווה:

ונקבל:

X

Y

A=(3,4)

B=(6,2)53.13

)2463(226432463 222222

)cos(2222 abbac

cos26432)26()43(2463 2222222222

)2463(22643cos26432)26()43( 222222222222

את נחשבB-Aגודל

שוב חישבנו B-Aאת

. שונה בדרך

)2463(cos2643 2222

Page 22: מתמטיקה ב' לכלכלנים

22

משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט

וקטורים שני של סקלרית מכפלה . ביניהם הזווית קוסינוס כפול אורכיהם מכפלת היא

),(),,( 2211 yxbyxa

.תרגיל: הקודם השקף על בהסתמך המשפט את הוכח

כדי סקלרית מכפלה על הידע את לנצל נוכל כעתלגבי לכת ומרחיקות שימושיות מסקנות להסיק

הגראדיאנט.

Page 23: מתמטיקה ב' לכלכלנים

23

משמעות גיאומטרית של הגרדיאנט

היא כיוון עם הגרדיינט של סקלרית שמכפלה אמרנו. זה בכיוון הכיוונית הנגזרת

סקלרית מכפלה כי גם אמרנואם אז - aאבל כיוון

היא - הכיוונית הנגזרת כלומר לכןלכיוון הגרדיאנט בין הזווית קוסינוס כפול הגרדיאנט אורך

a.

)cos(||||),( baba

),...,,( 21 kaaaa 1... 222

21 kaaaa

)cos(|)(|)),(( xfaxf

:משפט: להיות – מוגדר אשר הגדריאנט כיווןהפונקציה שבו הכיוון הוא

. מכסימלי בקצב עולה

)(

)(,...,)(

)(,)(

)(

)(

)(21

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xf

xfkxxx

Page 24: מתמטיקה ב' לכלכלנים

פונקציות הומוגניות – קסם 24הגראדיאנט

:) אוילר ) :משפט אם ורק אם הומוגנית היא פונקציה

)())(,( xdfxfx

קיים fפונקציה הגדרה: אם הומוגנית כך dנקראתשמתקיים:

כל . aעבור ההומוגניות dחיובי דרגת מכונה.fשל

)()( xfaxaf d

... – ? נבין חודשים כמה עוד טוב זה מה בשביל אבל. תרגול – בינתיים

...(הוכחה: בקרוב ) אחד כיוון בהמשך

Page 25: מתמטיקה ב' לכלכלנים

25

פונקציות הומוגניות

22)( yxxf : דוגמאות קצת

)()()()( 22222 yxaayaxaxf

)2,2()( yxxf

היא ההומוגניות 2דרגת

)(2)(222

))2,2(),,(()),(),((2222 xfyxyx

yxyxyxxf

: אוילר משפט

היא ההומוגניות 2דרגת

Page 26: מתמטיקה ב' לכלכלנים

26

פונקציות הומוגניות

xyyxxf )( : דוגמאות קצת

)()()()()()( 5.1 xyyxaaxayayaxaxf )

2,

2()(

y

xx

x

yyxf

y

xyxy

x

xyyxyxxf

22)),(),((

לב – .aשימו חיובי היא ההומוגניות דרגת

1.5

y

xy

x

xyxyyxyxxf

22)),(),((

)(5.122

)),(),(( xyyxyxxy

xyyxyxxf

: אוילר משפטהיא ההומוגניות דרגת

1.5

Page 27: מתמטיקה ב' לכלכלנים

27

כעת נוכל לחשב את מגמתה של כל פונקציהרב-ממדית!

למרות שהדבר נראה כפרדוקס, כל המדע , כשאדם אומר קירובים נשען על המדויק

שהוא יודע את האמת בדיוק, אתה יכול להיות -- ברנרד ראסלסמוך ובטוח שאינו דייקן.