第 一 篇 数 理 逻 辑

逻辑学（ 逻辑学（ logic ）） 是一门研究思维形式及思维规律的科是一门研究思维形式及思维规律的科学。学。数理逻辑数理逻辑（ mathematical logic) 是用数学的方法来研究人类推理过程的一门数学学科。

数理逻辑数理逻辑又称符号逻辑、现代逻辑。

其显著特征是符号化和形式化，即把逻辑所涉及的“概念、判断、推理”用符号来表示，用公理体系来刻划 , 并基于符号串形式的演算来描述推理过程的一般规律。

第 一 章 命题逻辑

1-1 命题及其表示法1-2 联结词1-3 命题公式与翻译1-4 真值表与等价公式

第一章 命题逻辑

1-5 重言式与蕴涵式1-6 其他联结词1-7 对偶与范式1-8 推理理论

第一章 命题演算及其形式系统 1-1 命题及其表示法

把对确定的对象作出判断的陈述句称作命题命题（ propositions or statements ） 当判断正确或符合客观实际时，称该命题真真（ True ），用“ T” 或“ 1” 表示；否则称该命题假假（ False ），用“ F” 或“ 0” 表示。要点：确定的对象 作出判断 陈述句 （见 P-2 的句子）

通常把不含有逻辑联结词的命题称为原子命题原子命题或原子原子（ atoms ）（自然语言中的单句 ,P-2 的 (1) 、 (2) 、(4) ） 把由原子命题和逻辑联结词共同组成的

命题称为复合命题复合命题（ compositive

propositions or compound statements ）（自然语言中的复句， P-2 的 (9) 、 (10) ）。

命题的符号化（标示符）： 可以用以下两种形式将命题符号化： . 用（带下标的）大写字母； 例如： P：今天下雨。 . 用数字。 例如： [12] ：今天下雨。 上例中的“ P”和“ [12]”称为命题标示符。命题常元命题常元（ proposition constants ） 我们把表示具体命题及表示常命题的 p ， q ，r ， s 等与 f ， t 统称为命题常元命题常元。

命题变元命题变元（ proposition variable ） 是以“真、假”或“ 1 ， 0” 为取值范围的变元，它未指出符号所表示的具体命题，可以代表任意命题 。指派 当命题变元用一个特定命题取代时，该命题变元才能有确定的真值，从而成为一个命题。称对命题变元进行指派

对任意给定的命题变元 p1,…,pn 的一种取值状况，称为指派指派或赋值赋值（ assignments ） ，用字母，等表示

当 A 对取值状况 为真时，称指派弄真弄真 A 或是 A 的成真赋值，记为 (A) = 1 ；反之称指派弄假弄假 A 或是 A 的成假赋值，记为 (A) = 0 。

1-2 联结词否定词“并非”

合取词“并且”析取词“或” 条件词“如果……，那么……” 双条件词“当且仅当”

(1)(1) 否定否定（ negation ） 定义定义 1-2.1 1-2.1 设设 PP 为一命题，为一命题， PP 的的否定是一个新命题，记作“┐否定是一个新命题，记作“┐ P”P” 。若。若 PP 为为 TT ，， ┐ ┐ PP 为为 FF ；若；若 PP 为为 FF ， ┐， ┐ PP 为为 TT 。联结词。联结词“ ┐┐ ”表示自然语言中的“并非”（ not ）。

p ┐p F （ 0 ） T （ 1 ）

T （ 1 ） F （ 0 ）

表 1-2.1 否定词“┐┐”的意义

“ 见假为真，见真为假”┐p 读作“并非 p” 或“非p” 。

（（ 22 ））合取（ conjunction ） 定义定义 1-2.2 1-2.2 两个命题两个命题 PP 和和 QQ 的合取是的合取是一个复合命题，记作一个复合命题，记作 PP∧QQ 。当且仅当。当且仅当 PP 、、 QQ 同同时为时为 TT 时， 时， PP∧Q Q 为为 TT ，其他情况下， ，其他情况下， PP∧QQ的真值都是的真值都是 FF 。。合取联结词 “∧”表示自然语言中的 “并且”（ and ）。 1-2.2 合取词“∧”的意义

p q p ∧q F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

p∧q 读作“ p 并且 q” 或“ p 且 q”

见假为假，全真为真。

（（ 33 ）析取）析取词（ disjunction ） 定义定义 1-2.3 1-2.3 两个命题两个命题 PP 和和 QQ 的析取是的析取是一个复合命题，记作一个复合命题，记作 P P ∨∨ QQ 。当且仅当。当且仅当 PP 、、 QQ 同同时为时为 FF 时， 时， P P ∨∨ Q Q 为为 FF ，其他情况下， ，其他情况下， P P ∨∨ QQ 的真值都是的真值都是 TT 。析。析取联结词 “∨∨ ”表示自然语言中的 “ 或”（ or ）。 表 1-2.3 析取词“∨∨”的意义 p q p ∨q

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

见真为真，全假为假。

p∨q 读作“ p 或者 q” 、“ p 或 q” 。

（（ 44 ）条件）条件词（ implication) 定义定义 1-2.4 1-2.4 给定两个命题给定两个命题 PP 和和 QQ ，其条件命题，其条件命题是一个复合命题，记作是一个复合命题，记作 P →P → QQ 。当且仅当。当且仅当 PP 的真值为的真值为 TT ，，QQ 的真值为的真值为 FF 时， 时， P →P → Q Q 的真值为的真值为 FF ，其他情况下， ，其他情况下， P →P → QQ 的真值都是的真值都是 TT 。条件。条件联结词 “→→ ”表示自然语言中的 “如果…，那么…” （ if…then… ）。

表 1-2.4 条件条件词“ →→ ”的意义 p q p → q

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

T （ 1 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

p→q 中的 p 称为条件前件条件前件， q 称为条件后件条件后件

前真后假为假，其他为真。

（（ 55 ）双条件）双条件 (two-way-implication) 定义定义 1-2.5 1-2.5 给定两个命题给定两个命题 PP 和和 QQ ，其复合命题，其复合命题P P QQ 称作双条件命题。当称作双条件命题。当 PP 和和 QQ 的真值相同时， 的真值相同时， P P Q Q 的真值为的真值为 TT ，否则， ，否则， P P QQ 的真值都是的真值都是 FF 。双条。双条件件联结词 “ ”表示自然语言中的“当且仅当”（ if and only if ）。 1-2.5 双向条件条件词“ ”的意义 p q p q

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

T （ 1 ） F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

pq 读作“ p 与 q 互为条件”，“ p 当且仅当 q” 。

相同为真，相异为假。

定义 1-3.1 以下四条款规定了命题公式命题公式（ proposition formula ） 的意义：

（（ 11 ）单个）单个命题常元或命题变元是命题公式，也称为原子公式或原子。 （（ 22 ））如果 A 是命题公式，那么┐ A 也是命题公式。 （（ 33 ））如果 A ， B 是命题公式，那么（ A∧B ），（ A∨B ），（ A→B ），（ AB ）也是命题公式。 （（ 44 ））只有有限步引用条款（ 1 ）、（ 2 ）、（（ 33 ））所组成的符号串是命题公式。 命题公式命题公式又称为又称为合式公式合式公式 WffWff（（ Well formed formula Well formed formula ）） WffWff 的正例和反例见的正例和反例见 P-10P-10 页。页。

1-3 命题公式与翻译

联结词的优先级联结词的优先级 命题公式外层的括号可以省略； 联结词的优先级：联结词的优先级：┐、∧、∨、→、。 利用加括号的方法可以提高优先级利用加括号的方法可以提高优先级。范例：如下的 WffWff ： P Q→R∧等价于 WffWff ： （（ P Q∧ ）→ R ）等价于 WffWff ： （ P Q∧ ）→ R不等价于 WffWff ： P∧（ Q→R ）

自然语言的语句用 WffWff 形式化主要是以下几个方面： ① 要准确确定原子命题，并将其形式化。

② 要选用恰当的联结词，尤其要善于识别自然语言中的联结词（有时它们被省略），否定词的位置要放准确。 ③ 必要时可以进行改述，即改变原来的叙述方式，但要保证表达意思一致。 ④ 需要的括号不能省略，而可以省略的括号，在需要提高公式可读性时亦可不省略。 ⑤ 要注意语句的形式化未必是唯一的。 自然语言的语句用 WffWff 形式化的例子见的例子见 P-10P-10 页。页。

1-4 真值表与等价公式 定义 1-4.1 （真值表） 在命题公式 WffWff 中，中， 对于公式中分量一切可能的指派组合 , 公式 A 的取值可能用下表来描述，这个表称为真指表真指表（ truth table ） 。 真值表的例子见的例子见 P-13P-13 页表页表 1-4.1 、表、表 1-4.2 、表、表 1-4.3 和 P-14P-14 页表页表 1-4.4 、表表 1-4.5 、表、表 1-4.6 。。

定义 1-4.2 （ 等价公式） 给定两个命题公式 A 和 B ，设 P1 ， P2 ， …， Pn 为所有出现于 A 和 B 中的原子变元，若给 P1 ， P2 ， …， Pn 任一组真值指派， A 和 B 的真值都相同，则称 A 和 B 是等价的或逻辑相等。记作 AB 等价证明方法 1 ：可以用真值表验证两个 WffWff 是否等价，见 P-13 的例题 5 “ 真值表法”。

常用的等价等值式 E1 ┐┐AA 双重否定律 E2 A∨AA 幂等律 E3 A∧AA 幂等律 E4 A∨BB∨A 交换律 E5 A∧BB∧A 交换律 E6 (A∨B)∨CA∨(B∨C) 结合律 E7 (A∧B)∧CA∧(B∧C) 结合律 E8 A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) 分配律 E9 A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) 分配律 E10 ┐(A∨B) ┐A∧┐B 德摩根律 E11 ┐(A∧B) ┐A∨┐B 德摩根律 E12 A∨(A∧B) A 吸收律 E13 A∧(A∨B) A 吸收律

E14 A→B┐A∨B E15 A B (A→B)∧(B→A)E16 A∨ttE17 A∧tAE18 A∨fAE19 A∧ffE20 A∨┐At 排中律E21 A∧┐Af 矛盾律E22 ┐tf, ┐ft 否定律 E23 A∧B→CA→(B→C) E24 A→B ┐B→┐A 逆否律E25 (A→B)∧(A→┐B) ┐A

P-16 例题 6 验证吸收率

1 律0 律

定义 1-4.3 如果 X是 WffWff A 的一部分，且 X本身也是一个 WffWff ，则称 X 为公式 A 的子公式。 定理 1-4.1 （替换原理替换原理 Rule of Replacement ，简记为 RR ）如果 X是 WffWff A 的子公式，若 X Y ，如果将 A 中的 X 用 Y 来置换，所得到的新公式 B 与公式 A 等价，即 A B 。� 等价证明方法 2 ：证明思路： “讨论指派法” �

等价证明方法 3 ：见 P-16 的例题 7“ 等价代换法”。

定义 1-5.1 对命题公式 A ，如果对 A 中命题变元的一切指派均弄真 A ，则 A 称为重言式重言式（ tautology ），又称永真式永真式 . 如果至少有一个指派弄真 A ，则 A 称为可满足式可满足式（ satisfactable formula or contingency ）。

定义 1-5.2 如果对 A 中命题变元的一切指派均弄假 A ，则称 A 为不可满足式不可满足式或矛盾式矛盾式（ contradiction or absurdity ）或永假式永假式 。

1-5 重言式与蕴涵式

定理 1-5.1 任何两个重言式的合取或析取，仍然是一个重言式。� 证明思路：“讨论指派法” A 为 T ， B 为 T ， A 与B 析取（或合取）仍为 T ， � 定理 1-5.2 一个重言式，对同一分量都用任何Wff 置换，其结果仍为一重言式。� 证明思路：“讨论指派法” 真值与分量的指派无关，置换后与仍为 T 。 � 见 P-20 的例题 1 定理 1-5.3 设 A 、 B 是两个 Wff ，一个重言式， AB 当且仅当 A B 为一重言式。�关于“当且仅当”的证明思路：双向证明法，从“ AB” 出发推出“ A B 为一重言式”；再从“ A B为一重言式”出发推出“ AB” 。 �

定义 1-4.2‘ （ 等价公式的另一种定义）当命题公式 AB 为重言式时，称 A 逻辑等价于 B ，记为A B ，它又称为逻辑等价式逻辑等价式（ logically equivalent or equivalent ）。 定义 1-5.3 当命题公式 A→B 为重言式时，称 A逻辑蕴涵 B ，记为 A B ，它又称为逻辑蕴涵逻辑蕴涵式 式 (logically implication) 。 常用的逻辑蕴涵式见逻辑蕴涵式见 p-21p-21 页表页表 1-5.21-5.2

定理 1-5.4 设 P 、 Q 为任意两个命题公式， PQ的充分必要条件是 PQ且 QP 。 � 证明思路： 本定理的结论是“ PQ” 本定理的条件是“ PQ且 QP ” 如果能从条件“ PQ且 QP ” 推出结论“ PQ” ，说明条件是充分的； 如果能从结论“ PQ” 推出条件“ PQ且 QP ” ， 说明条件是必要的。 先证必要性： XXXXXX 再证充分性： XXXXXX �

关于等价式和蕴涵式的性质： （ 1 ） AB当且仅当 AB （ 2） AB当且仅当 A→B （ 3）若AB，则 BA 等价对称性 （ 4）若AB， BC，则 AC 等价传递性 （ 5）若AB，则┐ B┐A 蕴涵逆否性 （ 6）若AB， BC，则 AC 蕴涵传递性 （ 7）若AB， AA‘ ， BB’ ，则 A‘B’ 蕴涵等价代换 （ 8）若AB， CB，则 A∨CB （ 9）若AB， AC，则 AB∧C

设 A 为永真式， p 为 A 中命题变元， A(B/p) 表示将 A 中 p 的所有所有出现全部全部代换为公式 B后所得的命题公式（称为 A 的一个代入实例），那么 A(B/p) 亦为永真式。

◆代入原理代入原理（ Rule of Substitution ），简记为RS

1-6 其它联结词

1-6.1 异或词“∨”的意义 F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ） F （ 0 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

p ∨ q q p

p ∨ q 读作“ p 异或 q”

相同为假，相异为真。

（（ 11 ）不可兼析取（）不可兼析取（异或） 定义定义 1-6.1 1-6.1 两个命题公式两个命题公式 PP 和和 QQ 的不的不可兼析取是一个新命题公式，记作可兼析取是一个新命题公式，记作 P P ∨ QQ 。当且。当且仅当仅当 PP 、、 QQ 真值不同时， 真值不同时， P P ∨ Q Q 为为 TT ，其他情，其他情况下的真值都是况下的真值都是 FF 。。

异或联结词的性质： （ 1 ） PP∨QQPP∨Q Q 交换律交换律（ 2 ）（ PP∨QQ ））∨ R R PP∨（（ QQ∨RR ） ） 结合律结合律（ 3 ） PP∧（ QQ∨RR ））（ PP∧QQ ）∨（（ PP∧RR ））分配律（ 4 ）（ PP∨QQ ））（ P ∧┐ QQ ）∨（ （ ┐ PP Q∧ ））（ 5 ）（ PP∨QQ ）） ┐（ PQQ ）（ 6 ）（ PP P ∨ ）） F ， F P ∨ P ， T P ∨ ┐PP 定理定理 1-6.1 1-6.1 设设 PP 、、 QQ 和和 RR 为命题公式，为命题公式，如果如果 PP∨QQR ，则则 PP R∨ QQ ， QQ R∨ PP ， 且 PP∨QQ R∨为一矛盾式。 证明思路利用性质（证明思路利用性质（ 66 ）。）。

表 1-6.2 异或词“”的意义 F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

p q q p

p q 读作“ p 和 q 的条件否定”

前真后假为真其余为假。

（（ 22 ）条件否定）条件否定 定义定义 1-6.2 1-6.2 设设 PP 和和 QQ 是两个命题公式，是两个命题公式， PP 和和 QQ 的条件否定是一个新命题公式，记作的条件否定是一个新命题公式，记作 P P QQ 。当且仅当。当且仅当 PP 的真值为的真值为 TT ，， QQ 的真值为的真值为 FF时， 时， P P Q Q 为为 TT ，其他情况下的真值都是，其他情况下的真值都是 FF 。。 根据此定义，可知根据此定义，可知 P P Q Q ┐ （ P → QQ ）

（（ 33 ）与非）与非 定义定义 1-6.3 1-6.3 设设 PP 和和 QQ 是两个命题公式，是两个命题公式， PP 和和 QQ 的与非是一个新命题公式，记作的与非是一个新命题公式，记作 PP QQ 。。当且仅当当且仅当 PP 和和 QQ 的真值都为 的真值都为 TT 时， 时， P P Q Q 为为F F ，其他情况下，其他情况下 P P QQ 的真值都是的真值都是 T T 。。 根据此定义，可知根据此定义，可知 P P Q Q ┐ （ P∧QQ ）P P QQ 的的 33 个 性质见个 性质见 P-26P-26 页。页。

T （ 1 ） T （ 1 ） T （ 1 ） F （ 0 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

p q q p 全真为假见假为真。

表 1-6.3 与非词“”的意义

（（ 44 ）或非）或非 定义定义 1-6.4 1-6.4 设设 PP 和和 QQ 是两个命题公式，是两个命题公式， PP 和和 QQ 的或非是一个新命题公式，记作的或非是一个新命题公式，记作 P P QQ 。。当且仅当当且仅当 PP 和和 QQ 的真值都为 的真值都为 F F 时， 时， P P Q Q 为为 T T ，其他情况下，其他情况下 P P QQ 的真值都是的真值都是 F F 。。 根据此定义，可知根据此定义，可知 P P Q Q ┐ （ P ∨ QQ ）P P QQ 的的 33 个 性质见个 性质见 P-26P-26 页。联结词小结见页。联结词小结见 P-27P-27页。页。 表 1-6.4 或非词“”的意义

T （ 1 ） T （ 1 ） T （ 1 ） F （ 0 ）

F （ 0 ） T （ 1 ） F （ 0 ） T （ 1 ）

F （ 0 ） F （ 0 ） T （ 1 ） T （ 1 ）

p q q p 全假为真见真为假。

1-7 对偶与范式 定义 1-7.1 设给定的命题公式 A 仅含联结词 ┐，∧，∨， A* 为将 A 中符号∧，∨， t ， f 分别改换为∨，∧，f ， t 后所得的公式，那么称 A* 为 A 的对偶式对偶式（ dual ）。 显然， 显然， A 也也为 A* 的对偶式。对偶式。 见见 P-29P-29 页例题页例题 11 定理 1-7.1 设公式 A和 A* 中仅含命题变元 p1,…,pn ，及联结词┐，∧，∨；则 ┐A(p1 ， p2 …, pn) A*(┐p1 ， ┐ p2 …, ┐pn) A(┐p1 ， ┐ p2 …, ┐pn) ┐ A*(p1 ， p2 …, pn) � 证明思路：利用德摩根定律 P∨Q ┐ （┐ P∧┐Q） A ┐ A* 推广到p1 ， p2 …, pn �

定理 1-7.2 设公式 A和 B中仅含命题变元 p1,…,pn ，如果 AB，则 A*B* 。

文字文字 (letters) ：指命题常元、变元及它们的否定，前者又称正文字正文字，后者则称负文字负文字。 析取子句析取子句 (disjunctive clauses) ：指文字或若干文字的析取。 合取子句合取子句 (conjunctive clauses) ：指文字或若干文字的合取。 互补文字对互补文字对 (complemental pairs of letters) ：指形如 L ，┐ L （ L 为文字）的一对字符。

定义 1-7.2 命题公式 A‘ 称为公式 A 的合取范合取范式式（ conjunctive normal form ）如果 （（ 11 ）） A' A （（ 22 ）） A‘ 为一析取子句或若干析取子句的合取。 A‘ 形如： A1∧A2∧…∧An (n1) 定义 1-7.3 命题公式 A‘ 称为公式 A 的析取范析取范式式（ disjunctive normal form ），如果

（（ 11 ）） A' A （（ 22 ）） A‘ 为一合取子句或若干合取子句的析取。 A‘ 形如： A1∨A2∨…∨An (n1)

求一个命题公式的合取范式或析取范式的步骤： . 将公式中的联结词化归成仅含∨ 、∧、┐； . 利用德 . 摩根定律将否定符号┐直接内移到各个命题变元之前； . 利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取范式。 见 P-32页例题 5 定义 1-7.4 n 个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须出现且仅出现一次。 一般来说， n个命题变元共有 2n 个小项。 P-32 页表 7-7.1

根据定义可知，没有两个小项是等价的，且每个小项都只对应 P 和 Q 的一组真值指派，使得该小项的真值为 T 。 以上结论可推广到三个以上的变元情况，并且由此可以作出一种编码，使 n 个变元的小项可以很快地写出来。见 P=33页表 1-7.3 。 小项有如下性质： . 每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为 T ，在其余 2n -1 种真值指派情况下均为 F 。 . 任意两个不同小项的合取式永假。 . 全体小项的析取式永为真。 2n -1

mi =m0∨m1 ∨ …∨m 2n -1 T i=0

定义 1-7.5 对于给定的命题公式 A ，如果有一个等价公式 A’ ，它仅由小项的析取所组成，则称 A’ 为A 的主析取范式主析取范式（ major disjunctive normal form ）。 一个公式主析主析取范式可以构成真值表的方法写出。取范式可以构成真值表的方法写出。 定理 1-7.3 在真值表中，一个公式的真值为 T的指派所对应的小项的析取，即为次公式的主析取范式。 利用等价公式推演主析取范式的步骤： . 化归为析取范式。 . 除去析取范式中所有永假的析取式。 . 将析取式中重复出现的合取项和相同的变元合并。 . 对合取项补入没有出现的命题变元，即添加（ P ∨ ┐ P ）式，然后，应用分配律展开公式，再经过整理。

定义 1-7.6 n 个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时出现，但两者必须出现且仅出现一次。 一般来说， n个命题变元共有 2n 个大项。 P-36 页大项的例子。 大项有如下性质： . 每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为 F ，在其余 2n -1 种真值指派情况下均为 T 。 . 任意两个不同大项的析取式永真。 . 全体大项的合取式永为假。 2n -1

Mi =M0∧M1 ∧ …∧M 2n -1 F i=0

定义 1-7.7 对于给定的命题公式 A ，如果有一个等价公式 A’ ，它仅由大项的合取所组成，则称 A’ 为 A 的主合取范式主合取范式（ major conjunctive normal form ）。 一个公式主合主合取范式可以构成真值表的方法写出。取范式可以构成真值表的方法写出。 定理 1-7.4 在真值表中，一个公式的真值为 F的指派所对应的大项的合取，即为次公式的主合取范式。 利用等价公式推演主合取范式的步骤： . 化归为合取范式。 . 除去合取范式中所有永真的合取项。 . 将合取式中重复出现的析取项和相同的变元合并。 . 对析取项补入没有出现的命题变元，即添加（ P ∧┐ P ）式，然后，应用分配律展开公式，再经过整理。

1-8 推理理论 定义 1-8.1 设 A 和 C 是两个命题公式，当且仅当 A→C 为一重言式，即 A C ，称 C 是 A 的有效结论。或C 可由 A 逻辑推出。 序列 H1, H2, …, Hn 和 C 是命题公式，当且仅当 H1∧H2∧…∧Hn C称 C 是一组前提 H1, H2, …, Hn 的有效结论。或 C 可由 H1, H2, …, Hn 逻辑推出。 判别有效结论的过程就是论证过程，论证方法有“真值表法”、“直接证明法”和“间接证明法”。 （ 1 ）真值表法

（ 1）真值表法 设 P1, P2, …, Pn 是出现于前提 H1, H2, …, Hm 和结论 C 中的全部命题变元，假定对 P1, P2, …, Pn 作了全部的真值指派，这样就能对应地确定 H1, H2, …, Hm 和 C的所有真值，列出这个真值表，即可看出 H1∧H2∧…∧Hm C是否成立。 因为若从真值表上找出 H1, H2, …, Hm 真值均为 T 的行，对于每一个这样的行，若 C 也有真值 T ，则上述蕴涵式成立；或者找出 C 的真值为 F 的行，对于每一个这样的行，H1, H2, …, Hm 的真值中至少有一个为 F，则上述蕴涵式也成立。 P-41页例题 1 、例题 2 。

（ 2）直接证明法 直接证明法就是由一组前提，利用一些公认的推理规则，根据已知的等价或蕴涵式，推演得到有效的结论。 P 规则（前提引入）：前提在推导过程中的任何时候都可以引入。 T 规则（结论引用）：在推导中，如果有一个或多个公式重言蕴涵着公式 S （结论），则公式 S 可以引入推导之中。 常用的蕴涵式和等价式见 P-43页表 1-8.3 和表 1-8.4 。 直接证明法例题 1：

（ 3）间接证明法 定义 1-8.2 设P1, P2, …, Pn 是出现于前提 H1, H2, …, Hm 中的全部命题变元，对于 P1, P2, …, Pn 的一些真值指派，如果能使H1∧H2∧…∧Hm 的真值为 T，则称公式 H1, H2, …, Hm 是相容的。如果对于 P1, P2, …, Pn的每一组真值指派，使得H1∧H2∧…∧Hm 的真值均为F，则称公式 H1, H2, …, Hm 是不相容的。 不相容的概念用于命题公式的证明： 设有一组前提 H1, H2, …, Hm ，要推出结论 C ，即要证 H1∧H2∧…∧Hm C ，记作 S C ，即┐ C →┐S为永真，或 C∨ ┐S 为永真，故 ┐ C∧S 为永假。因此要证 H1∧H2∧…∧Hm C ，只要证 H1, H2, …, Hm 与┐C 是不相容的。

间接证明法的另一种情况（ CP 规则） 若要证明H1∧H2∧…∧Hm （ R→C ）。 将 H1∧H2∧…∧Hm 记作 S ， 即要证 S （ R→C ） 或要证 S （ ┐ R∨C ） 故 S→ （┐ R∨C ） 为永真式 因为 S→ （┐ R∨C ） ┐S∨ （┐ R∨C ） （┐ S∨┐R ）∨ C ┐ （ S∧R ）∨ C （ S∧R ）→ C 所以若将 R 作为附加前提，如果有（ S∧R ） C 即证得 S （ R→C ） 。