ПРЕЗЕНТАЦИЯПРЕЗЕНТАЦИЯ НА ТЕМУ НА ТЕМУ

« РАВЕНСТВО « РАВЕНСТВО ТРЕУГОЛЬНИКОВ»ТРЕУГОЛЬНИКОВ»

ЛЕНЬШИНА АЛИНА 9 «А»ЛЕНЬШИНА АЛИНА 9 «А»

- геометрическая фигура, состоит из 3х точек не лежащих на 1ой прямой, и 3х отрезков, попарно соединяющих эти точки.

вершина сторон

а

ABC

BCA

CBA

НАЗВАНИЯ МОЖНО ЛИ СЧИТАТЬ ТРЕУГОЛЬНИКОМ:1) 2)

ТРЕУГОЛЬНИК

ТРЕУГОЛЬНИКИ НАЗЫВАЮТСЯ РАВНЫМИ, ЕСЛИ У НИХ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ СТОРОНЫ РАВНЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ РАВНЫ. ПРИ ЭТОМ СООТВЕТСТВУЮЩИЕ УГЛЫ ДОЛЖНЫ ЛЕЖАТЬ ПРОТИВ СООТВЕТСТВУЮЩИХ СТОРОН

КМО

ABC= ,ТО

АВС КМО

=ВСА МО

К=

САВ ОКМ

=

АВ КМ=ВС МО=СА ОК=

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

(ПРИЗНАК ПО СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ)

ЕСЛИ ДВЕ СТОРОНЫ И УГОЛ МЕЖДУ НИМИ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ДВУМ СТОРОНАМ И УГЛУ МЕЖДУ НИМИ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ

С

А В

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:ДАНО:АВС иА1В1С1

АВ=А1В1

АС=А1С1

LА=LА1

ДОКАЗАТЬ:АВС=А1В1С1

С1

А1 В1

1.

ДОКАЖЕМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ

2.

ПУСТЬ у треугольников АВС и А1В1С1 АВ=А1В1 АС=А1С1 LА= LА1

ПУСТЬ А1В2С2 = АВС, с вершиной В2 на луче А1В1 и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1

=> А1В1=А1В2

АВ=А1В1 (ПО УСЛОВИЮ)

АВ = А1В2 (2) Вершина В2 СОВПАДЕТ С В1

А)

=> LВА1С1= LВ2А1С2 Луч А1С2 совпадет с лучем А1С1

LВАС=LВ1А1С1 (ПО УСЛОВИЮ)

ВАС=LВ2А1С2 (2)

Б)

АС=А1С1 (ПО УСЛОВИЮ)

АС=А1С2 (2)=> LВ1А1С1= LВ2А1С2

Вершина С2 совпадет с С1

В)

ЗНАЧИТ А1В1С1 = АВС.

В2

С2

ИТАК, А1В1С1 СОВПАДАЕТ С А1В2С2

(ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

(ПРИЗНАК ПО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ)

ЕСЛИ СТОРОНА И ПРИЛЕЖАЩИЕ К НЕЙ УГЛЫОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО СТОРОНЕ И ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

ДАНО:АВС иА1В1С1

АB=А1B1

LА=LА1

L B=LB1

ДОКАЗАТЬ:АВС=А1В1С1

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:1. С

А В

С1

А1 В1

ПУСТЬ у треугольников АВС и А1В1С1 АB=А1B1 LА=LА1 LB=LB1ДОКАЖЕМ,ЧТО

ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ2.ПУСТЬ А1В2С2 = АВС, с вершиной В2 на луче А1В1 и вершиной С2 в той же полуплоскости относительно прямой А1В1, где лежит вершина С1

А) т.к.А1В2=А1В1 Вершина В2 СОВПАДЕТ С В1

Б)т.к. LВ1А1С2 =LВ1А1С1

LА1В1С 2 =LА1В1С1Луч А1С2 совпадет с лучем А1С1Луч В1С 2 = совпадет с лучем В1С1

Вершина С2

совпадет с С1

=>ИТАК,А1В1С1 СОВПАДАЕТ С А1В2С2

ЗНАЧИТ А1В1С1 = АВС. (ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

В2

С2

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

(ПРИЗНАК ПО ТРЕМ СТОРОНАМ )

ЕСЛИ ТРИ СТОРОНЫ ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА РАВНЫ СООТВЕТСТВЕННО ТРЕМ СТОРОНАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

ДАНО:АВС иА1В1С1

АB=А1B1

BC=B1C1

CА=C1А1

ДОКАЗАТЬ:АВС=А1В1С1

2.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:1. С

А В

С1

А1 В1ПУСТЬ А1В1С2 = АВС, у которого вершина С2 лежитв той же полуплоскости где и вершина С1

относительно прямой А1В1

ДОПУСТИМ,ЧТО ТРЕУГОЛЬНИКИ НЕ РАВНЫ.ТОГДА LС LС1 LА LА1 LB LB1ИНАЧЕ ОНИ БЫЛИ БЫ РАВНЫ ПО ПЕРВОМУ ПРИЗНАКУ

С2

Но через точку D прямой С1С2 можно провести только одну перпендикулярную ей прямую.

ПУСТЬ D – середина отрезка С1С2.

D

Треугольники А1С1С2 и В1С1С2 равнобедренные с общим основанием С1С2.Поэтому их медианы А1D и В1D являются высотами.

Значит прямые А1D и В1D перпендикулярны прямой С1С2.Прямые А1D и В1D не совпадают, так как точки А1, В1, D не лежат на одной прямой.

Мы пришли к противоречию.(ТЕОРЕМА ДОКАЗАНА)

ПЕРВЫЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1*. В треугольниках ABC и DEF [ABD и MPQ] сторона AB [AD] равна DE [MQ], сторона BC [BD]равна EF [PQ], угол C [D] равен углу F [Q]. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники равны?

2*. В треугольниках KLM и FPQ [ABC и KLM] сторона KL [AB] равна FP [KL], сторона KM [BC] равна FQ [LM], угол K [A] равен углу F [K]. Можно ли на основании первого признака равенства утверждать, что эти треугольники равны?

4. В треугольниках МРК и АОВ сторона МР равна АО, сторона МК равна АВ. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? [Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников – это признак равенства по…» ]

3 . В треугольниках KNO и PQT [ABC и DEF] равные стороны KN [AB] и PQ [DE] и углы K[A] и P [D]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку?

6. Закончите предложение: «Первый признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [ В треугольниках PQR и CST сторона PR равна CT, сторона QR равна ST. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по первому признаку? ]

5. В треугольниках АВС и DEF стороны АВ и ВС [MPQ и KLT стороны MP и PQ] равны соответственно сторонам DE и EF [KL и LT]. Треугольники эти не равны. Что можно сказать об углах В и Е[ P и L]?

7. У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 и углы А и А1. Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании первого признака равенства? [У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны ВС и В1С1 и углы С и С1. Равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании первого признака равенства треугольников? ]

8. Докажите равенство треугольников АВС и СМК [ ВМК ].

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1*. В треугольниках АВС и DEF [ABC и MNQ] сторона AB равна DE [MP], углы A и B равны соответственно углам D и F [M и P]. Равны ли эти треугольники по второму признаку треугольников?2. В треугольниках KMN и PQT [ABC и KLM] сторона NM [AB] и N [A] и M [B] равны соответственно стороне PQ [KL] и углам P [K] и Q[M]. Равны ли эти треугольники по второму признаку?

3. В треугольниках KNM и PQT [ABC и DEF] сторона [углы] KN [A и C] равна [равны] стороне PQ [соответственно углам D и F ]. Угол N = углу Q. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по второму признаку?

4. В треугольниках MQP и LKT [BCD и MPK] углы [сторона] M и Q [CD] равны [равна] соответственно углам [стороне] L и T [PK,угол D= углу K]. Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными по второму признаку?

5. В треугольниках BCD и MPQ [MPQ и KLT] углы B [M] и D [Q] равны соответственно углам M [K] и Q [T] . Треугольники эти не равны. Что от сюда следует в соответствии со вторым признаком треугольников?

6. Закончите предложение: «Второй признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [сколько условий должно выполняться, чтобы треугольники CDE и XYZ оказались равными по определению равных треугольников; сколько – для равенства по первому признаку; сколько - для

равенства по второму признаку?]

7. У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны ВС и В1С1 и углы С и С1. Равенство каких еще сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства? [У треугольников АВС и А1В1С1 равны стороны АС и А1С1 и углы А и А1. равенство каких сторон или углов надо установить, чтобы сделать вывод о равенстве треугольников на основании второго признака равенства треугольников?]

8. Сколько условий должно выполниться, чтобы треугольники АВС и MPQ оказались равными по определению равных треугольников; сколько – для равенства по первому признаку; сколько - для равенства

по второму признаку? [Закончите предложение: «Второй признак равенства

треугольников – это признак равенства по…»]

9. Докажите равенство треугольников

АВС и СМК [ ВМК ].

10. Можно ли воспользоваться для установления равенства треугольников одним из известных вам признаков?

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1. Стороны одного треугольника равны 30см, 40см и 0,5м, а другого – 30см, 40см и 5дм.Равны ли эти треугольники? [ В треугольнике АВС стороны 20см, 30см и 0,4дм, а в треугольнике ЕМК стороны равны 20см, 30см и 0,4м. Равны ли эти треугольники?]

2. В треугольниках ВОС и МАЕ равны стороны ВО и МА, ОС и АЕ.[В треугольниках АСМ и ВЕК стороны АС и СМ равны соответственно сторонам ВЕ и ЕК.]

Обязательно ли эти треугольники равны?

3. Сколько равных пар сторон надо найти, доказывая равенство двух треугольников:

А) по определениюБ) по первому признакуВ) по второму признакуГ) по третьему признаку

[ Закончите предложение: «третий признак равенства треугольников – это признак равенства по …».] 4. В треугольниках АВС и PОT [МКE] стороны АВ и ВC равны соответственно сторонам РО и ОТ [MK и KE].

Какое еще условие должно быть выполнено, чтобы эти треугольники оказались равными

по третьему признаку?

5. Закончите предложение: «Третий признак равенства треугольников – это признак равенства по…» [сколько пар равных углов надо найти, доказывая равенство двух треугольников:А) по первому признакуБ) по второму признакуВ) по третьему признаку?

6. В неравных треугольниках АВС и МЕК стороны АВ и ВС равны соответственно сторонам МЕ и ЕК. Может ли сторона АС быть равной стороне МК?[Стороны треугольника ВСМ равны 6см, 8см и 10см, а две стороны треугольника КОА равны 10см и 6см.

Что можно сказать о третей стороне этого треугольника, если известно, что

треугольники не равны? ]

7. Докажите равенство треугольников АВС и АСМ [ АМК и АВК ].

8. Докажите равенство треугольников АВС и АМК [ ЕСМ и КСМ ].

9. Докажите равенство треугольников СОВ и СМО [ОМА и ОРС].

Равенство треугольников.

Медиана, высота и биссектриса

треугольника.

Вариант 1Вариант 2

Равенство треугольников. Медиана, высота и

биссектриса треугольника.Вариант 1

1. Известно ,что BD – медиана ABC,DE = DB и что AB = 5,8 см, BC = 7,4 см, AC = 9 см. Найдите CE. а) 3,7 см; б) 5,8 см; в) 7,4 см; г) 4,5 см;

2.OM и ON – высоты AOB и COD,причем OM = ON. Найдите CD, если AO = 6,5 см,AM = 4,2 см и DN = 5,6 см.

а) 2,3 см; б) 12,1 см;

в) 10 см; г) 9,8 см.

Какое из высказываний верное?3. Дано: MPC = DAB, MP = 12 см, CP = 8 см, LA = 730

а) DB = 8см, АВ = 12 см; б) LM = 730 АВ = 8 см; в) AD = 12см, LP = 730 г) AB = 12 см, LP = 730

4. АВС = А1В1С1. Периметр АВС =39 см. Сторона А1В1 А1В1С1 в 1,5 раза меньше стороны В1С1, а А1С1 на 3 см меньше стороны А1В1. Найдите большую сторону АВС.

а) 15 см; б) 16 см; в) 18 см; г) 19 см.

5. В треугольник МРК и BDE проведены две биссектрисы РС и DN; треугольник МРС равен треугольнику BDN. Найдите отрезок NE, если МК =8см, а BN < NE на 2,4 см.

а) 2,8 см; б) 5,2 см; в) 5,6 см; г) 2,6см.

6. прямая АВ разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек А и В в разные полуплоскости проведены равные отрезки AD и BC, причем угол BAD равен углу ABC. Какие из высказываний верные: 1) CAD = BDA; 3) BAD = BAC;2) LDBA = LCAB; 4) ADB = BCA?

а) 2;4; б) 2;3;4; в) 1;4; г) 1;2;3;4.

7. Сколько пар равных треугольников на рисунке? а) 1; б) 2; в) 3; г) 4.

8. На какое наибольшее число равных треугольников может

разделить прямоугольник ломаная, состоящая из трех

звеньев? а) 2; б) 3; в) 4; г) 6.

Равенство треугольников.

Медиана, высота и биссектриса

треугольника.

Вариант 1Вариант 2

Вариант 2

1. Известно ,что AO – медиана ABC,AO =OK и что AB =6,3см, BC=6,5см, AC=6,7см.Найдите CK. а) 6,4см;

б) 6,7см;

в) 6,5см; г) 6,3см;

2. OH и ON – высоты углов треугольников MOK и EOF, причем OH = ON. Найдите длину отрезка MK, если EN = 7,8 см, OE = 8,6 см и HM = 6,3 см. а) 13,9 см;б) 14,1 см;в) 14,9 см;г) 16,4 см.

3. Дано: ABC = DEF, LB=730,BC = 6,9 см, DF = 7,6 см, Какое из высказываний верное?а) DE = 6,9 см, АC = 7,6 см;б) E = 730 АC = 7,6 см; в) DF = 6,9см, E = 730; г) AC = 7,6 см, D = 730

4. Треугольник СDE равен треугольнику C1D1E1. Периметр треугольника СDE равен 76 см. Сторона C1D1 в 2,5 раза меньше стороны D1E1, а C1E1 на 8 см меньше стороны D1E1. Найдите большую сторону треугольника СDE.

а) 30 см; б) 28 см; в) 35 см; г) 28 см.

5. В треугольник ABC и KPM проведены две биссектрисы BO и PE; треугольник ABO равен треугольнику KPE. Найдите отрезок EM, если AC = 9 см, а EM < KE на 3,8 см.

а) 6,4 см; б) 5,4 см; в) 2,6 см; г) 4,8 см.

6. прямая MK разбивает плоскость на две полуплоскости. Из точек M и K в разные полуплоскости проведены равные отрезки MA и KB, причем угол AMK равен углу BKM. Какие из высказываний верные:

1) AMB = AKB; 3) MKA = KMB;

2) LAKM = LBMK; 4) LAMB = LKBM? а) 1; 3; 4; б) 1;2;4; в) 1;3; г) 2;3;

7. Сколько пар равных треугольников на рисунке?а) 2; б) 6; в) 8; г) 4.

8. На какое наибольшее число равных треугольников может разделить прямоугольник ломаная, состоящая из трех звеньев? а) 2; б) 4; в) 3; г) 6.

Задание 1 2 3 4 5 6 7 8

ВариантI Б Г B В Б А Г ВII Г Б Б В А Г В Б

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2И

ВАРИАНТ 3 ВАРИАНТ 4И

1. Докажите равенство треугольниковВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

2. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ

ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2И

ВАРИАНТ 3 ВАРИАНТ 4И

ВАРИАНТ 3

1. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисунке

ВАРИАНТ 4

2. Докажите равенство треугольников, изображенных на рисункеВАРИАНТ 3 ВАРИАНТ 4