23
Стаханова П.А. шк № 32 Иж евск Метод масс «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем». Архимед. Послание к Эратосфену «О механических теоремах»

Метод масс

  • Upload
    morty

  • View
    83

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Метод масс. «…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность находить некоторые математические теоремы. Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для доказательства самих теорем». Архимед. - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Метод масс

Стаханова П.А. шк № 32 Ижевск

Метод масс«…Я счел нужным написать тебе и… изложить особый метод, при помощи которого ты получишь возможность

находить некоторые математические теоремы. Я уверен,

что этот метод будет тебе ничуть не менее полезен и для

доказательства самих теорем». Архимед.

Послание к Эратосфену «О механических теоремах»

Page 2: Метод масс

• АРХИМЕД (около 287-212 до н.э.) - древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики.

• Архимед получил образование у своего отца, астронома и математика Фидия. В юности провел несколько лет в крупнейшем культурном центре того времени Александрии Египетской. Затем до конца жизни жил в Сиракузах.

• Во время Второй Пунической войны (218-201), Архимед участвовал в обороне города, строил метательные орудия. Военные изобретения ученого в течение двух лет помогали сдерживать осаду Сиракуз римлянами.

• Архимеду приписывается сожжение римского флота направленными через систему вогнутых зеркал солнечными лучами, но это недостоверные сведения. Гений Архимеда вызывал восхищение даже у римлян. Марцелл приказал сохранить ученому жизнь, но при взятии Сиракуз Архимед был убит.

Архимед

Page 3: Метод масс

Открытия Архимеда• В физике Архимед ввел понятие центра тяжести,

установил научные принципы статики и гидростатики, дал образцы применения математических методов в физических исследованиях.

• Основные положения статики сформулированы в сочинении «О равновесии плоских фигур». Архимед рассматривает сложение параллельных сил, определяет понятие центра тяжести для различных фигур, дает вывод закона рычага.

• Знаменитый закон гидростатики, вошедший в науку с его именем (смотри Архимеда закон), сформулирован в трактате «О плавающих телах». Существует предание, что идея этого закона посетила Архимеда, когда он принимал ванну; с возгласом «Эврика!» он выскочил из ванны и нагим побежал записывать пришедшую к нему научную истину.

Page 4: Метод масс

• Во время осады Сиракуз Архимед построил множество удивительных приспособлений, из которых можно выделить два самых эффективных. Первое — это «Лапа Архимеда», уникальная подъемная машина и прообраз современного крана. Внешне она была похожа на рычаг, выступающий за городскую стену и оснащенный противовесом. Если римский корабль пытался пристать к берегу около Сиракуз, этот «манипулятор» захватывал его нос и переворачивал. (вес римских трирем превышал 200 тонн, а у пентер мог достигать и всех 500), затапливая атакующих.

Первый «сюрприз» Архимеда

Page 5: Метод масс

Второй «сюрприз» Архимеда

• Но еще удивительнее был второй «сюрприз» — лучевое оружие. Римский флот встал на якорь неподалеку от города. По легенде, Архимед сконструировал большое зеркало,, при помощи которого «сконцентрировал» солнечный свет на флоте противника и спалил его дотла.

Подготовка зеркал, «выстрел», дым, огонь, дыра между досками

Page 6: Метод масс

• Архимед проверяет и создает Архимед проверяет и создает теорию пяти механизмов, теорию пяти механизмов, известных в его время и известных в его время и именуемых "простые именуемых "простые механизмы". Это - механизмы". Это - рычагрычаг ("Дайте ("Дайте мне точку опоры, - говорил мне точку опоры, - говорил Архимед, - и я сдвину Землю"), Архимед, - и я сдвину Землю"), клин, блок, бесконечный винт и клин, блок, бесконечный винт и лебедка. Изобретение лебедка. Изобретение бесконечного винта привело его бесконечного винта привело его к изобретению болта, к изобретению болта, сконструированного из винта и сконструированного из винта и гайки.гайки.

Page 7: Метод масс

МАТЕРИАЛЬНАЯ точка - точка, имеющая массу. В механике понятием материальная точкапользуются в случаях, когда размеры и форма тела при изучении его движения не играют роли, а важна только масса.

5A

3D

3D

Выражение «mА» означает: точка А массой m

Page 8: Метод масс

ЦЕНТР МАСС

Page 9: Метод масс

Подскажите псу куда нужно ему пересесть, чтобы качелиПришли в равновесие?

Page 10: Метод масс
Page 11: Метод масс

1.Любая конечная система материальных точек имеет единственный центр масс.

2. Система, состоящая из двух материальных точек имеет центр масс, принадлежащий отрезку, соединяющему эти точки причем его положение определяется правилом рычага:

m1d1=m2d2

m1 m2d1 d2

Page 12: Метод масс

3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальныхТочек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, тоОт этого положение центра масс всей системы не изменится.

Page 13: Метод масс

Задача Архимеда• Медианы треугольника пересекаются в

одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

А1В

А

С1

С

В1

о

Page 14: Метод масс

А1В

А

С1

С

В1

о

1

11

В1В1 2

2х х

О

В

о

А1

С1

В1

1

11

А1А1 2

2х х

О

Page 15: Метод масс

А

В

N

C

M

О

х2х

у Найти ВО:ОМ и АО:ON

2

1

5

Решение.

Введем систему материальных точек 2А,5В,1С

С центром масс в точке О.

Задача 1

Page 16: Метод масс

А

В

N

C

M

О

х2х

уНайти ВО: ОМ и АО:ON

2

1

5

1) 1C;5В;2А – система материальных точек с центром масс в точке О

2) 2A+1C=3M; 5В,3М – сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А – сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Задача 1

Page 17: Метод масс

А

В

N

C

M

О

2х5х

уНайти какую часть площади АВССоставляет площадь СМОN

5

2

14

Решение.

Введем систему материальных точек 5А,14В,2СС центром масс в точке О.

Задача 2

Page 18: Метод масс

А

В

N

C

M

О

2х5х

у

5

2

14

1) 2C;5A;14B – система материальных точек с центром масс в точке О

2) 5A+2C=7M; 14В,7М – сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:23) 14В+2C=16N; 16N, 5А – сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1

4) SCMON= SSSSSSS ABNBONMBC 168

115

24

23

7

5

8

1

21

5

7

5

21

5

7

5ÀÂÑ

2

Page 19: Метод масс

А

В

С

L

O

ÀÂÑАВ=39,ВС=42; АС=45;Дано:

BK и СL биссектрисы

0Ê ÑLB

Найти SОKC.

Задача 3

K

Page 20: Метод масс

А

В

С

L

O

2. BK и СL биссектрисы

Задача 3

K

39

45

42

По свойству биссектрис

14

13

42

39

ÑÊ

ÀÊ

ÂÑ

ÀÂ

14

15

42

45

BL

ÀL

ÂÑ

ÀÑ

1. По формуле Герона находим

SABC=756

))()((

cpbpapp

Page 21: Метод масс

А

В

С

L

O

Задача 3

K

13x

14x

15y

14y

14

13

153. 13C;14A;15B – система материальных точек с центром масс в точке О

По правилу рычага ВО:ОK=27:15=9:5

14A+13C=27К; 15В,27К – сист. Мат. точек с ц.м. в т.О

Page 22: Метод масс

А

В

С

L

O

Задача 3

K

13х

14х

9t

5t

14х

14084927

5

27

527

14

14

5

14

5ÂÊÑKOC

ABC

ABC

S

SSS

Ответ : SKOC=140

4.

Page 23: Метод масс

1. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=2:3, а АМ: МС=2:1.

Найти ВО:ОМ и АО:ON, где О – точка пересечения чевиан.

2. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=4:3, а АМ: МС=2:3. Найти какую часть площади АВС

составляет площадь СМОN.

3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC=1:2.

Медиана СЕ пересекает отрезок АВ в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника АЕF?

ДОМАШНЯЯ РАБОТА