Задачи по геометрии

(курс планиметрии)

Гимн математикеГимн математике Уравнения решать, радикалы вычислять –

Интересная у алгебры задача!

Интегралы добывать,

Дробь делить и умножать Постараешься - придет к тебе удача! Геометрия нужна, но она ведь так сложна! То фигура, то тела - не разберешься.

Аксиомы там нужны, Теоремы так важны, Их учи - и результата ты добьешься! Все науки хороши Для развития души. Их и сами все вы знаете, конечно, Для развития ума математика нужна,

Это было, это будет, это вечно.

№1Задача

Стороны треугольника

27 см и 29 см. медиана, проведенная к третьей стороне равна 26 см.

Найдите площадь данного треугольника.

В Дано: АВС, АВ= 27 см;

29 ВС=29 см;

27 АО=ОС,

ВО=26 см.

Найти: SABC

Решение. Продолжим медиану ВО на её длину, ВО=ОМ=26 см

получим параллелограмм АВСМ.

А О С

26

В

А О С

М

ABC = ABO+ BOC; ABM = ABO+ AOМ;

=27•5•2=270

AOM= BOC (по двум сторонам и углу между ними)

SABM=

SAВМ=270 CM2

ответ: SAВМ=270 CM2

А

В

С

М

27

29

52О

Задача №2

В треугольнике АВС С=900, медианы СМ и АN взаимно перпендикулярны. Определите косинус угла В.

Дано: АВС- прямоугольный,

АN, СМ- медианы,

ANCM

Найти: cos B.

Решение.

Соединим точки M и N, MN- средняя линия

MNBC.

А

С

В

М

NО

, пусть МВ= х, тогда МС= х

(свойство медианы прямоугольного треугольника).

MCN; СON- прямоугольные,

.

, ,

, BN=CN,

Ответ:

Задача №3

Основания трапеции равны 4 и 16.

Найдите радиусы окружностей,

вписанной в трапецию и

описанной около неё, если

известно, что эти окружности

существуют.

Дано: АВСD – трапеция,

B C ВС= 4, АD =16.

Найти: r, R.

A E K D

Решение.

Описать окружность около трапеции можно только при условии, что трапеция является

равнобедренной т.е. АВ=СD и выполняется равенство AB + CD = BC + AD.

В трапеции ABCD ВЕ и СК высоты. По условию ВС= 4, АD = 16. тогда

Из чертежа видно, что ВЕ=2r =8, откуда радиус вписанной окружности r = 4.

Найдем площадь S треугольника ABD:

По формуле радиуса окружности, описанной около треугольника ABD:

ответ: r = 4;

Радиус окружности, описанной около треугольника ABD, и есть радиус окружности, описанной около трапеции ABCD.

B C

A E K D

Задача №4

В параллелограмме угол между высотами

равен . Найдите высоты и площадь параллелограмма, если его стороны

равны b и c.

b Дано: ABCD- параллелограмм

BKCD; BEAE;

c EBK=; BC=b; AB=c.

Найти: ВК, ВЕ, S ABCD

Решение.

Сумма внутренних углов четырехугольника BKDE

равна 360 0. Следовательно, 3600 = 900 +900 ++ЕDK,

откуда ЕDK = 1800 – , т.е. ADC = 1800 – .

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелогра-

ма, равна 1800 , т.е. BAD + ADC = 1800 , откуда

B C

AE D

K

BAD = 1800 –(1800 –) = .

Следовательно, и BCD = . Из прямоугольного треугольника АВЕ находим:

, Из прямоугольного треугольника ВСК находим ВК:

, .

Площадь параллелограмма

.

Ответ:

Задача №5

В прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до одного из катетов равно 5 см, а расстояние от середины этого катета до гипотенузы равно 4 см. Bычислите площадь треугольника.

Дано: АВС, С=900, АК=КВ,

СM=MВ, КMСВ, MNAB,

КM=5см,

MN=4см.

Найти: SABC .

Решение.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KMN. По условию: КМ=5 см, MN= 4см, по теореме Пифагора находим KN= 3см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KMB, MN высота, проведенная из вершины прямого угла и является средним пропорциональным для отрезков,

А

С В

К

М

N

на которые делится гипотенуза этой высотой,

т.е. KN2 = KN•NB, NB= x, 42= 3•x , ,

АВ = . . КМ =5 см, средняя линия треугольника АВС, значит АВ =10

см. по теореме Пифагора

ВС2 = , ВС= .

Площадь треугольника АВС:

, .

ответ: .

Задача №6

Составьте уравнение прямой, которая проходит через точки А(-1; 1) и В(1; 0) и постройте её график.

у

х

Решение.

Любая прямая в декартовых координатах х, у

имеет уравнение вида

ax+by+c=0 ,

где a и b не могут быть одновременно равны нулю. Точки А и В лежат на прямой, а значит, их координаты удовлетворяют этому уравнению. Подставляя в уравнение координаты точек А и В последовательно, получим систему :

. выразим из этих уравнений a и b через с, получим

a= – c, b= –2c .

Подставим эти значения в уравнение прямой и получим –cx –2cy + c = 0. После сокращения на с ≠ 0 получим уравнение

–x – 2y+1 = 0.

Это уравнение и есть уравнение прямой, проходящей через заданные точки А и В.

Построение графика

х 0 1

у 0,5 0

х

у

0 1

-х- 2у +1 = 0

Домашнее задание.

Задача.

В равнобокой трапеции большее основание равно 3,7; а боковая сторона равна 1,5 угол между ними равен 600 . Найдите среднюю линию трапеции.