江苏高考试题探究

江苏省启东中学黄群力

一 . 填空题• 1 ． 已 知 集 合 U=R ， 集 合 M= ， 集 合

N= ，则 ▲ . • 2. 若 ，其中 a 、 b R∈ ， i 是虚数单位，则

= ▲ ． • 3 ．某国际体操比赛，我国将派 5 名正式运

动员和 3 名替补运动员参加 , 最终将有 3人上场比赛 , 其中甲、乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是 ▲ 。

• 4. 函数的单调减区间是 ▲ ． 3,+ • 5 ．采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32

人做问卷调查 , 为此将他们随机编号为 1,2, 960 , 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的 号码为 9. 抽到的 32 人中 , 编号落入区间 的人做问卷 A , 编号落入区间 的人做问卷 B , 其余的人做问卷 C . 则抽到的人中 , 做问卷 B 的人数为 __▲__. 10

•6 ．执行如图所示的程序框图，若输出的 b的值为 31 ，则图中判断框内①处应填的整数为 ▲ ． 4

• 7 ．已知三棱锥 的所有顶点都在球 的球面上 , 是边长为 的正三角形 ,SC 为球 的直径 , 且 ; 则此棱锥的体积为 ▲ 8 ．函数 , . 若曲线 与曲线 在 它 们 的 交 点 处 具 有 公 共 切 线 , 则 c 的 值 是__ ___▲ ． 4

• 9 ．已知 ，且 ，则 的值为 ____▲____ ．• 10 ．设数列满足 =2, 若表示不超过 x 的最大

整数，则 = ▲ . 2011

• 11 ．已知 A ， B ， P 是双曲线 上不同的三点，且 A ， B 连线经过坐标原点，若直线 PA ， PB

的斜率乘积 ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．

• 12 ．已知函数 y=f(x) 满足 f(3x)=3f(x) ，当 x时 ,f(x)=1 那么 x 时 , 函数 y=f(x) 的图像与 x轴所围成的图形面积 ▲ . 91

• 13. 在等腰三角形 ABC 中，点 D,E,F 分别在AB,BC,CA 上 , 且 AD=DB=EF=1,AC=BC= 则的取值范围为 ▲ 。

• 14. 设 ,b 是正实数，函数 , ．若存在 ，•使成立，则 的取值范围为 ．

[e,7)

15 题 三角函数与平面向量• 纵观近几年高考数学试题，对三角函数的考查内

容稳定，难度稳定，题型稳定，注重创新。通常由同角三角函数的关系、诱导公式、两角和与两角差公式、三角函数的图像和性质、正弦定理、余弦定理，及向量的数量积交汇命题，主要题型 有：化简、求值与证明，求函数解析式及通过解析式分析函数性质，解三角形，重点考查三角公式的灵活运用、变换能力、变换技巧与数据运算能力，考查正弦函数、余弦函数、正切函数和函数的图像与性质，以及应用数学知识分析和解决问题的能力。

• 15 ．如图所示 , 已知 的终边所在直线上的一点 P 的坐标为 (-3,4), 的终边在第一象限且与单位圆的交点 Q 的纵坐标为 . ⑴ 求 的值； ⑵若 , , 求

• 解：⑴由三角函数的定义知

∴ .又由三角函数线知 ,∵ 为第一象限角 , , .∴ ∴

• ⑵∵ , , .∴又 , , . ∴

∴ .由 , , 得 ,

∴ .

16 题 立体几何• 从近几年的高考情况来看，对立体几何的

考查一般为中档题，通常是将复杂的空间图形转化为基本的空间图形，将空间问题转化为平面几何问题来解决。主要题型为判断线线、线面、面面的位置关系，着重研究它们之间的平行与垂直关系，通常以多面体为载体，解这类问题时要注意“看未知想判定，看已知想性质”。

• 16 ．在直三棱柱中 AC=4,CB=2, AA1=2 ， E 、 F 分别是的中点（ 1）证明：平面平面 ；（ 2）证明： 平面 ABE ；（ 3）设 P 是 BE 的中点，

求三棱锥 的体积．

解答：（ 1 ）证 明 ： 在 ， ∵ AC=2 ， BC=4, ∴AB=2 ，∴ ，∴ 由已知， ∴ 面

又∵ 平面

•（ 2）证明：取 AC 的中点 M ，连结 在 , FM//AB ，而，∴直线 FM// 平面 ABE 。在矩形中， E 、 M 都是中点，∴ 而 ，∴直线 又∵ ∴ 故 （或解：取 AB 的中点 G ，连结 FG ， EG ，证明 EG ，从而得证）

• 3）取 的中点 H ，连结 EH ，则 EH//AB 且 ，由（ 1） 面 ，∴ EH 面 ，

∵P 是 BE 的中点， ∴

17 题 应用题• 应用题主要考查学生运用数学知识、思想和方法解决实际

问题的能力，在高考中是必考点，难度以中档题为主，其所依托的模型主要有函数、导数、不等式模型，三角函数模型，数列模型和解析几何模型。

• （ 1）函数、导数、不等式模型：实际工农业生产、建设及实际生活中的“优选”、“控制”等问题，常建立函数、导数、不等式模型，转化为求最（极）值的问题。

• （ 2）三角函数模型：所研究的问题具有周期性或在几何图形中求边和角，如物理中的简谐振动、测量、航海等，常建立三角函数模型。

17 题 应用题• （ 3）数列模型：涉及规律变化的问题，

如增长率、银行信贷、浓度匹配、圆钢堆垒等问题，常建立等差、等比或递推数列进行研究。

• （ 4）解析几何模型：实际问题 中几何图形的特征与圆锥曲线或圆有关，以圆锥曲线的定义、性质为背景的实际应用问题，如搭桥、定位问题等，常建立解析几何模型。

• 17 ．某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品

•率 P 与日产量 X（万件）之间大体满足关系：• P= （其中 为小于 6 的正常数） （注：次品率 =次品数 /生产量，如 P 表示每生产 10件产品，有 1件为次品，其余为合格品）已知每生产 1万件合格的仪器可以盈利 2万元，但每生产 1万件次品将亏损 1万元，故厂方希望定出合适的日产量 .（ 1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额 T（万元）表示为日产量 （万件）的函数；（ 2）当日产量为多少时，可获得最大利润？

• 解答：（ 1）当 时， P= ， 当 时， ， 综上，日盈利额 T（万元）与日产量 （万件）的函数关系为： T=

（ 2）由（ 1）知，当 时，每天的盈利额为 0 当 时， T 15-12=3, 当且仅当 时取等号

所以 (i) 当 时， ，此时 (ii) 当 时，由 知函数 T 在 上递增， ，此时 .综上，若 ，则当日产量为 3万件时，可获得最大利润

若 ，则当日产量为 万件时，可获得最大利润。

18 题 解析几何• 解析几何包括两部分知识：直线与圆和圆锥曲线，是高中

数学的核心内容之一，出现在解答题时，通常是有一定难度的综合题，综合了代数、三角、几何、向量等知识，综合考查数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等能力，主要考查类型有（ 1）求曲线方程，如求直线的方程、圆锥曲线的标准方程及轨迹方程；（ 2）几何性质的求解和运用，如求离心率，根据几何性质找到解题所需的代数或几何关系；（ 3）位置关系的研究，如直线与圆的位置关系；（ 4）定点、定值问题，如直线过定点，圆过定点；（ 5）最值、范围问题，如参数的取值范围，长度或面积的最值。解题时要把曲线的几何特征准确地转换为代数形式，注意挖掘题目中的隐含条件，找到量与量之间的关联。

• 18 ．已知椭圆 C ： ＋ ＝ 1（ a＞ b＞ 0）的左焦点为 F1（－ 3， 0），过点 F1作一条直线 l交椭圆于 A， B两点，点 A关于坐标原点 O的对称点为 A1，两直线 AB， A1B 的斜率之积为－．

（ 1）求椭圆 C的方程； （ 2）已知 D（ m， 0）为 F1右侧的一点，连AD， BD分别交椭圆左准线于M， N两点，若以MN为直径的圆恰好过点 F1，求 m的值．

• 解答：（ 1）设 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，则 A1(－ x1 ，－y1) ．所以， ＝， ＝ ，于是 · ＝，由得 ＝ 0 ，所以 · ＝．所以， ＝，所以＝．设 b＝ 4k， a＝ 5k，其中 k＞ 0．由c＝ 3，得 25k2－ 16k2＝ 9，所以 k＝ 1

• 所以，椭圆 C：＋ ＝ 1．

•（ 2 ）① 若 l 存 在 斜 率 k 时 ， 设 l ： y ＝ k(x ＋3) ， A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ，由消去 y ，得 (16 ＋ 25k2)x2＋ 150k2x ＋ 225 k2－400＝ 0 ．所以 ．设 , ，由 M 、 A 、 D 共线，得 ，同理

•又 , ， , 由已知得 ＝ 0 ，得 =,即 =整理得 ，所以 m＝ ±5 ，因为 m＞－ 3 ，所以 m＝ 5 ．经检验当斜率不存在时也适合所以 m＝ 5 ．

19 题 数列数列，在高考中承载着对数学抽象概括能力，运算能力、建模能力、类比与化归能力等多种数学能力的考查。历届高考中，数列题多属于中、高档难度，既注重基本能力考查，又注重探究创新能力的考查。在解答题的考查中，若出现于解答题的前几题，往往考查等差、等比数列的求通项、求和问题或运用累加、累乘法的简单递推数列的求通项、求和问题，主要考查学生运算能力；若出现于最后一两题，大多以数列为载体，综合运用函数、方程、不等式等知识，通过运用函数与方程、归纳与猜想、化归与转化、分类与整合等各种数学思想方法，考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力和数学探索创新的能力。

• 19 ．设 为关于 n 的 次多项式．数列 的首项 ,前 n

项和为 ．对于任意的正整数 n ， + = 都成立．

• ( I ) 若 ，求证：数列 是等比数列；

• ( II) 试确定所有的自然数 ，使得数列 能成等差数列．

• 解答（ 1）若 k=0 ，则 即 为常数，不妨设 = c （ c 为常数） . + = 恒成立，所以

• 2 ① 2 ②• ① ②得

•若 an=0 ，则 ，…， a1=0 ，与已知矛盾，

所以．• 故数列 {an} 是首项为 1 ，公比为 的等比数列．

•（ 2） (i) 若 k=0 ，由（ 1）知，不符题意，舍去． • (ii) 若 k=1 ，设 （ b ， c 为常数），

• 当 时 , ③ • ④• ③－④得 ⑤• 2⑥

•设数列 {an} 是公差为 d（ d 为常数）的等差数列

•⑤而 a1=1 ，故 {an}只能是常数•数列，通项公式为 an =1 ，•故当 k=1 时，数列 {an} 能成等差数列，其通项公式为 an

=1 ，• , 此时 ．

•(iii) 若 k=2 ，设 （ ， a ， b ， c是常数），

• 当 时 , ⑤ • ⑥

•⑤－⑥得 ⑦，•2 ⑧•⑦⑧得

考虑到 a1=1 ，所以 = ．•故当 k=2 时，数列 {an} 能成等差数列，其通项公式为•= ，•此时 （ a 为非零常数）．

• (iv) 当 时，若数列 {an} 能成等差数列 , + 的表达式中 n 的最高次数为 2 ，故数列 {an} 不能成等差数列．

• 综上得，当且仅当 k=1或 2 时，数列 {an} 能成等差数列．

20 题 函数与导数• 函数的观点和方法既贯穿了高中代数的全过程，又是学习

高等数学的基础，在高考数学中极为重要，纵观全国及各自主命题省市近三年的高考试题，函数与导数的分值始终占整卷的 40% 以上。高考对函数的考查主要在以下几个方面：（ 1）函数的定义及函数的三要素（定义域、值域、对应法则）；（ 2）基本初等函数的定义、图像和性质；（ 3）函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性等。高考对导数的考查主要以工具的方式进行命题，充分与函数相结合，其主要特点：（ 1）考查利用导数研究函数性质；（ 2）考查原函数与导函数的关系；（ 3）考查导数与函数相结合的实际应用题。

函数与导数• 在高考复习时要注意以下几点 : （ 1）讨论函数性质时，必须坚持定义域优先的原则；（ 2）运用函数的性质解题时，注意数形结合，以形助数；（ 3）对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论，要分析清楚引起讨论的原因，以合理确定分类的标准；（ 4）函数与导数的综合问题往往以压轴题的形式出现，解决这类问题要综合运用所学的思想方法来分析问题、解决问题，及时地进行思维转换，将问题等价转换，要利用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题。

• 20 ．已知函数 f(x)＝ x3＋ x2－ ax(a∈R) ．（ 1）当 a＝ 0 时，求与直线 x－ y－ 10＝ 0 平行，且与曲线 y＝ f (x)相切的直线的方程； （ 2）求函

数 g(x) ＝ alnx (x＞ 1)的单调递增区间；（ 3）如

果存在 a∈[3 ， 9] ，使函数 h(x) ＝ f(x) ＋ f(x)

(x∈[－ 3， b])在 x＝－ 3处取得最大值，试求 b

的最大值．

•解：（ 1）设切点为 T(x0 ， x03＋ x0

2) ，由f(x)＝ 3x2＋ 2x 及题意•得 3 x0

2＋ 2 x0＝ 1 ．

•解得 x0＝－ 1，或 x0＝．•所以 T(－ 1， 0)或 T(， )．

• 所以切线方程为 x－ y＋ 1＝ 0• 或 27x－ 27y－ 5＝ 0．

•（ 2）因为 g(x)＝ x2＋ x－ a－ alnx(x＞ 1) ，• 所以由 g(x)＝ 2x＋ 1－＞ 0 ，得 2x2＋ x－ a＞ 0 ． • 令 φ(x)＝ 2x2＋ x－ a(x＞ 1) ，因为 φ(x) 在 (1 ，＋∞ )递增，所以 φ(x)＞ φ(1)＝ 3－ a ．

• 当 3－ a≥0即 a≤3 时， g(x) 的增区间为 (1 ，＋∞ ) ； • 当 3－ a＜ 0即 a＞ 3 时，因为 φ(1)＝ 3－ a＜ 0 ，所以

φ(x) 的一个零点小于 1 、另一个零点大于 1 ．• 由 φ(x)＝ 0 得零点 x1＝＜ 1 ， x2＝ ＞ 1 ，• 从而 φ(x)＞ 0(x＞ 1) 的解集为 ( ，＋∞ ) ，• 即 g(x) 的增区间为 ( ，＋∞ ) ．

•（ 3）方法一： h(x)＝ x3＋ 4x2＋ (2－ a)x－ a ，h′(x)＝ 3x2＋ 8x＋ (2－ a) ．

• 因为存在 a∈[3 ， 9] ，令 h′(x)＝ 0 ，得 x1＝，• x2＝ 当 x＜ x1或 x＞ x2 时， h′(x)＞ 0 ；当 x1＜ x＜

x2 时， h′(x)＜ 0 ．• 所以要使 h(x)(x∈[－ 3 ， b]) 在 x＝－ 3 处取得最大

值，• 必有解得 a≥5 ，即 a∈[5 ， 9] ．

• 所以存在 a∈[5 ， 9] • 使 h(x)(x∈[－ 3 ， b]) 在 x＝－ 3 处取得最大值的充

要条件• 充要条件为 h(－ 3)≥h(b) ，• 即存在 a∈[5 ， 9] 使 (b ＋ 3)a － (b3＋ 4b2＋ 2b －

3)≥0 成立．• 因为 b＋ 3＞ 0 ，所以 9(b＋ 3)－ (b3＋ 4b2＋ 2b－

3)≥0 ，即 (b＋ 3)( b2＋ b－ 10)≤0.• 解得≤ b≤ ，所以 b 的最大值为 .

• 方法二： h(x)＝ x3＋ 4x2＋ (2－ a)x－ a ，• 据题意知， h(x)≤h(－ 3) 在区间 [－ 3 ， b] 上恒成立．• 即 (x3＋ 27)＋ 4(x2－ 9)＋ (2－ a)(x＋ 3)≤0 ， (x＋ 3)(x2＋ x－ 1－ a)≤0 ① ．

• 若 x＝－ 3 时，不等式①成立；• 若－ 3＜ xb 时，不等式①可化为 x2＋ x－ 1－ a≤0 ，• 即 x2＋ x≤1＋ a ② ．• 令 ψ(x)＝ x2＋ x ．

• 当－ 3＜ b≤2 时， ψ(x) 在区间 [－ 3 ， b] 上的最大值为ψ(－ 3)＝ 6 ，• 不等式②恒成立等价于 6≤1＋ a ， a≥5 ，符合题意；

•当 b≥2 时， ψ(x) 的最大值为 ψ(b)＝ b2＋ b ，不等式②恒成立等价于 b2＋ b≤1＋ a ．

• 由题意知这个关于 a 的不等式在区间 [3 ， 9] 上有解．

• 故 b2＋ b≤(1 ＋ a)max ，即 b2＋ b≤10 ， b2＋ b －10≤0 ，

• 解得 2＜ b≤ ．• 综上所述， b 的最大值为，此时唯有 a＝ 9符合题意．

•