ОБЫКНОВЕННЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ

УРАВНЕНИЯ.

Задача Коши.

(продолжение)

Многошаговые методы

• Многошаговые методы -основаны на том, что для вычисления значения yi+1 используются результаты не одного, а k предыдущих шагов, т. е. значения yi-k+1, yi-k+2, …, yi .

• Многошаговые методы могут быть построены следующим образом.

• Запишем исходное уравнение

в виде

( , ) (1)Y f x Y

( ) ( , ) (2)dY x f x Y dx

• Проинтегрируем обе части этого уравнения по х на отрезке

• Интеграл от левой части легко вычисляется:

1[ , ]i ix x

1

1 1( ) ( ) ( ) (3)i

i

x

i i i ix

dY x Y x Y x y y

• Для вычисления интеграла от правой части уравнения (2) строится сначала интерполяционный многочлен Pk-i степени k -1 для аппроксимации функции на отрезке по значениям( , )f x Y

1 1 2 2( , ), ( , ),..., ( , ).i k i k i k i k i if x y f x y f x y

1[ , ]i ix x

• Таким образом,

1 1

1( , ) ( ) . (4)i i

i i

x x

k

x x

f x Y dx P x dx

• Приравнивая выражения, полученные в (3) и (4), можно получить формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi+1 в узле xi+1:

1

1 1( ) .i

i

x

i i k

x

y y P x dx

• На основе предыдущей формулы можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности.

• Порядок точности зависит от степени интерполяционного многочлена Pk-i(x), для построения которого используются значения сеточной функции yi, yi-1 , …, yi-k+1, вычисленные на k предыдущих шагах.

• Методы Адамса.• 1. метод Адамса, имеющий четвертый порядок

точности и использующий на каждом шаге результаты предыдущих четырех.

• Пусть найдены значения в четырех последовательных узлах (k = 4).

• При этом имеются также вычисленные ранее значения правой части где

3 2 1, , ,i i i iy y y y

3 2 1, , , ,i i i if f f f

( , )l l lf f x y

• В качестве интерполяционного многочлена Рз(х) можно взять многочлен Ньютона.

• В случае постоянного шага h конечные разности для правой части в узле имеют вид ix

1

21 2

31 2 3

,

2 ,

3 3 .

i i i

i i i i

i i i i i

f f f

f f f f

f f f f f

• Тогда разностную схему четвертого порядка метода Адамса можно записать после необходимых преобразований в виде

2 3 42 3

15 3

.2 12 8i i i i i ih h h

y y hf f f f

• Сравнивая метод Адамса с методом Рунге-Кутта той же точности, можно отметить его экономичность, поскольку он требует вычисления лишь одного значения правой части на каждом шаге (в методе Рунге-Кутта — четырех).

• Но метод Адамса неудобен тем, что невозможно начать счет по одному лишь известному значению у0.

• Расчет может быть начат только с узла хз, а не x0.

• Значения у1 , у2 ,у3 нужно получить каким-либо другим способом, что существенно усложняет алгоритм.

• Кроме того, метод Адамса не позволяет (без усложнения формул) изменить шаг h в процессе счета.

• 2. Метод прогноза и коррекции. • Суть метода:

• На каждом шаге вводятся два этапа, использующих многошаговые методы:

• с помощью явного метода по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное приближение в новом узле;

• используя неявный метод, в результате итераций находятся приближения

(0)1 1i iy y

(1) (2)1 1, ,....i iy y

• разностные соотношения для k-ого шага метода Адамса имеют вид:

' ' ' '1 1 2 3 4(55 59 37 9 ),

24предk k k k k k

hy y y y y y

' ' ' '1 1 1 2 3(9( ) 19 5 ),

24кор предk k k k k k

hy y y y y y

'( ) ( , ).пред предk k ky f x y

• Точность вычислений оценивается по формуле:

1( ) .

4кор кор предk k k ky y x y y

• Метод Милна.

• Для предсказания используем первую формулу Милна

' ' '4 3 2 1

4(2 2 ),

3предk k k k k

hy y y y y

• Уточнение(коррекция) производится по второй формуле Милна

' ' '2 2 1( 4 ( ) ).

3кор предk k k k k

hy y y y y

'( ) ( , ).пред предk k ky f x y

• Для оценки точности вычислений используется формула:

1( ) .

29кор кор предk k k ky y x y y