Теорема Пифагора и способы её доказательства

ВыполнилМамонов Владиславученик 9«А» классаСОШ №6

Основные задачи

• Рассмотреть биографию Пифагора

• Познакомиться с его школой

• Собрать исторические сведения о теореме

• Исследовать различные способы доказательства теоремы Пифагора

• Рассмотреть исторические и практические задачи на применение теоремы Пифагора

Пифагор Самосский(ок. 580- ок. 500г. до

н.э.)

Пифагор и его школа

Пифагор родился около 580 г. до н.э. на греческом острове Самосе. Получил хорошее образование. В Греции он организовал свою школу, которая действовала почти 30 лет, её раньше называли пифагорейским союзом. Пифагор не оставил после себя собраний сочинений, он держал всё в тайне и передавал ученикам устно. Самое большее, что известно сейчас – это теорема Пифагора.

История теоремы Пифагора

Исторический обзор начинается с древнего Китая. Египтяне строили прямые углы при помощи таких треугольников, используя натягивание верёвки.В древнем Вавилоне в 2000 г. до н.э. проводили приближённое вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Теорема Пифагора обнаружена в папирусе времён фараона Аменемхета и вавилонских клинописных табличкахVII-V в. до н.э. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы, но оно не сохранилось.

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Это простота - красота - значимость

Способы доказательства теоремы Пифагора

• Через подобие треугольников

• Метод площадей

• Доказательство Евклида

• Доказательство Вальдхейма

• Векторное доказательство

• Доказательство методом разложения

• Доказательство Гофмана

Доказательство ЕвклидаДано: Δ ABC - прямоугольный

Доказать: S ABFH + S ACKG = S BCED.

Доказательство:

AO- высота, опущенная на гипотенузу.

Докажем, что её продолжение делит построенный на гипотенузе квадрат на два прямоугольника, площади которых равны площадям соответствующих

квадратов, построенных на катетах.

Докажем, что прямоугольник BOLD равновелик квадрату ABFH.

Δ ABD=ΔBFC (по двум сторонам и углу между ними BF=AB; BC=BD; угол FBC = углу ABD).

S Δ ABD=1/2 S прямоугольника BOLD, т.к. у ΔABD и прямоугольника BOLD общее основание BD и общая высота LD. АНАЛОГИЧНО, S ΔFBC=1/2 S прямоугольника ABFH (BF-общее основание, AB-общая высота). Отсюда, учитывая, что S Δ ABD = S ΔFBC, имеем: S BOLD=S ABFH.АНАЛОГИЧНО, используя равенство Δ BCK и Δ ACE, доказывается,что S OCEL= S ACKG.S ABFH + S ACKG = S BOLD + S OCEL = S BCED.

O

Доказательство методом площадей

Дано: abc – прямоугольный треугольникДоказать: c2 = a2 + b2

Доказательство:Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата.Что и требовалось доказать

Доказательство методом разложения

Доказательство Эпштейна Доказательство Нильсена

Построим ΔABC с прямым углом С.

Доказательство Гофмана

A

BC

a

b

c

F

D

E

Построим Построим BF=CB, BFBF=CB, BFCBCB

ПостроимПостроим BE=AB, BE BE=AB, BEABAB

Построим Построим AD=AC, ADAD=AC, ADACACПостроим Построим AD=AC, ADAD=AC, ADACAC

ТочкиТочки F, C, D F, C, D принадлежат одной принадлежат одной прямой.прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ΔABF= ΔЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики.Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них ΔABC, получим:

1/2а2+1/2b 2=1/2с 2

Соответственно:а2+ b 2 =с 2

Доказательство Вальдхейма

Дано: прямоугольный треугольник с катетами a и b, гипотенузой - cДоказать: a²+b²=c²Доказательство:Выразим площадь трапеции двумя путями.Sтрапеции = (a+b)²/2Sтрапеции = ab + c²/2При равнивая правые части получим:a²+b²=c²Теорема доказана.

Векторное доказательство

Дано: АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С, построенный

на векторах СВ и СА

Доказать: c² = a² + b²

Доказательство: Справедливо векторное равенство:

b + c = a, откуда имеем c = a – b,

возводя обе части в квадрат, получим

c² = a² + b² - 2a b

Так как СВ перпендикулярно СА, то a b = 0, откуда

c² = a² + b² или c² = a² + b²

Исторические задачи

Задача индийского математика 12 века Бхаскары:«На берегу реки рос тополь одинокийВдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямойС течением реки его ствол составлял.Запомни теперь, что в этом месте река В четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки.Осталось три фута всего от ствола,Прошу тебя, скоро теперь мне скажи:У тополя как велика высота?»Решение: пусть СD – высота тополя,DC=CB + BD, по теореме Пифагора имеем АС² + СВ² = АВ²,3² + 4² = 25, АВ = 5 футов. CD = 3+5 = 8(футов)Ответ: 8 футов.

Древнеиндийская задача

Над озером тихим

С полфута размером

Он рос одиноко. И ветер порывом

Отнес его в сторону. Нет

Боле цветка над водой.

Нашёл же рыбак его ранней весной

В двух футах от места, где рос.

Итак, предложу я вопрос:

Как озера вода здесь глубока?

Какова глубина в современных единицах длины? Решение:

Выполним чертёж к задаче и обозначим глубину озера DС =Х, тогда

BD = AD = Х + 0,5 .

Из треугольника DCB по теореме Пифагора имеем CD² = DB² – CB².

(Х + 0,5 )² – Х² = 2² , Х² + Х² + 0,25 – Х² = 4,

Х = 3,75.

Таким образом, глубина озера составляет 3,75 фута.

3, 75 • 0,3 = 1,125 (м) 

Ответ: 3,75 фута или 1, 125 м.

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ

• Строительство

• Астрономия

• Мобильная связь

Мобильная связьКакую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)Решение: Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.OB=OA+ABOB=r + x. Используя теорему Пифагора, получим ответ: 2,3 км.

Строительство

• Окна

• Крыши

• Молниеотводы

МолниеотводИзвестно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.Решение: По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.

ОкнаВ зданиях готического и романского стиля верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равны•ширине окна (b) для наружных дуг •половине ширины, (b/2) для внутренних дуг •Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию между •этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно,•радиус равен b/4. А тогда становится ясным и• положение ее центра.

В романской архитектуре часто встречается мотив, представленный на рисунке. Если b по-прежнему обозначает ширину окна, то радиусы полуокружностей будут равны R = b / 2 и r = b / 4. Радиус p внутренней окружности можно вычислить из прямоугольного треугольника, изображенного на рис. пунктиром. Гипотенуза этого треугольника, проходящая через точку касания окружностей, равна b/4+p, один катет равен b/4, а другой b/2-p. По теореме Пифагора имеем: (b/4+p) ²=( b/4) ²+( b/2-p) ²или b²/16+ bp/2+p²=b²/16+b²/4-bp+p²,откуда bp/2=b²/4-bp.Разделив на b и приводя подобные члены, получим: (3/2)p=b/4, p=b/6.

АстрономияНа этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча

от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?

Строительство крышиПри строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.Решение:Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:     А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,     Б) Из треугольника ABF:     

Подведём итогиДоказательств теоремы Пифагора очень много и они открываются до сих пор, так что, может вы найдете ещё доказательства

Здесь показано на сколько больше доказательств стало в наше время

0

5

10

15

20

25

30

35

сегодняраньше

Суть истины вся в том, что она – навечно,

Когда хоть раз в прозрении её увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна…

А. Шамиссо

Спасибо за внимание