Теорема Пифагора – история, Теорема Пифагора – история, доказательства, применениедоказательства, применение

«Геометрия владеет двумя сокровищами:

одно из них – это теорема Пифагора»

Иоганн Кеплер

ПИФАГОР САМОССКИЙПИФАГОР САМОССКИЙ

ок. 570 - 500 гг до н.э.ок. 570 - 500 гг до н.э.

Родина Пифагора – остров СамосРодина Пифагора – остров Самос

Отец Пифагора - Мнесарх - резчик по Отец Пифагора - Мнесарх - резчик по драгоценным камням. драгоценным камням. Мнесарх Мнесарх «славился среди мастеров своим «славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство».скорее славу, чем богатство».

Мать Пифагора – Мать Пифагора – Парфениса – после Парфениса – после

рождения сына рождения сына принимает по древней принимает по древней

традиции имя Пифиада, традиции имя Пифиада, в честь Аполлона в честь Аполлона

Пифийского, а сына Пифийского, а сына нарекает Пифагором, то нарекает Пифагором, то

есть предсказанным есть предсказанным Пифией –Пифией –

дельфийской дельфийской прорицательницей.прорицательницей.

По античным свидетельствам, родившийся По античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил свои незаурядные способности.проявил свои незаурядные способности.

У своего первого учителя Гермодамаса У своего первого учителя Гермодамаса Пифагор получает знания основ музыки и Пифагор получает знания основ музыки и живописи. Именно в музыке он нашел живописи. Именно в музыке он нашел доказательство своему знаменитому тезису доказательство своему знаменитому тезису «Все есть число».«Все есть число».

20-летним юношей 20-летним юношей Пифагор отправляется в Пифагор отправляется в Египет. Но попасть туда Египет. Но попасть туда было трудно. И пока он было трудно. И пока он живет на острове Лесбос, живет на острове Лесбос, знакомится с философом знакомится с философом Ферекидом и учится у него Ферекидом и учится у него медицине, астрологии, медицине, астрологии, предсказанию затмений, предсказанию затмений, тайнам чисел.тайнам чисел.

С Лесбоса его путь сначала лежит в С Лесбоса его путь сначала лежит в Милет – к знаменитому ФАЛЕСУ, Милет – к знаменитому ФАЛЕСУ, основателю первой в истории основателю первой в истории философской школы. Здесь Пифагор философской школы. Здесь Пифагор приобретает много важных знаний. приобретает много важных знаний.

И вот, наконец, Пифагор в Египте. И вот, наконец, Пифагор в Египте. Сначала он учится в школе писцов. Сначала он учится в школе писцов. Дальнейшее образование получает у Дальнейшее образование получает у египетских жрецов. И чтобы проникнуть египетских жрецов. И чтобы проникнуть в «святая святых» - египетские храмы –в «святая святых» - египетские храмы –принимает посвящение в сан жреца. принимает посвящение в сан жреца.

У жрецов он У жрецов он заимствовал всякого заимствовал всякого

рода мистики, рода мистики, пристрастие к пристрастие к таинствам, к таинствам, к

священнодействиям, священнодействиям, к магии чисел и т.д.к магии чисел и т.д.

По окончании обучения у жрецов По окончании обучения у жрецов Пифагор волею судеб оказался Пифагор волею судеб оказался втянутым в военные действия втянутым в военные действия между персами и египтянами. между персами и египтянами. Пифагор попадает в плен.Пифагор попадает в плен.

Даже находясь в плену, Пифагор не Даже находясь в плену, Пифагор не переставал учиться. Он встречался с переставал учиться. Он встречался с персидскими магами, приобщился к персидскими магами, приобщился к восточной астрологии и мистике, восточной астрологии и мистике, познакомился с учением халдейских познакомился с учением халдейских мудрецов (астрономия, астрология, мудрецов (астрономия, астрология, медицина, арифметика). медицина, арифметика).

Через несколько лет Через несколько лет ему удалось бежать ему удалось бежать из плена. Он решает из плена. Он решает вернуться на родину, вернуться на родину, чтобы приобщить к чтобы приобщить к знаниям свой народ.знаниям свой народ.

Однако в Греции произошли изменения. Однако в Греции произошли изменения. Лучшие умы, спасаясь от персидского Лучшие умы, спасаясь от персидского ига, перебрались в Южную Италию и ига, перебрались в Южную Италию и основали города – колонии: Сиракузы, основали города – колонии: Сиракузы, Агригент, Кротон.Агригент, Кротон.

В Кротоне и обосновался Пифагор. В Кротоне и обосновался Пифагор. Жители Кротона единодушно избирают Жители Кротона единодушно избирают мудрого старца цензором нравов, мудрого старца цензором нравов, своеобразным духовным отцом города. своеобразным духовным отцом города.

Пифагор и его последователи - Пифагор и его последователи - пифагорейцы – образовали тайный пифагорейцы – образовали тайный союз. Они узнавали друг друга по союз. Они узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – звездчатому пятиугольнику – пентаграмме.пентаграмме.

Определяющий тезис системы учения Определяющий тезис системы учения Пифагора – убеждение в Пифагора – убеждение в

НЕРАСТОРЖИМОЙ СВЯЗИ ПРИРОДЫ, НЕРАСТОРЖИМОЙ СВЯЗИ ПРИРОДЫ, ЧЕЛОВЕКА и КОСМОСА и в ЧЕЛОВЕКА и КОСМОСА и в

РАВЕНСТВЕ ВСЕХ ЛЮДЕЙ ПЕРЕД РАВЕНСТВЕ ВСЕХ ЛЮДЕЙ ПЕРЕД ЛИЦОМ ВЕЧНОСТИ И ПРИРОДЫ.ЛИЦОМ ВЕЧНОСТИ И ПРИРОДЫ.

«ЗОЛОТЫЕ СТИХИ» ПИФАГОРА«ЗОЛОТЫЕ СТИХИ» ПИФАГОРА

В них Пифагор выразил нравственные В них Пифагор выразил нравственные правила, строгое исполнение которых правила, строгое исполнение которых приводит души заблудших к приводит души заблудших к совершенству. совершенству.

Вот некоторые из них: Вот некоторые из них:

Не делай никогда того, чего ты не знаешь, Не делай никогда того, чего ты не знаешь, но научись всему, что следует знать, и но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную тогда ты будешь вести спокойную жизнь.жизнь.

Переноси кротко жребий, каков он есть, и Переноси кротко жребий, каков он есть, и не ропщи на него.не ропщи на него.

Приучайся жить без роскоши.Приучайся жить без роскоши.

В школе Пифагора глубоко почитают В школе Пифагора глубоко почитают математику и философию. математику и философию.

«ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО» - кредо философии «ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО» - кредо философии Пифагора. А математика становится Пифагора. А математика становится

орудием познания мира.орудием познания мира.

Без преувеличения можно сказать, что это самая известная теорема геометрии, ибо о

ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее

способна лишь очень незначительная его часть.

Теорема Пифагора!

«В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов

катетов».

Формулировки теоремы Пифагора различны. Общепринятой считается следующая:

     

Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:

«Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах».

aa22 + b + b22 = c = c22

Доказательства, основанные на использовании понятия равновеликости фигур.

Аддитивные доказательства (основаны на разложении квадратов, построенных на катетах, на фигуры, из которых можно сложить квадрат, построенный на гипотенузе).

Доказательства методом достроения.

Алгебраический метод доказательства.

И т.д.

Не подлежит, однако, сомнению, что эту теорему знали за много лет до Пифагора. Так, за 1500 лет до Пифагора древние египтяне знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством (т. е. теоремой, обратной теореме Пифагора) для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий.

Да и поныне сельские строители и плотники, закладывая фундамент избы, изготовляя ее детали, вычерчивают этот треугольник, чтобы получить прямой угол.

Это же самое проделывалосьтысячи лет назад пристроительстве великолепныххрамов в Египте, Вавилоне, Китае, вероятно, и в Мексике.

Как свидетельствуют летописи, в ДревнемКитае уже около 2200 года до н.э. для

треугольника со сторонами 3, 4, 5 былонайдено правило «гоу-гу», с помощьюкоторого можно было по известным

гипотенузе и одному из катетов находитьдругой неизвестный катет, а также

гипотенузу, если известны оба катета.

В самом древнем индийскомгеометрическом сборнике

«Сульвасутра» («Правила веревки», 600 год до н.э.), представляющем

собой своеобразную инструкцию посооружению алтарей в храмах,

даются правила построения прямыхуглов при помощи веревки с узлами, расстояния между которыми равны

15, 36 и 39 падас (мера длины). Алтари по священному

предписанию должны иметьстрогую геометрическую форму, ориентированную относительно

четырех сторон горизонта.

4

3

5

Самое простое Самое простое доказательстводоказательство

Рассмотрим квадрат, Рассмотрим квадрат, показанный на рисунке.показанный на рисунке.Сторона квадрата равна Сторона квадрата равна a + ca + c. .

c

a

В одном случае (слева) В одном случае (слева) квадрат разбит на квадрат квадрат разбит на квадрат со стороной со стороной bb и четыре и четыре прямоугольных прямоугольных треугольника с катетами треугольника с катетами aa и и cc..

ac

ac

В другом случае (справа) В другом случае (справа) квадрат разбит на два квадрат разбит на два квадрата со сторонами квадрата со сторонами aa и и cc и четыре прямоугольных и четыре прямоугольных треугольника с катетами треугольника с катетами aa и и cc..

a

c

Таким образом, получаем, что Таким образом, получаем, что площадь квадрата со стороной площадь квадрата со стороной b b равна сумме площадей квадратов со равна сумме площадей квадратов со сторонами сторонами aa и и cc..

Вот так представлена теорема Пифагора в учебнике.

Достроим треугольник до квадрата

со стороной a+b так, как показано на рисунке.

a

b c

a

a

a

a

c c

cc

b

b

b

b

a

b

a

a

a

b

b

b

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Обозначим площадь квадрата S.

Достроим прямоугольный треугольник до квадрата.

2)( baS

с

1

2

11

12

2

2

M

N

P

K

Квадрат состоит из четырехугольника MNPK и четырех равных треугольников.

.4 SSS MNPK

Треугольники равны по двум катетам.

А так как (сумма острых углов прямоугольного треугольника), то MNPK – квадрат.

o9021

Гипотенузы треугольников равны, поэтому MNPK – ромб.

Тогда его площадь равна с2.

2с

Площадь каждого треугольника равна . 2

ab

Поэтому .22 abcS Или .22,2)( 22222 abcbabaabcba

Откуда .222 bac

Большая часть доказательств теоремы Пифагора выполнена геометрическими методами, среди которых значительное место занимает метод разложения. Сущность метода разложения заключается в том, что квадрат, построенный на гипотенузе, с одной стороны, и квадраты, построенные на катетах, с другой, складываются из равных частей. Простейший пример применения этого метода имеем при доказательстве теоремы Пифагора для равнобедренного прямоугольного треугольника (см. рис.). Из этого рисунка все так понятно, что комментировать его не требуется.

Среди многочисленных доказательств теоремы Пифагора методом разложения есть такие, что их с полным правом можно назвать шедеврами, настолько они красивы и просты до гениальности. Как писал в подобных случаях индийский математик XII века Бхаскара: «Смотри!»

cc

aa

bb--aabb

aaaa

bbcc

Алгебраический способ доказательства теоремы. Доказательство Бхаскара (Доказательство Бхаскара (XII XII в.в.))

Доказательство с помощью Доказательство с помощью подобия треугольниковподобия треугольников

c

b

c

aAbBabac

22'' coscos

СН – высота из вершины прямого угла треугольника на гипотенузу. a' и b' проекции катетов a и b на гипотенузу =>

a' = a cos B, a = c cos B,b' = b cos A, b = c cos A =>

=>

222 baс

Из подобия треугольников ACD и CAB следует:

ADABAC

AD

AC

AC

AB

2

Из подобия треугольников ABC и DCB следует:

BDABBCBD

BC

BC

AB 2;

Сложив почленно равенства, получим:

222

22

ABBCAC

BDADABBCAC

)(

Доказательство, основанное на теории подобия

Доказательство ГарфилдаДоказательство Гарфилда

Три прямоугольных треугольника Три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно площадь этой фигуры можно находить по формуле площади находить по формуле площади прямоугольной трапеции,прямоугольной трапеции, либо как либо как сумму площадей трех сумму площадей трех треугольников.В первом случае треугольников.В первом случае эта площадь равна эта площадь равна

0,5(а+в)(а+в0,5(а+в)(а+в)),,

во втором во втором ав+0,5сав+0,5с²²..

Приравнивая эти выражения, Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора. получаем теорему Пифагора.

Построим Построим треугольник треугольник ABCABC с с прямым углом С.прямым углом С.

Доказательство ГофманаДоказательство Гофмана

A

BC

a

b

c

F

D

E

Построим Построим BF=CB, BF=CB, BFBFCBCBПостроимПостроим BE=AB, BE=AB, BEBEABABПостроим Построим AD=AC, AD=AC, ADADACACТочкиТочки F, C, D F, C, D принадлежат одной принадлежат одной прямой.прямой.

E

Что и требовалось доказать!Что и требовалось доказать!

Как мы видим, Как мы видим, четырёхугольники четырёхугольники ADFBADFB ии ACBE ACBE равновелики, т.к. равновелики, т.к. ABF=ABF=ЕЕCBCB. Треугольники . Треугольники ADF ADF и и ACEACE равновелики. равновелики.Отнимем от обоих Отнимем от обоих равновеликих равновеликих четырёхугольников четырёхугольников общий для них общий для них треугольник треугольник ABCABC, , получим:получим:1/2а1/2а22+1/2+1/2bb 2 2=1=1//22с с 22

Соответственно:Соответственно:аа22+ + bb 2 2 ==с с 22

A

BC

D

F

E

a

b

c

Доказательство с помощью Доказательство с помощью вектороввекторов

ДоказательствоДоказательство

ТемпельгофаТемпельгофа

Доказательство ХоукинсaДоказательство Хоукинсa

Теорема не теряет Теорема не теряет смысла, если смысла, если квадраты заменить квадраты заменить любыми другими любыми другими правильными правильными многоугольниками многоугольниками или полукругами. или полукругами.

Если на сторонах Если на сторонах треугольника треугольника построены полукруги построены полукруги по одну сторону по одну сторону гипотенузы, то гипотенузы, то площадь полученных площадь полученных луночек равна луночек равна площади данного площади данного треугольника.треугольника. 21 SSS

Другие доказательства Другие доказательства

(около 500)(около 500)

Историческая справкаИсторическая справкаПожалуй, это самая популярная теорема Пожалуй, это самая популярная теорема геометрии, сделавшая Пифагора наиболее геометрии, сделавшая Пифагора наиболее знаменитым математиком. Однако, само знаменитым математиком. Однако, само утверждение было открыто задолго до него, утверждение было открыто задолго до него, но в современной истории науки считается, но в современной истории науки считается, что Пифагор дал ему первое логически что Пифагор дал ему первое логически стройное доказательство. стройное доказательство. Теорема Пифагора заслужила место в Теорема Пифагора заслужила место в «Книге рекордов Гиннесса»«Книге рекордов Гиннесса» как получившая как получившая наибольшее число доказательств. наибольшее число доказательств. Американский автор Э. Лумис в книге Американский автор Э. Лумис в книге «Пифагорово предложение», вышедшей в «Пифагорово предложение», вышедшей в 1940 г., собрал 370 разных доказательств! 1940 г., собрал 370 разных доказательств! Однако принципиально различных идей в Однако принципиально различных идей в этих доказательствах используется не так этих доказательствах используется не так уж много.уж много.

ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ

Строительство

Астрономия

Мобильная связь

ОкнаОкнаВ зданиях В зданиях готического и романского стиляготического и романского стиля верхние части верхние части окон расчленяются каменными ребрами, которые не только окон расчленяются каменными ребрами, которые не только играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. играют роль орнамента, но и способствуют прочности окон. На рисунке представлен простой пример такого окна в На рисунке представлен простой пример такого окна в готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из готическом стиле. Способ построения его очень прост: Из рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы рисунка легко найти центры шести дуг окружностей, радиусы которых равныкоторых равныширине окна (b) для наружных дуг ширине окна (b) для наружных дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг половине ширины, (b/2) для внутренних дуг Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Остается еще полная окружность, касающаяся четырех дуг. Т. к. она заключена между двумя концентрическими Т. к. она заключена между двумя концентрическими окружностями, то ее диаметр равен расстоянию окружностями, то ее диаметр равен расстоянию

между этими окружностями, т. е. b/2 и, между этими окружностями, т. е. b/2 и, следовательно, радиус равен b/4. следовательно, радиус равен b/4. А тогда становится ясным и положение ее центра. А тогда становится ясным и положение ее центра.

АстрономияАстрономияНа этом рисунке показаны точки A и B и путь На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.световой луч - прямой.

Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?расстояние между точками?

На этом рисунке показан путь светового луча только На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.в новую точку C.

В конце девятнадцатого века высказывались В конце девятнадцатого века высказывались разнообразные предположения о существовании разнообразные предположения о существовании обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя обитателей Марса подобных человеку. В шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено и не совсем безосновательно , было решено ппередать обитателям Марса сигнал в виде ередать обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагоратеоремы Пифагора. Неизвестно, как это сделать; но . Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что математический факт, для всех очевидно, что математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду выражаемый теоремой Пифагора имеет место всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны понять такой сигнал.должны понять такой сигнал.

Основные достижения Основные достижения Пифагора в его школеПифагора в его школе

доказал теорему, которая носит сейчас его имя;доказал теорему, которая носит сейчас его имя;

ввел доказательство в геометрию;ввел доказательство в геометрию;

заложил основы теории пропорций (арифметических, заложил основы теории пропорций (арифметических, геометрических и гармонических);геометрических и гармонических);

развил теорию музыки и акустики;развил теорию музыки и акустики;

высказал догадку о шарообразности Земли;высказал догадку о шарообразности Земли;

посредством чисел пытался осмыслить: посредством чисел пытался осмыслить: справедливость, смерть, постоянство, мужчина, справедливость, смерть, постоянство, мужчина, женщина и прочее.женщина и прочее.

Рафаэль СантиРафаэль СантиПифагорПифагорна фреске «Афинская на фреске «Афинская школа» (1509-1511)школа» (1509-1511)

Слева, внизу у лестницы, Слева, внизу у лестницы, Пифагор, окруженный Пифагор, окруженный учениками, объясняет учениками, объясняет очередную теорему очередную теорему зачарованным слушателям. зачарованным слушателям. Один из них придерживает Один из них придерживает грифельную доску.грифельную доску.Пифагор олицетворяет собой Пифагор олицетворяет собой арифметику и музыку. арифметику и музыку.

Теоремой Пифагора и Теоремой Пифагора и пифагорейской школой пифагорейской школой восхищается человечество на восхищается человечество на протяжении всей истории, им протяжении всей истории, им посвящают стихи, песни, посвящают стихи, песни, рисунки, картины. Так художник рисунки, картины. Так художник Ф.А. Бронников Ф.А. Бронников (1827-1902) (1827-1902) нарисовал картину нарисовал картину «Гимн «Гимн пифагорейцев восходящему пифагорейцев восходящему солнцу» солнцу»   

КАРТИНА ПЕРЕДАЕТ ПАФОС ПРЕКЛОНЕНИЯ УЧЕНИКОВ КАРТИНА ПЕРЕДАЕТ ПАФОС ПРЕКЛОНЕНИЯ УЧЕНИКОВ ЛЕГЕНДАРНОЙ ШКОЛЫ ПЕРЕД ЕДИНОЙ ГАРМОНИЕЙ, ЦАРЯЩЕЙ В ЛЕГЕНДАРНОЙ ШКОЛЫ ПЕРЕД ЕДИНОЙ ГАРМОНИЕЙ, ЦАРЯЩЕЙ В

МИРОЗДАНИИ («КОСМОСЕ»), МУЗЫКЕ И ЧИСЛЕ. МИРОЗДАНИИ («КОСМОСЕ»), МУЗЫКЕ И ЧИСЛЕ.

Предание о смерти великого Предание о смерти великого мудрецамудреца

Когда был подожжен дом Милона, где Когда был подожжен дом Милона, где собирались пифагорейцы, Пифагор в собирались пифагорейцы, Пифагор в задумчивости сидел в центре залы. Великий задумчивости сидел в центре залы. Великий мудрец и не помышлял сделать хоть одно мудрец и не помышлял сделать хоть одно движение к своему спасению. Тогда ученики движение к своему спасению. Тогда ученики бросились в огонь и проложили в нем дорогу, бросились в огонь и проложили в нем дорогу, чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из чтобы он по их телам, как по мосту, вышел из объятого пламенем дома. Пифагора спасли, объятого пламенем дома. Пифагора спасли, но страшной ценой – ценой жизней его но страшной ценой – ценой жизней его единомышленников. Оставшись один, единомышленников. Оставшись один, Пифагор так затосковал, что удалился из Пифагор так затосковал, что удалился из города и там лишил себя жизни. города и там лишил себя жизни.

Итак,Итак,Если дан нам треугольникЕсли дан нам треугольникИ притом с прямым углом,И притом с прямым углом,То квадрат гипотенузыТо квадрат гипотенузыМы всегда легко найдём:Мы всегда легко найдём:Катеты в квадрат возводим,Катеты в квадрат возводим,Сумму степеней находим – Сумму степеней находим – И таким простым путёмИ таким простым путёмК результату мы придём.К результату мы придём.

Ч.т.д.Ч.т.д.

Вывод

Жизнь Пифагора – жизнь замечательная Жизнь Пифагора – жизнь замечательная и трагическая. И чем дальше время и трагическая. И чем дальше время уносит от нас Пифагора, тем острее уносит от нас Пифагора, тем острее

видится прозорливость мудреца, видится прозорливость мудреца, объявившего, что «ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО». объявившего, что «ВСЕ ЕСТЬ ЧИСЛО». Его современное звучание: Его современное звучание:

«МАТЕМАТИКА ЕСТЬ КЛЮЧ К «МАТЕМАТИКА ЕСТЬ КЛЮЧ К ПОЗНАНИЮ ВСЕХ ТАЙН ПРИРОДЫ».ПОЗНАНИЮ ВСЕХ ТАЙН ПРИРОДЫ».

Самое ценное в математике -Самое ценное в математике - это это возможность быстрого возможность быстрого

приложения теории к практикеприложения теории к практике

ЛитератураЛитература1.1. Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты.- М.: Просвещение, Волошинов А.В. Пифагор: союз истины, добра и красоты.- М.: Просвещение,

1993.- 224 с.1993.- 224 с.

2.2. Глейзер Г. И.- История математики в школе 7- 8 к л.- М.: Просвещение, 1982.- Глейзер Г. И.- История математики в школе 7- 8 к л.- М.: Просвещение, 1982.- 240 стр. 240 стр.

3.3. Самин Д. К.- Сто великих ученых. М.: Вече, 2002.- 592 с.Самин Д. К.- Сто великих ученых. М.: Вече, 2002.- 592 с.

4.4. http://http://www.tonnel.ru.ru. 16.06.07. 16.06.07

5.5. http://www.tmn.fio.ru. 20.06.07http://www.tmn.fio.ru. 20.06.07

6.6. Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Ван-дер-Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.

7.7. Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.Еленьский Щ. По следам Пифагора. М., 1961.

8.8. Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.Литцман В. Теорема Пифагора. М., 1960.