第五章 反比例函数

第三节 反比例函数的应用

漳州七中 :李翠莲

函数 反比例函数解析式

图象

自变量取值范围

图象的位置

性质 当 k>0 时，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小

当 k<0 时，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大

复习提问 :

x≠0 的一切实数

当 k>0 时，在一、三象限；当 k<0 时，在二、四象限

)0(1 kkxyx

ky 或

k<0

y

x0

y

0

k>0

x

认真填一填：1. 下列函数中， y 随 x 的增大而增大的有 ___________.

2. 已知点 A(-2,y1),B(-1,y2),C(3,y3) 都在反比例函数

的图象上，比较 y1 、 y2 、 y3 的大小关系 ______________

4y

x

(1)y=-3x (2)y=6x (3)y= (4)y= (5)y=x

10x

2.0 )0(,1

xx

(2)(5)

y2 < y1 < y3

精心选一选

3. 已知圆柱的侧面积是 10πcm2, 若圆柱底面半径为 r cm, 高为 h cm, 则 h与 r的函数图象大致是 ( ).

o

(A) (B) (C) (D)

r/cm

h/cm

o r/cm

h/cm

o

r/cm

h/cm

o r/cm

h/cm

C

问题情境问题情境 4. 某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米的烂泥湿

地。为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务。你能解释他们这样做的道理吗？

道理 :P （压强） =F （压力） /S （受力面积），在压力 一定的情况下，增大受力面积从而减小地面受到的压强。

某科技小组进行野外考察 , 途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地 . 为了安全迅速通过这片湿地 , 他们沿着前进路线铺垫了若干木板 , 构筑了一条临时通道 , 从而顺利完成了任务 . 当人和木板对湿地的压力一定时 , 随着木板面积 S(m2) 的变化 ,人和木板对地面的压强 p(Pa) 将如何变化 ?

探究 :

如果人和木板对湿地地面的压力合计 600N, 那么(1) 用含 S 的代数式表示 p,p是 S 的反比例函数吗 ? 为什么 ?解 :

sp

600 (S>0) p是 S 的反比例函数 .

(2) 当木板面积为 0.2m2 时 , 压强是多少 ?

解 : 当 S= 0.2m2 时 ,P=——=3000(Pa)6000.2

某科技小组进行野外考察 , 途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地 . 为了安全迅速通过这片湿地 , 他们沿着前进路线铺垫了若干木板 , 构筑了一条临时通道 , 从而顺利完成了任务 . 你能解释他们这样做的道理吗 ? 当人和木板对湿地的压力一定时 ,随着木板面积 S(m2) 的变化 , 人和木板对地面的压强 P(Pa)将如何变化 ?

探究 :

如果人和木板对湿地地面的压力合计 600N, 那么

(3) 如果要求压强不超过 6000Pa, 木板面积至少要多大 ?解 : 当 P≤6000 时 ,S≥600/6000=0.1(m2)

所以木板面积至少要 0.1m2.

(4) 在直角坐标系 , 作出相应函数的图象 ( 作在课本 157页的图上 )

注意 : 只需在第一象限作出函数的图象 . 因为 S>0.

(5) 请利用图象对 (2) 和 (3) 作出直观解释 , 并与同伴交流 .

解 : 问题 (2) 是已知图象上的某点的横坐标为 0.2,求该点的纵坐标 ; 问题 (3) 是已知图象上点的纵坐标不大于 6000, 求这些点所处位置及它们横坐标的取值范围 . 实际上这些点都在直线 P=6000 下方的图象上 .

5. 变式训练 1 ：见课本 P162 页第 5 题

考察函数 y= 的图象，当 x=-2 时 ,y=____; 当 x<-2 时 ,y 的取值

范围是 ________ ；当 y ≥ -1 时， x 的取值范围是 ___________

x

2-1

-1<y<0 X ≤ -2 或 x>0

( 见 158 页第 1 题 )

(1) 蓄电池的电压是多少 ? 你能写出这一函数的表达式吗 ?

解 : 因为电流 I 与电压 U 之间的关系为 IR=U(U 为定值 ),把图象上的点 A 的坐标 (9,4) 代入 , 得 U=36.

所以蓄电池的电压 U=36.

这一函数的表达式为 : )0(36

RR

I

(2) 完成下表 , 并回答问题 : 如果以此蓄电池为电源的用电器电流不得超过 10A, 那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内 ?

解 : 当 I≤10A 时 , 解得 R≥3.6(Ω). 所以可变电阻应不小于 3.6Ω.

7. 随堂练习 : 课本 159 页第 1题 . 某蓄水池的排水管每时排水 8m3,6h可将满池水

全部排空 .

(1) 蓄水池的容积是多少 ?

解 : 蓄水池的容积为 :8×6=48(m3).(2) 如果增加排水管 ,使每时的排水量达到 Q(m3),那么将满池水排空所需的时间 t(h) 将如何变化 ?

答 :此时所需时间 t(h) 将减少 .

(3) 写出 t 与 Q 之间的函数关系式 ;

解 :t 与 Q 之间的函数关系式为 : )0(48

QQ

t

8.( 见课本 159 页 ): 如图正比例函数 y=k1x 的图象与

反比例函数 y=— 的图象相交于 A,B两点 ,其中A

(1)分别写出这两个函数的表达式 ;

(2) 你能求出点 B 的坐标吗 ? 你是怎样求的 ? 与同伴进行交流。

k2x

)32,3(

9.( 见课本 159 页 )

(1)分别写出这两个函数的表达式 ;

(2) 你能求出点 B 的坐标吗 ? 你是怎样求的 ? 与同伴进行交流。

(2)B 点的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解 . 解得 x=

xy

xy

6

2

3

)32,3(

.32,3

B

yx

所以所求的函数表达式为 :y=2x 和 y=—6x

解 :(1) 把 A 点坐标 分别代入 y=k1x 和 y=—

解得 k1=2.k2=6

)32,3( xk2

10. 变式训练 2 ： 已知如图，正比例函数图象与反比例函数图象相交于 A （ 2,4 ）、 B （ -4 ， -2 ）两点。 求（ 1 ）该反比例函数的解析式； （ 2 ）利用图象求出使反比例函数值大于正比例函数 值的 x 的取值范围； （ 3 ）求△ AOB 的面积。

B(-4,-2)xO

A(2,4)

y

EF ∟

∟

G

∟

解：（ 1 ）因为反比例函数 y=— 过 A（ 2,4 ），所以 4=—, 求出 k=8.

反比例函数的解析式为 y=—

kxk

28x

（ 2 ）当 x<-4 或 0 <x <2 时，反比例函数值大于正 比例函数值（ 3 ）

△AOB 的面积 = AGB△ 的面积 - OHB△ 的面积 - 梯形 AGHO 的面积

=18-4-8=6

H

., FXBFEXAE 轴于轴于作

.)2(;,)1(.,

2

8

,

的面积两点的坐标求两点交于

的图像与一次函数反比例函数已知如图

AOBBABA

x y

x

y

11. 变式训练3 ：

Ay

O

Bx

MN

本课小结 :

通过本节课的学习 , 你有哪些收获 ?

1. 利用反比例函数解决实际问题的关键 :建立反比例函数模型 .

布置作业 : 课本 160 页 -161 页习题 5.4 1,2,3

2. 数形结合

祝同学们学习进步！

再见