30
1 n i i i n n Y Y X X n = Y Y X X Y Y X X n X,Y 1 1 1 ) )( ( 1 ) )( ( ... ) )( ( 1 ) Cov( ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ ) )( ( Y X XY Y X E

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ

  • Upload
    gotzon

  • View
    67

  • Download
    0

Embed Size (px)

DESCRIPTION

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ. 1. ПРИМЕР КОВАРИАЦИИ. 4. ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КОВАРИАЦИИ. Observation S Y S - Y - ( S - )( Y - ) 11517.24 21615.00 3814.91 464.50 51518.00 6126.29 71219.23 81818.69 9127.21 - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

1

n

iii

nn

YYXXn

=

YYXXYYXXn

X,Y

1

11

))((1

))((...))((1

)Cov(

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ

))(( YXXY YXE

Page 2: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S (продолжительность обучения)

Y (

часовая з

арпл

ата

, $)

4

ПРИМЕР КОВАРИАЦИИ

Page 3: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

Observation S Y S - Y - (S - )(Y - )

1 15 17.242 16 15.003 8 14.914 6 4.505 15 18.006 12 6.297 12 19.238 18 18.699 12 7.21

10 20 42.06... ... ...... ... ...19 12 7.5020 14 8.00

Итого 265 284.49Среднее 13.25 14.225

S Y S Y

ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ КОВАРИАЦИИ

5

Page 4: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S (продолжительность обучения)

Y (

часовая з

арпл

ата

, $)

6

ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ

Page 5: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

Выборка S Y S - Y - (S - ) (Y - )

1 15 17.24 1.75 3.016 5.2772 16 15.00 2.75 0.776 2.1333 8 14.91 -5.25 0.686 -3.5994 6 4.50 -7.25 -9.725 70.5035 15 18.00 1.75 3.776 6.6076 12 6.29 -1.25 -7.935 9.9187 12 19.23 -1.25 5.006 -6.2578 18 18.69 4.75 4.466 21.2119 12 7.21 -1.25 -7.015 8.768

10 20 42.06 6.75 27.836 187.890... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ...

19 12 7.50 -1.25 -6.725 8.40620 14 8.00 0.75 -6.225 -4.668

Итого 265 284.49 305.888Среднее 13.25 14.225 15.294

S Y S Y

ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ

Положительное значение ковариации свидетельствует о наличии положительной связи между S и Y

13

Page 6: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S

Y (

$)

14

Выборочная ковариация

Личность 10 – два высших образования: биология и медицина

C

D A

B

наблюдение 10

Page 7: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S

Y (

$)

16

ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ

Личность 20 - незаконченное высшее медицинское образование. Работает Менеджером.

C

D A

BНаблюдение 20

Page 8: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S

Y (

$)

18

ПРОСТАЯ КОВАРИАЦИЯ

Личность 4, мексиканец с 6 классами образования, подсобный рабочий.

C

D A

BНаблюдение 4

Page 9: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S

Y (

$)

20

SAMPLE COVARIANCE: EXAMPLE CALCULATION

Личность 3. Начальное образование, строительный рабочий.

C

D A

B

наблюдение 3

Page 10: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

1. Если Y = V + W,

Cov(X, Y) = Cov(X, V) + Cov(X, W)

2. Если Y = bZ, где b - константа,

Cov(X, Y) = Cov(X, bZ) = bCov(X, Z)

Пример: Cov(X, 3Z) = 3Cov(X, Z)

3. Если Y = b, где b - константа,

Cov(X, Y) = Cov(X, b) = 0

Пример: Cov(X, 10) = 0

СВОЙСТВА ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ

5

Page 11: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

Пример: пусть Y = b1 + b2Z

Cov(X, Y) = Cov(X, [b1 + b2Z])

= Cov(X, b1) + Cov(X, b2Z)

= 0 + Cov(X, b2Z)

= b2Cov(X, Z)

ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ

9

Page 12: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

1. Если Y = V + W, Cov(X, Y) = Cov(X, V) + Cov(X, W)

ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ

),(Cov),(Cov

))((1

))((1

])[])([(1

])[])([(1

))((1

),(Cov

1 1

1

1

1

WXVX

WWXXn

VVXXn

WWVVXXn

WVWVXXn

YYXXn

YX

n

i

n

iiiii

n

iiii

n

iiii

n

iii

16

Page 13: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ

),(Cov

))((1

))((1

))((1

),(Cov

1

1

1

ZXb

ZZXXn

b

ZbbZXXn

YYXXn

YX

n

iii

n

iii

n

iii

2. Если Y = bZ, где b - константа,

Cov(X, Y) = Cov(X, bZ) = bCov(X, Z)

20

Page 14: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

3. Если Y = b, где b – константа,

Cov(X, Y) = Cov(X, b) = 0

ПРАВИЛА КОВАРИАЦИИ

0

))((1

))((1

))((1

),(Cov

1

1

1

n

ii

n

ii

n

iii

bbXXn

bbXXn

YYXXn

YX

24

Page 15: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

n

ii

n

ii

n

iii

nnnn

n

iiiii

n

iii

YXnYXYXYXn

YXYXYXYX

YXYXYXYXn

YXYXYXYXn

YYXXn

YX

111

1111

1

1

1

...

1

)(1

))((1

),(Cov

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ

9

Page 16: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ВЫРАЖЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ КОВАРИАЦИИ

16

YXYXn

YXYXXYYXn

YXYn

XXn

YYXn

YXYXn

YXn

YXn

YXnYXYXYXn

YX

n

iii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

n

ii

n

ii

n

iii

1

1

111

111

111

1

1

111

111

1),(Cov

Page 17: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

3

Определение выборочной дисперсии:

),(Cov

))((1

)(1

)(Var

1

1

2

XX

XXXXn

XXn

X

n

iii

n

ii

Page 18: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

11

Правило 1:Если Y = V + W, Var(Y) = Var(V) + Var(W) + 2Cov(V, W)

Вывод: Var(Y) = Cov(Y, Y) = Cov(Y, [V + W])

= Cov(Y, V) + Cov(Y, W)

= Cov([V + W], V) + Cov([V + W], W)

= Cov(V, V) + Cov(W, V) + Cov(V, W) +

+Cov(W, W)

= Var(V) + Var(W) + 2Cov(V, W)

Page 19: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

16

Правило 2:Если Y = bZ, где b - константа, Var(Y) = b2Var(Z)

Вывод:

Var(Y) = Cov(Y, Y) = Cov(Y, bZ)

= bCov(Y, Z)

= bCov(bZ, Z)

= b2Cov(Z, Z)

= b2Var(Z)

Page 20: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

18

Правило 3:Если Y = b, где b - константа, Var(Y) = 0

Вывод:

Var(Y) = Cov(Y, Y)

= Cov(b, b)

= 0

Page 21: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ВЫБОРОЧНАЯ ДИСПЕРСИЯ

25

Правило 4:Если Y = V + b, где b - константа, Var(Y) = Var(V)

Вывод:

Var(Y) = Var(V + b)

= Var(V) + Var(b) + 2Cov(V, b)

= Var(V)

0

0 V + b

V

Page 22: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

СМЕЩЕННОСТЬ ВЫБОРОЧНОЙ ДИСПЕРСИИ

28

21)(Var Xn

nXE

)(Var1

2 Xn

nsX

22XXsE

n

ii Xx

ns

1

22 )(1

1

Page 23: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

000

)()()()(

)()())((

YYXX

YX

YXYX

EYEEXE

YEXEYXE

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ КОВАРИАЦИЯ

Если X и Y независимы, то XY = 0

))(( YXXY YXE

XYnn

YXE 1),(Cov

6

Page 24: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ

Если X и Y - независимы, то

22

222 2

YX

XYYXYX

2

222YXYX

Page 25: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

n

nnn

n

n

XXXX

XX

XX

XXn

X

n

n

n

22

222

2

222

2...2

2

...1

2

1...

1

...1

1

1

1

1

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ДИСПЕРСИЯ ВЫБОРОЧНОГО СРЕДНЕГО

8

Page 26: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

функция плотности вероятности

ЗАВИСИМОСТЬ ОТКЛОНЕНИЯ ОТ ВЕЛИЧИНЫ ВЫБОРКИ

N=100

N=50

13

X

Page 27: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

)(Var)(Var),(Cov

)(Var1

)(Var1

),(Cov1

YXYX

Yn-n

Xn-n

YXn-n

rXY

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Теоретический коэффициент корреляции

Выборочный коэффициент корреляции

22YX

XYXY

4

Page 28: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

S

Y (

$)

5

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

Page 29: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

Выб S Y S - Y - (S - )(Y - ) (S - )2 (Y - )2

1 15 17.24 1.75 3.016 5.277 3.063 9.0932 16 15.00 2.75 0.776 2.133 7.563 0.6013 8 14.91 -5.25 0.686 -3.599 27.563 0.4704 6 4.50 -7.25 -9.725 70.503 52.563 94.5665 15 18.00 1.75 3.776 6.607 3.063 14.2546 12 6.29 -1.25 -7.935 9.918 1.563 62.9567 12 19.23 -1.25 5.006 -6.257 1.563 25.0558 18 18.69 4.75 4.466 21.211 22.563 19.9419 12 7.21 -1.25 -7.015 8.768 1.563 49.203

10 20 42.06 6.75 27.836 187.890 45.563 187.890... ... ... ... ... ... ... ...... ... ... ... ... ... ... ...19 12 7.50 -1.25 -6.725 8.406 1.563 45.21920 14 8.00 0.75 -6.225 -4.668 0.563 38.744

Итого 265 284.49 305.888 217.760 1542.160Средн. 13.25 14.225 15.294 10.888 77.108 Cov(S,Y) Var(S) Var(Y)

S Y S Y

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

SY

10

Page 30: ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ  КОВАРИАЦИИ

КОЭФФИЦИЕНТ КОРРЕЛЯЦИИ

294.15),(Cov YS

888.10)(Var S

108.77)(Var Y

12

55.0975.28294.15

108.77888.10294.15

))Var(Var(),(Cov

YSYS

rSY