קבלת החלטות בתנאי אי וודאות גישת תוחלת התועלת

1

קבלת החלטות בתנאי אי וודאותגישת תוחלת התועלת

2

נושאי השיעור

הגרלות ותכניות תצרוכת מותנות•

העדפות על הגרלות•

VNMגישת תוחלת התועלת ופונקצית תועלת •

מישור מצבי הטבע•

תרחיש הביטוח•מישור מצבי הטבע–מישור העושר–

השקעה בנכס "מסוכן"•

3

הגרלות בחירות של פרטים מתבצעות בדרך כלל תחת תנאים של אי •

וודאות. לעיתים קרובות אנו בוחרים בין הגרלות שונות, או באופן יותר •

מדויק בין משתנים מקריים שונים.•

דוגמאות:לבעלי תואר ראשון בכלכלה יש:

₪ 5,000 לקבל משרה של 20%הסתברות 9,000₪ לקבל משרה של 80%והסתברות

לבעלי תואר ראשון במדעי המחשב יש: 3,000₪ לקבל משרה של 30%הסתברות 11,000₪ לקבל משרה של 70%והסתברות

רכישת כל תואר כזה הינה למעשה רכישת הגרלה.•קניית נייר ערך הינה למעשה קניית הגרלה.•רכישת ביטוח הינה רכישת הגרלה. •

4

העדפות על הגרלותʥʠʤʬy ʢʤyʠʺ ʰʺ ʩhʫ̋ (ʺ ʩh̋ ʥʮ̋ ʫʥyʶ ʺ(ʩʣʩʬ̡:

(c1,…cn;p1,…,pn(

ʺ ʬ̡ ʥ̋ʤʩʤʮV ʥʦʫʤʬy ʢʤʮ?

...ʥʯʫ̋ ʩ

V(c1,c2;p1,p2(=max(c1,c2( (P>0( (1( V(c1,c2;p1,p2(=min(c1,c2( (2( V(c1,c2;p1,p2(=c1

p1c2p2 (3(

V(c1,c2;p1,p2(=p1c1+p2c2 (4( V(c1,c2;p1,p2(=p1Ln(c1(+p2Ln(c2( (5( V(c1,c2;p1,p2(=p1c1

2 + p2c22 (6(

ʭʠVʤyʥʁʤʮʠʩʤ4ʣ̡6,ʤʩʁʷʰʥɹ̋ ʮʩʩ̫ʸ ʮʥʬʫ

ʤʬ́ ʲ ʶ ʥʮʮʤ̋ʠʭʩʧʷʥʬ́ ʭʩɦʸ ʴ ʮ̋ ʬ̡ ʥ̋ʬ́ʸ ʮʠʰʺ ʹ ʩʢ̋ ʠʺ ʥʮʩʩ̫ʮʨy ʴ ʤ̋ ʥɹʣ̡ʤ́ʺ ʬʧʥ̋

ʤ .ʺ ʬ̡ ʥ̋ʨy ʴ ʭʢ́ ʡʬʥʮʩ́ (3ʨy ʴ ʥʮʫʢʤhʺ ʮ(ʺ ʬ̡ ʥ̋ʤ̋ ʬʧʥ̋ʺ ʹ ʩʢ̋ ʠʺ ʥʮʩʩ̫ʮʥʩ̋ʥɹʣ̡ʤ́

5

העדפות - גישת תוחלת התועלת

מן את הפונקציה שלוקחים את הממוצע שלה ב – נסu.

u(c(=c 4במקרה )u(c(=Ln(c 5במקרה u(c(=c2 6במקרה

u פונקצית תועלת תיקראVNM .

VNMכלומר אם אומרים שלפרט פונקצית תועלת uרושו שהתועלת מהגרלה י פ, על מרחב הפרסים

. u לפי ניתנת על ידי תוחלת התועלת

יש הנחות סבירות שמבטיחות שהעדפות על פרסים ניתנות על ידי תוחלת תועלת.

6

גישת תוחלת התועלת - האקסיומותʩʫ̋ ʩ́ʠʸ ʧʩhhʮʨy ʴ ʤʯʩʩ̡h ʺ"ʤhʥ̋ʧʺ ʤʤyʥ́ "ʡʷʸ

ʸ ʡʣʬ́ ʥʮʥʫʩɦʡʹ ʺ ʥʬy ʢʤʩ̋ʹ ʯʩʡʹ ʩʣʠʨy ʴ ʤyʮʥʬʫ .ʺ ʥʩʥyʡʺ ʱ ʤʯ̋ ʥʠʡʭʩɦʸ ʴ ʭʺ ʥʠʺ ʥh̋ ʥh

ʬ́ ʥʩ̋ʥɹʣ̡ʤʩʦʠ ,ʺ ʥʠʡʤ̋ʥʧʰʤʤ̋ ʹ ʥʬ́ ʺ ʥʮʩʩ̫ʺ ʮʭʠʺ ʮʩʩ̫ʸ ʮʥʬʫ ,ʺ ʬ̡ ʥ̋ʤ̋ ʬʧʥ̋ʺ ʹ ʩʢ̋ ʠʺ ʥʮʩʩ̫ʮʨy ʴ ʤ

ʺ ʬ̡ ʥ̋ʺ ʩʁʷʰʥɹuʺ ʥʢy ʥʣʮ̋ ʥʬy ʢʤʤ́ ʪʫʭʩɦʸ ʴ ʤʬ̡ʩɹʬ̋ ʬ̡ ʥ̋ʤ̋ʬʧʥ̋ʩʣʩʬ̡u.

(iʺ ʥʩʡʩʨʩʦhʸ ʨʥ̋ʥʮʬ́ ( (iiʸ ʥʡʲ ,ʸ ʮʥʬʫ ,ʺ ʥɹʩʁʸ (ʺ ʥʬy ʢʤ́ ʥʬ́ ʬʫP≥Q≥R

ʤʬy ʢʤʤhʹ ʩ(P,R;,1-(ʬʤʬʥ̫ʹ ʹQ. (iii( ʺ ʥʬ̋ ʩʠʺ ʥʬy ʢʤ́ ʥʬ́ ʬʫʬ ,ʸ ʮʥʬʫ ,P,R,Q

:ʩʫʭʩʩ̫ʺ ʮP≥Rʮ"ʮʠ(Q,P;,1-(≥ (Q,R,,1-(

7

גישת תוחלת התועלת -הערותמהגרלות) מקיימת האם פונקציית התועלת הבאה )

את גישת תוחלת התועלת?

V(c1,c2;p1,p2(=p1Ln(c1(+p2c20.5

כתוצאה במילים אחרות, האם היא יכולה להתקבל

מתוחלת התועלת של איזושהי פונקצית תועלת על פרסים?

.לא

. טבעזו לא אותה פונקציה בכל מצב

נניח שההעדפות על הגרלות ניתנות בדרך כלל אנו

על ידי תוחלת התועלת.

הנתונים הבסיסיים יהיו הסתברויות למצבים השונים ופונקצית תועלת המוגדרת על פרסים.

8

העדפות בתנאי אי-וודאות

נתונה הגרלה• בהסתברות ½.0$ בהסתברות ½ ו – 90$ניתן להרוויח ••U(90$)=12 ; U(0$)=2

התועלת מההגרלה (תוחלת התועלת מהפרסים) היא: •EU=0.5U(90$)+0.5U(0$)=7

תוחלת הכסף (רכוש) מההגרלה היא: •EM=0.5x90+0.5x0=45

9


•EU = 7 ; EM = 45$

•U(45$)>7 ←

שנאת סיכון← בוודאות מועדף על ההגרלה 45$

•U(45$)<7 ←

אהבת ← בוודאות 45$ההגרלה מועדפת על סיכון

•U(45$)=7 ←

אדישות לסיכון← בוודאות שקול להגרלה 45$

10


$0רכוש $90

2

12

$45

EU=7

11


$0רכוש $90

12

U($45)

U($45) > EU שנאת סיכון

2

EU=7

$45

12


$0רכוש $90

12

U($45)

U($45) > EU שנאת סיכון

2

EU=7

$45

תועלת שולית פוחתת כשהרכושעולה.

13


$0רכוש $90

12

2

EU=7

$45

14

$0רכוש $90

12

U($45) < EU אהבת סיכון

2

EU=7

$45

U($45)


15


$0רכוש $90

12

U($45) < EU אהבת סיכון

2

EU=7

$45

תועלת שולית עולה מרכוש

U($45)

16


$0רכוש $90

12

2

EU=7

$45

17


Wealth$0 $90

12

U($45) = EU אדישות לסיכון

2

U($45)=EU=7

$45

18


Wealth$0 $90

12

U($45) = EU אדישות לסיכון

2

$45

התועלת השולית מרכוש קבועה

U($45)=EU=7

19

מושגים שוניםנניח כי תצרוכתו (רכושו) של הפרט ניתנת על ידי ההגרלה •

)C1,C2;P1,P2(.

.VNM, uהעדפות הפרט ניתנות על ידי פונקציית תועלת •

ניתנת על ידי:תוחלת התצרוכת•

Cbar= P1C1+P2C2

(תכנית התצרוכת המותנית) ניתנת על התועלת מההגרלה•ידי:

P1u(C1)+P2u(C2)(זו למעשה תוחלת התועלת מההגרלה)•המקיים: Ce הינו רכוש שווה הערך הוודאי להגרלה•

U(Ce)= P1u(C1)+P2u(C2)

20

מושגים שונים – המשךתרחיש הביטוח ב"מישור העושר"

Cbar-Ce – פרמיית סיכון•

הפער בין תוחלת ההגרלה לשווה הערך הוודאי שלה.–

C2-Cbar (ביטוח הוגן) – פרמייה הוגנת•

תוחלת התשלום של חברת הביטוח עבור ביטוח –.C2מלא ברמה

C2-Ce – פרמייה מקסימלית•

התשלום המקסימלי שהפרט מוכן לשלם תמורת –ביטוח הסיכון.

ובאופן גראפי ...•

21

הצגה גראפית במישור רכוש - תועלת

C2C1Cbar

EU

U(Cbar(

W

U

CE

U(C2(

U(C1(

אדום – פרמיית סיכון , כחול – פרמייה הוגנת , ירוק – פרמיה מקסימלית

22

דוגמה מספרית

)0.2,0.8;100,600(נניח כי תצרוכת הפרט ניתנת על ידי •u=c0.6והעדפותיו ניתנות על ידי

Cbar=500, u(500)=41.63Eu=0.2*1000.6+0.8*6000.6=40.32 (התועלת מההגרלה)

Ce=474.13 (474.130.6=40.32)פרמיית הסיכון -25.87פרמייה הוגנת)) (0.2*(600-100)) – 100

125.87 = 600-474.13(פרמייה מקסימלית) הן יותר קעורות ואכן c0.3אם העדפות הפרט ניתנות על ידי

מתקבל שווה ערך וודאי נמוך יותר, ולכן פרמיית סיכון גבוההיותר.

23

התייחסות לסיכון

אם פרמיית הסיכון הינה חיובית.שונא סיכוןהפרט הינו • אם פרמיית הסיכון הינה אפס.אדיש לסיכוןהפרט • אם פרמיית הסיכון שלילית.אוהב סיכוןהפרט • קעורה "ממש" הפרט שונא סיכון. VNMכאשר פונקציית התועלת •

) u’’<0(כאשר קעורה "ממש" אם:Uפונקציה • U(x+(1-)y)> U(x)+(1- )U(y) 0 עבור><1 כלומראפינית VNMכאשר פונקציית התועלת •

U(x)=ax+b a>0.הפרט אדיש לסיכון פרט אדיש לסיכון מדרג את ההגרלות לפי תוחלת ההגרלה.• קמורה "ממש" הפרט אוהב סיכון. VNMכאשר פונקציית התועלת •

)u’’>0(כאשר באופן אינטואיטיבי ככל שפונקציית התועלת קעורה יותר הפרט •

"יותר שונא סיכון".

24

שנאת סיכון תחת גישת תוחלת התועלתסיכום

פרט הינו שונא סיכון אם הוא מעדיף את תוחלת ההגרלה על •ההגרלה עצמה.

פרט הינו אוהב סיכון אם הוא מעדיף את ההגרלה על תוחלת •ההגרלה.

פרט הינו אדיש לסיכון אם הוא אדיש בין ההגרלה ותוחלת •ההגרלה.

ראינו כי:•.)u’’<0(פרט הינו שונא סיכון אם פונקציית התועלת שלו (מרכוש) קעורה –.)u’’>0(פרט הינו אוהב סיכון אם פונקציית התועלת שלו (מרכוש) קמורה –. )u’’=0(פרט הינו אדיש לסיכון אם פונקציית התועלת שלו (מרכוש) אפינית –

u(p1x1+p2x2) > p1u(x1)+p2u(x2) שונא סיכון u’’< 0

u(p1x1+p2x2) < p1u(x1)+p2u(x2) אוהב סיכון u’’> 0

u(p1x1+p2x2)= p1u(x1)+p2u(x2) אדיש לסיכון u’’= 0

25

VNMהעדפות ופונקציית תועלת

, עד VNMפרטים שיש להם אותה פונקציית תועלת •כדי טרנספורמציה אפינית עולה ממש, ידרגו הגרלות

באותו אופן.•w הינה טרנספורמציה אפינית עולה ממש של u אם

w=a*u+b a>0u=c0.5 יש פונקציית תועלת 1לדוגמה אם לפרט •

, תהיינה לשני w=3c0.5-10 יש פונקציית תועלת 2ולפרט הפרטים אותן העדפות על הגרלות.

u=c0.8 תהיה פונקציית תועלת 2אם לפרט •

העדפות הפרטים על ההגרלות לא תתלכדנה.

26


ו – Lאם נשווה את תוחלת התועלת משתי הגרלות (•L’ על פי פונקציית תועלת (VNM u ועל פי פונקציית

, נקבל תמיד אותה תשובה.w=10u+15תועלת

נניח כי•

L=(x1,x2,p1,p2)

L’=(x1’,x2’,p1’,p2’)

27


אם

Eu(L)=p1u(x1)+p2u(x2)>Eu(L’)=p’1u(x’1)+p’2u(x’2) אזי

Ew(L)=p1[10u(x1)+15]+p2[10u(x2)+15]= 10Eu(L)+15>10Eu(L’)+15=

=10[p’1u(x’1)+p’2u(x’2)]+15=

p’1(10u(x’1)+15] +p’2[10u(x’2)+15] = Ew(L’)

עלL מעדיף הגרלה Uכלומר אם פרט עם פונקצית תועלת יעדיף גם כן אתW , אזי פרט עם פונקצית תועלת ’Lהגרלה

L על L’.וההפך ,

28

נורמליזציות ואורדינליות/קרדינליות

שימו לב ששינויים אפיניים הינם פחות כלליים

uמשינויים אורדינאליים. לא ניתן למשל להחליף את

.u3ב –

מהעובדה שניתן לעשות טרנספורמציות אפיניות מבלי

לשנות את יחס הסדר על הגרלות, נוח לעיתים להניח

מסויים. x עבור u(x)=1 ו – u(0)=0כי

29

ALLAISפרדוקס

בהינתן שתי ההגרלות הבאות:

A=(1,000,000,0;1,0)

(מיליון ₪ בוודאות)

או

B=(1,000,000,5,000,000,0;0.89,0.1, 0.01)

מיליון ₪ בהסתברות 5 , 89%(מיליון ₪ בהסתברות 10%

.)1% ₪ בהסתברות 0ו -

אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את

A עלB

30

ALLAIS - 1פרדוקס

בהינתן שתי ההגרלות הבאות:C=(5,000,000,0;0.1,0.9)

)10% מיליון ₪ בהסתברות 5(או

D=(1,000,000,0;0.11,0.89))11%(מיליון ₪ בהסתברות

אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את C על D

31

ALLAIS - 2פרדוקס

אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת על פרסים והואuכלומר יש לו פונקציית תועלת

אזי:uמדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי A עדיף על B:גורר כי

u(1)>0.1*u(5)+0.89*u(1)+0.01*u(o)C עדיף על D:גורר כי

0.1*u(5)+0.9*u(0)>0.11*u(1)+0.89*u(0)לא יתכן !!!

32

פרדוקס אלסברג

כדורים90ישנו כד המכיל • כדורים הינם צהובים30– כדורים הינם אדומים או כחולים60– הכדורים יכול 60אחוז הכדורים האדומים מתוך –

.100% ל 0להיות בין

אנו נוציא כדור מהכד והפרט יוכל להמר על •הצבע שלו.

33

1פרדוקס אלסברג -Aמצב •

הפרט יכול להמר על צבע צהוב או צבע אדום. הימור נכון – ₪.0 ₪ והימור מוטעה יזכה אותו ב – 100יזכה אותו ב

מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי:•

.Yרוב הפרטים מעדיפים להמר

34

2פרדוקס אלסברג - Bמצב •

הפרט יכול להמר על צבע (אדום או כחול) או על צבע (צהוב – ₪ והימור מוטעה 100או כחול). הימור נכון יזכה אותו ב

₪.0יזכה אותו ב –

מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על •ידי:

רוב הפרטים מעדיפים להמר על (אדום או כחול)

35

3פרדוקס אלסברג -

אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת על פרסים והואuכלומר יש לו פונקציית תועלת

אזי:uמדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי גורר כי:Aההימור במצב

P(Y)*u(100)+P(R)*u(0)+p(B)*u(0)<P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(0)

גורר כי:Bההימור במצב P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(100)<P(Y)*u(100)+p(R)*u(0)+p(B)*u(100)

לא יתכן !!!

36

העדפות בתנאי אי-וודאות – מישור מצבי הטבע

)Xישנו מוצר תצרוכת יחיד (•.2 ו – 1"מחר" יתכנו שני מצבי טבע •

יכול להיות שנת הלימודים האקדמית החלה 1מצב טבע – הינו המקרה בו פרצה 2במועד המתוכנן, בעוד שמצב טבע שביתה במוסדות להשכלה גבוהה.

q2ו – q1 תסומן ב – 2 ו – 1ההסתברות למצבי טבע •בהתאמה.

לפרט ישנה פונקציית תועלת מתצרוכת.•U(X)=X ; U(X)=Ln(X) ; U(X)=X2לדוגמא −

כיצד מדרג הפרט תכניות תצרוכת מותנות (למעשה • בהתאמה? 2 ו – 1 במצבי טבע X2 ו – X1הגרלות) של

37

העדפות בתנאי אי-וודאות במישור מצבי הטבע

אנו מאמצים כאמור את גישת תוחלת התועלת. •, VNM הינה למעשה פונקציית תועלת Uכלומר

ותכניות התצרוכת המותנות מדורגות על ידי תוחלת התועלת מתכנית התצרוכת המותנית.

פונקציית התועלת של הפרט במישור התצרוכות •המותנות ניתנת לכן על ידי:

V(X1,X2)=q1U(X1)+q2U(X2)מבנה זה מטיל כמובן מגבלות רבות על הדרך בה •

מדורגות ההגרלות וישנן תיאוריות מתחרות רבות בהן לא נטפל בקורס זה.

38

עקומות האדישות במישור מצבי הטבע (התצרוכות המותנות)

), X1 (1על הציר האופקי נמדוד את התצרוכת במצב •).X2 (2ועל ציר האנכי את התצרוכת במצב טבע

עקומת אדישות טיפוסית של פרט ניתנת על ידי:•

q1U(X1)+q2U(X2)=קבוע של הפרט ניתן על ידי:MRSלאור זאת ה – •

MRS21=(q1U’(X1))/(q2U’(X2)) פונקציה קעורה (הפרט אינו אוהב סיכון), עקומות Uאם •

האדישות מתנהגות יפה. לאורכו הינו MRSנקרא קו הוודאות וה – 450קו ה – •

).q1/q2יחס ההסתברויות (

39

עקומות האדישות במישור התצרוכות המותנות

:עקומות אדישותEU1 < EU2 < EU3

X2

X1

EU1

EU2

EU3

קו הוודאות

40

דרגות שונות של שנאת-סיכון

X2

X1

EUAEUB B), פרט cמנקודה וודאית (כמו

היה Aיקבל כל הימור שפרט – . לכן ניתן לומר שפרט cמעדיף על

A יותר שונא סיכון מפרט B בנקודה c אם תכונה זו מתקיימת לכל .

יותר שונא סיכון A אזי פרט cנקודה B.cמפרט

41

אדישות לסיכון

X2

X1

42

maxminשנאת סיכון קיצונית:

X2

X1

43

Fair-odds line

X2

X1

EUA

קו עם שיפוע שניתן על ידי יחס fair oddsההסתברויות נקרא

line תוחלת ההגרלות .המתוארות על ידי קו זה הינה

קבועה.

q1x1 + q2x2 = constant

dx2/dx1=q1/q2גורר כי

פרט שאדיש לסיכון, אדיש לגבי תזוזה לאורך קו זה. פרט שונא סיכון המתחיל מנקודה וודאית מפסיד מתזוזה לאורך קו כזה, בעוד שפרט אוהב סיכון נהנה

מתזוזה לאורך הקו.

44

תרחיש הביטוח במישור מצבי הטבע

קורה "אסון" ורכושו של הפרט במקרה זה הינו q1נניח כי בהסתברות •C1 ובהסתברות ,q2 האסון אינו קורה ורכושו של הפרט הינוC2 .

יקרא המצב הטוב. 2 יקרא המצב הרע ומצב 1מצב •, כך שאם יקרה K ניתן לקנות ביטוח בגובה Kתמורת פרמיה של •

K≤C2-C1≥0. נניח ש Kמצב הטבע הרע יקבל הפרט

הפרט יכול לכן להשיג כל תכנית תצרוכת (מותנית) מהצורה:•

)C1- K+K,C2- K;q1,q2(במישור בו מודדים על הציר האופקי את התצרוכת במקרה הרע ועלהציר האנכי את התצרוכת במקרה הטוב נמצאות נקודות אלו על קו

.450 ומסתיים על קו ה /(1- )- ששיפועו )C1,C2(המתחיל בנקודה

45

הצגה גראפית של ביטוח במישור"מצבי הטבע"

BAD (X1(

-/(1-(

C1

C2

K=C2-C1GOOD

(X2)

46

קו תקציב ובחירה אופטימאלית במישור מצבי הטבע

קו התקציב של הפרט ניתן על ידי:•

)X2-C2 -)=(/(1- ))*(X1-C1(או

(/(1- ))*X1+X2=(/(1- ))*C1+C2

הפרט יבחר את ההגרלה הטובה ביותר עבורו על קו זה.•בפתרון פנימי, נקודה זו תתקבל על ידי השקה בין עקומת

אדישות וקו התקציב.

47

בחירה אופטימאלית במקרה של פרמייה הוגנת

q1Kתוחלת התשלום של חברת הביטוח הינה •

Kהפרמייה שהחברה מקבלת הינה •

q1= כאשר הפרמייה הוגנת •

q1/q2שיפוע קו התקציב במקרה זה הינו: •

לכן ההשקה לעקומת האדישות מתרחשת על קו •.450ה –

כאשר הפרמייה הוגנת בוחר הפרט לקנות •).K=C2-C1ביטוח מלא (

48

הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה הוגנת

bad

good

-/(1-(

C1

C2

K=C2-C1

49

הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה "יותר מ – הוגנת"

bad

good

-/(1-(

C1

C2

K=C2-C1

50

הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה שאינה הוגנת

bad

good

-/(1-(

C1

C2

450

51

דוגמה מספרית

מצב המוצא הינו:

(10,000 , 40,000 ; 0.01,0.99(

.)Ln(X של הפרט הינה VNMפונקציית התועלת

נקודת המוצא במישור התצרוכות המותנות הנה (10,000,40,000(

צרוף תצרוכות מותנה הנה כל התועלת של הפרט מ0.01*Ln(X1(+0.99*Ln(X2(

שיפוע עקומת האדישות שלו בכל נקודה

ניתן על ידי: )MRS – ה)1

2

99.001.0XX

.

קו התקציב של הפרט ניתן על ידי:

000,40000,1011

(000,10(1

(000,40(

21

12

XX

or

XX

52

1דוגמה מספרית - לכן פתרון בעיית הפרט ניתן על ידי פתרון שתי

:משוואות אלו

תנאי ההשקה

199.0

01.0

1

2

XX

ומגבלת התקציב

000,40000,1011 21

XX

שגורר:

1400100

1

100001

4000001.0

(100001

40000(99.0

1

2

X

X

בקטע בין )X1,X2)נוסחאות אלו תקפות כל עוד .450 – והמפגש עם קו ה )10,000,40,000)

53

2דוגמה מספרית - גוררת תצרוכת בכל מצב שווה ל =0.01הצבת

. K=30,000 מכאן מתקבל 39,700

כלומר הפרט רכש ביטוח מלא.

Ln(39700(=10.5891תועלתו ניתנת על ידי

ביטוח שאינו הוגן, מתקבל כי =0.02אם

X1=19700 X2=39802.04082

K=50(40000-39802.0408(=9897.959מכאן

. 10.5846ותועלתו ניתנת על ידי

אם מתקיים /(1-(=(0.01/0.99(*40000/10000

. אזי הפרט לא יקנה ביטוח

=0.0388 עבור זה קורה

גדול יותר הוא ודאי לא יקנה ביטוח.עבור כל

54

בעיית הביטוח – פתרון אלגברי ב "מישור העושר" :ʤhʩʤyʺ ʥɹʨy ʴ ʤ́ ʤʩʁʦʩʮʩɦʷʮʤ̋ ʩʩ̡ʡ

Max q1u(C1-K+K(+q2u(C2-K( K

ʩɹʬʤyʩʦʢʮʬʡʷʺ ʮʯʥ́ʠʸ ʤyʣɦʤʩʠʰʺKʤʠʥʥ́ʤʥʡʯʮɦ ʰ ( .ʱ ʴ ʠʬ– X1ʲ ʡʨʡʶ ʮʡ 'ʶ ʺ1 .ʤʠʬʤʯʫʥ

(1-(q1u'(X1(- q2u'(X2(=0

(1((('(('

(1(((

(('(('

22

11

1

2

2

1

XuqXuq

or

qq

XuXu

–ʹ ʯʥʥʩʫʮq2=1-q1ʩʫʭʩʠʥyʥhʠ=q1ʹ ʸ ʸ ʥʢ- x1=x2 .

ʭʠ<q1ʥ̫ʮʤʬʥʬ̋ ʸ ʺ ʥʩ̋ʥ́ʩʣʠʤ̋ ʮʥ̫ʲ ʩʦʠʤʥ̫ʭʲ ʪʥ̋ʩʧʤ̋ ʣʥ̫ʰʡʡʩʁʷʺ ʤ450ʭʩhʥ̫ʡʥ́ʥ ,

.ʠʬʮʧʥʨʩʡʭʠ>q1ʥ̫ʮʤʧʥʨ́ ʸ ʺ ʥʩ̋ʥ́ʩʣʠʤ̋ ʮʥ̫ʲ ʩʦʠ

ʤʥ̫ʭʲ ʪʥ̋ʩʧʤ̋ ʣʥ̫ʰʡʡʩʁʷʺ ʤ450ʤʦʤyʷʮʡ ,ʭʠ .ʩ̫ʬʧʩʥɦʩʫʭʩhʥ̫ʤhʷʰʠʬʬʬʫ̫ ʩɹʱ ʮʬʥʣʢ

55

"מישור העושר" - השקעה בנכס לא וודאי ʹ ʥʫy ʹ ʩʨy ʴ ʬWʺ ʥʮʫ̡ ʩ̫ʹ ʤʬʬʥʫʩʠʥʤʥX

.ʯʫʥɦʮɦ ʫh ʡ

ʤʠʥ́ʺ ʯ̋ ʥhɦ ʫh ʤr1 ʺ ʥyʡʺ ʱ ʤ(ʲ ʸ ʤʡʶ ʮʡq1( ʤʠʥ́ʺ ʥr2ʺ ʥyʡʺ ʱ ʤ(ʡʥʨʤʡʶ ʮʡq2(.

r1<0<r2

ʲ ʩ̫ʹ ʩʨy ʴ ʤʭʠʯʫʬXʲ ʡʨʡʶ ʮʡʥ́ʥʫy ʱ ʫh ʡ1

:ʤʩʤʩW-X+X(1+r1(=W+r1X

ʲ ʡʨʡʶ ʮʡʥ́ʥʫy2 :ʤʩʤʩ

W+r2X

ʲ ʩ̫ʹ ʤʬy ʧʡʥʤʣʩʮʡʨy ʴ ʤʬ́ ʺ ʬ̡ ʥ̋ʤ̋ʬʧʥ̋X

:ʩʣʩʬ̡ ʯʫʬ̋ ʰʺ ʩhq1u(W+r1X(+q2u(W+r2X(

ʸ ʧʡʩʨy ʴ ʤXʸ ʣɦʤʩʠʰʺ ʥʤʦʩʥʨʩʡʭʱ ʷʮʩ́

:ʤʩʤʩʯʥ́ʠʸ ʤ

q1r1u'(W+r1X(+q2r2u'(W+r2X(=0

56

"מישור העושר" - השקעה בנכס לא וודאי

?ʱ ʫh ʡʲ ʩ̫ʹ ʩʨy ʴ ʤʩ̋ʮ̋ ʥʠʣʥʥʡʲ ʥʡʷʬʯ̋ ʩhʭʠʤ

ʤyʨʮʤ̋ ʩʩʁʷʰʥɹʬ́ ʺ ʸ ʦʢh ʡʤʩʥʬ̋ ʪʫʬʤʡʥ́ʺ ʤʤʣʥ̫ʰʡX=0.

ʺ ʩʡʥʩʧʺ ʥʮʫ̡ ʩ̫ʹ ʩʨy ʴ ʤ́ ʮʮ̋ ʩʡʥʩʧʠʩʤʭʠ

.ʱ ʫh ʡ

.ʱ ʫh ʡʲ ʩ̫ʹ ʤʬʠʬy ʧʡʩʠʥʤ̋ ʩʡʥʩʧʩʠʠʩʤʭʠ

:ʠʩʤ̋ ʸ ʦʢh ʤ ?ʥʦ̋ ʸ ʦʢh ʩʤʮ

q1r1u'(W(+q2r2u'(W(=u'(w((q1r1+q2r2(

.ʺ ʩʡʥʩʧʤʠʥ́ʺ ʹ ʩɦʫh ʬʮ "ʮʠʺ ʩʡʥʩʧʠʩʤyʮʥʬʫ

ʤʠʥ́ʺ ʭʲ ʱ ʫh ʡʺ ʩʡʥʩʧʺ ʥʮʫ̡ ʩ̫ʹ ʩʨy ʴ ʤ :ʤhʷʱ ʮ.ʺ ʩʡʥʩʧ

57

"מישור העושר" - מחירו ה"מקסימאלי" של נכס ̋מסוכן

ʥyʡʺ ʱ ʤʡʹ ʱ ʫh ʯʥ̋ʰ0.9ʤʥʥ́ʤʩʤʩ500, ʺ ʥyʡʺ ʱ ʤʡʥ0.1ʤʥʥ́ʤʩʤʩ0.

ʤʬy ʢʤʤʤhʥ̋ʰʸ ʮʥʬʫ(0,500;0.1,0.9(

ʬ́ ʤʧʥʨʡʤʠʥ́ʺ ʯ̋ ʥhʤɦʫh ʭʩʩ̫4%.

ʹ ʥʫy ʹ ʩʨy ʴ ʬWʺ ʬ̡ ʥ̋ʺ ʩʩʁʷʰʥɹʥVNM, U.

ʩʬʠʮʩɦʷʮʤyʩʧʮʤʥʤʮPʭʬ́ ʬʯʫʥʮʤʩʤʩʨy ʴ ʤ́ʠʩʤʯʠʫʤʨʬʧʤʤʡʬʥʮʩ́ ( ?ʯʫʥɦʮʤɦʫh ʤ̋ ʸ ʥʮ̋ (ʱ ʫh ʤʮ̫ ʬʧʺ ʥh̫ ʬ̋ ʥyʹ ʴ ʠʯʩʠ ,ʠʬʥʠʯʫ ,ʤʣʩʣʡ

:ʭʩʩ̫ʩʤʦʩʬʠʮʩɦʷʮy ʩʧʮ

U(1.04W( = 0.9U(1.04(W-P(+500( +0.1U(1.04(W-P((

ʤʥʥ́ʤʩʤɦʫh ʤʭʠʹ ʡʬʥʮʩ́500ʥyʩʧʮ ,ʺ ʥʠʣʥʥʡʤʩʤʩʬʠʮʩɦʷʮʤ500/1.04.

:ʭʩʩ̫ʺ ʩʯʥʫʩɦʬ́ ʩʣʠʨy ʴ ʤʭʠʹ ʡʬʥʮʩ́

1.04W=1.04W+0.9*500-1.04P :ʸ ʮʥʬʫ

500/P=1.04/0.9=1.155ʥʠP=432.71

58

"מישור העושר" - מחירו ה"מקסימאלי" של נכס מסוכן

ʬ́ ʥʦʮy ʺ ʥʩʤʬʥʣʢʤʠʥ́ʺ ʤʁʸ ʩʯʥʫʩɦʠʰʥ́ʨy ʴ .ʯʥʫʩɦʬ́ ʩʣʠʨy ʴ

.ʥʩ̋ʥɹʣ̡ʤʡʩʥʬ̋ ʷʩʩʥʣʮʤʬʣʥʢʤ

ʺ ʬ̡ ʥ̋ʤ̋ʩʩʁʷʰʥɹʩʣʩʬ̡ ʺ ʥh̋ ʩhʥʩ̋ʥɹʣ̡ʤ́ ʧʩhhVNM , W0.5.

:ʤʠʥʥ́ʮʤ̋ʠʸ ʥ̋ʴ ʰ

(1.04W(0.5= 0.9(1.04(W-P(+500(0.5+0.1(1.04(W-P((0.5

ʸ ʹ ʠʫW=1,000 :ʬʡʷʰ

P=426.1595 r=500/P=1.173 ʸ ʹ ʠʫW=1,200 :ʬʡʷʰ

P=427.4835 ʸ ʹ ʠʫW=1,000ʯʤ̋ʥɹʣ̡ʤʤʥW0.25 :ʬʡʷʰ

P=422.53 ʸ ʹ ʠʫW=1,000ʯʤ̋ʥɹʣ̡ʤʤʥLn :ʬʡʷʰ

P=418.65

.ʯʥʫʩɦʤ̋ʠʰʹ ʡʭʩʩʥhʩ́ʮ̡ ʡʥhʥʬʠʺ ʥʠʶ ʥ̋ʬy ʡʱ ʤʤ .ʺ ʣyʥʩʯʥʫʩɦʤ̋ʠʰʹ ʤʬʥ̡ʹ ʥʫy ʤyʹ ʠʫ

ʺ ʠʰʹ ,ʤyʥ̡ʷʸ ʺ ʥʩ̋ʩ́ʲ ʰʺ ʬ̡ ʥ̋ʤ̋ʩʩʁʷʰʥɹy ʹ ʠʫ.ʤʬʥ̡ʯʥʫʩɦʤ

59

The People Behind the Utility

John Louis von Neumann 1903-1957

Oskar Morgenstern 1902-1976

Maurice Allais 1911- Daniel Ellsberg 1931-

Documents

קבלת החלטות בתנאי אי וודאות גישת תוחלת התועלת