高級中學課程物理學科中心 委辦高中物理教師現代科技進階研習會 ( 中區 )2007 Jan. 15th---17th

半導體：（一）原理 李英德老師（光電系） （二）製程 劉堂傑主任（積體電路技術，電子系） （三）應用 鄭經華老師（積體電路應用，電子系）超導體： 施仁斌老師（電子系）光電科技：（一）基礎光電 陳敬恒老師（光電系） （二）光電半導體與光電元件 劉榮平老師（光電系） （三）光電顯示器 魏明達老師（光電系） （四）光纖通訊及其他光電產業 盧聖華老師（光電系）奈米科技： 蔡雅芝老師（光電系）新興能源： 邱國峰老師（材料系）物理演示教學： 林泰生老師（光電系）

半導體基礎理論簡介 ---- Kittel 固態物理1 、晶體的 X 光繞射2 、晶體中電子的能隙 (energy gap) 與能帯 (energy band)

3 、半導體能隙4 、以”自由電子”看待晶體中的電子行為5 、晶體中電子的能量分布 --Fermi-Dirac Distribution6 、晶體中電子的能量分布 --Fermi energy & Density of states

7 、電子、電洞、等效質量8 、導帶電子與價帶電洞的密度 (n 、 p) 與 mobility 。9 、 p-n junction( 二極體 ) 的整流與光電池效應。

逢甲大學 光電系 李英德 教授2007 Jan. 15th (8:40am - 10:00am)高級中學課程物理學科中心 委辦高中物理教師現代科技進階研習會 (中區 )

正晶格 (direct lattice)--- 倒置晶格 (reciprocal lattice)

ia

2bG

ㄧ維直線晶體：

jb

2b ˆa

2b 21

；二維方形晶體： i

紅色晶格面倒置晶格向量

線性組合成各種和

---G

b b 21

BCC FCC321

213

321

132

321

321

aaaaa

2b

aaaaa

2b

aaaaa

2b

；

；

三維晶體

Bragg Law 與 X 光繞射

n)sin(2d

|'k| |k|

彈性散射

X 光繞射與倒置晶格及 Brillouin zoneEwald construction ：由已知倒置晶格推測 x 光繞射的方向與波長將入射光束 k 向量箭頭端點指在任一倒置晶格點上 (白點 )，並繪製一圓。由 k 向量起點 ( 未必為倒置晶格點 )連至落在此圓周上的任意一個晶格點向量就是散射光向量 k’ 。

2' |G|

21G

21kGk-k

|'k| |k|

彈性散射

Brillouin zone

ㄧ維晶格的 x 光繞射 電子能隙由 Ewald construction 知，ㄧ維晶格發生 x 光繞射的條件為i

a2bG

ㄧ維直線晶體：a

n 2Gn k

x 光電磁波 因週期晶格而造成 Bragg reflection……. 一種「駐波」現象。當週期晶格內的電子 ( 物質波，波數 = k ) 符合 Bragg condition 時也呈現「駐波」現象： 由 exp(+ikx) 和 exp(-ikx) 組合而成的駐波波函數。

x/a)sin(2isin(kx)2iexp(-ikx)-ikx)exp((-)x/a)2cos(2cos(kx)exp(-ikx)ikx)exp()(

駐波電子能量差距：(-) - (+) = 能隙

Nearly free electron model 與 Bloch Theorem

an

2Gn k

能隙發生位置

1st Brillouin zone

Bloch Theorem ： 週期性晶格位能中的波函數型態 2U

x/a)}dx(sin-x/a)(x/a){coscos(2U4

}dx|(-)|-|)(U(x){|E

1) a ....( x/a)cos(22U U(x)

a

0

22

a

0

22g

設則若令

週期擁有與晶格位能相同的 )r(ufunction Block )r(u)rkexp(i)r(

k

kk

週期位能屏障—在正晶格的計算將符合 Bloch 型態的波函數 令 b0 位能高度 ∞

] U(x)dx2

[ 2

22 dm

1 |cos(ka)| |cos(Ka)sin(Ka)(P/Ka)|

2m

22K其中電子能量

)r(u)rkexp(i)r( kk

再由 Bohn’s 邊界條件 可得

代入薛丁格方程式

23)( 02 UmabP

假設

自由電子的情形 ( 沒有晶格位能時 )

2mk

22

不是所有的 k 值 (= n2/L) 都可以。但若某 k 值可以，則所有 k+G 也可以。

2m

G)(k 22

Simple cubic 晶格內的自由電子能量 沿 [100] 方向 ( kx) 的變化。

週期位能屏障—在倒置晶格的計算 -1

則，行列式近似的若只取

。行列式的聯立方程式，及代入上式，則可得係數。、其中

為例，開項的再以只有兩個傅利業展

0 55

0 C /a2g

x/a)cos(22U U(x)

kgg-

igxg

-igxg-

UUU

eUeU

k

k eC ikx (x)

G

iGx (x) U eUG

kk2k

22

U(x)dx2

dm代入 可得代數型態的 Schrodinger Eq

0CU)C-2

(G

G-kGk

22

mk

。行列式，可得則由邊界若考慮

2UE 2x2 /a)g/2 k (zoneBrillouin

g

0

ελU000UελU000UελU000UελU000Uελ

2gk

gk

k

g-k

2g-k

對某個電子的 wavevector k ，此式可解出 5 個能量，亦即 5個能帶對應此 k 的能量。

0 ελU

Uελ

mk

2

22

k

週期位能屏障—在倒置晶格的計算 -2

ㄧ維直線晶格的能帶圖示

Kittel Fig. 9-4

ExtendedBrillouin zone scheme

ReducedBrillouin zone scheme

PeriodicBrillouin zone scheme

絕緣體與導體

絕緣體 導體 導體

導體、半導體、絕緣體)/cm10 ( Si

)/cm10 Ge(

)/cm(10 )/cm(10

310

313

3223

個

個室溫下

個導體半導體個絕緣體

自由電子密度：

純矽晶體

以”自由電子”看待晶體中電子的行為晶體內電子是一個以 k0 為中心分佈的波包，其群速度

k

kgv

外加電場力量對此電子做功的功率 = gg vE-evF

所以， FtkF

tk

非自由電子，卻擁有相同型態的關係式 !

若外加 (電場 +磁場 )的影響，則 Bve-E-eF g

B)(e-Ee-tdkd k2

或

至於晶體對其內「非自由電子」的影響就反映在 k 的 dispersion 關係中。)r()r(

zyx2m- Eqr Schrodinge kkk2

2

2

2

2

22

：自由電子型態的

晶體中電子的自由電子行為 -- 量子力學推導

(x)exp(ika)(x) T kk

TFai T][Hi

dtTd

，

exp(ika) T (x)exp(ika)(x) T kk 可知但從 Ftdkd 所以，

週期 a 的一維晶體中之位移 operator T 的定義：

而且 T 符合量子力學關係式： T][Hi

dtTd

，

當無外力時， H = H0 且 [H0 ， T] = 0當有均勻外力時， H = H0 - Fx 且 [H ， T] = FaT

故，當有均勻外力時，

a)(x (x) T ff

T作用到此晶體中 Bloch 波函數，可得：

值。皆為相同的在值分屬不同能帶，且其但這些波函數線性組合而成；值的也可代表由許多

波函數。值的可代表單一

k zoneBrillouin reducedk Blochk

Blochk

k

k

晶體中電子能量的分布 --Fermi-Dirac Distribution

古典物理 (Maxwell Distribution 理論 )無法解釋1 、金屬比熱與溫度關係 需用 Fermi-Dirac Distribution2 、金屬內自由電子的 mean free path 可長達 1cm ，不受週期晶格影響。3 、自由電子之間的碰撞不頻繁 Pauli exclusion principle 。

free electron gas 佔據 E 能階的機率 f(E) 與溫度 (T) 關係

1 (E) 0 1

1 (E) /)(

fe

f TkE B；

晶體中電子能量的分布— Fermi energy & Density of states以三維 k-空間描繪 Free electron gas 在基態時 (T = 0K) 的能量分布

...... L

4 L

2 0)kk(k ˆkˆkˆkk zyxzyx 、、、、、；

kji

每 (2/L)^3 體積內，對應一個不同大小或方向的量子化波數 (或稱軌域 )；每個軌域可容 2 個電子。

3/2222F

2

F

3

3

32m2m

kenergy Fermi

N/L)(2

3/42

VN

kF

能量 的電子總數目 2/3

23

23

N

mV

)T)D(,(state ofdensity K 0 T

1) V ( 22d

)D(

state ofdensity K 0 T

1/22/3

22

f

mVdN

的

可令

的

半導體分類Elemental semiconductors 如 Ge, Si…… 不含雜質的純半導體 intrinsic semiconductor 含雜質的純半導體 extrinsic semiconductor

Compound semiconductors 複合半導體 如 III-V semiconductor ： GaAs ， InP 。 II-VI semiconductor ： ZnS ， CdS 。 或再添加點 alloy ： AlxGa(1-x)As ， GaxIn(1-x) ， AsyP(1-y) ， GaInNAs ， GaInNAsSb 。

比較矽與鍺的 intrinsic conductivity

溫度越高 intrinsic conductivity 越 ____?同溫度下 , 為何 Ge 比 Si 高 ?

矽與鍺的間接能隙 energy gap

Ge: ～ 0.66 eV(T=300K) ; ～ 0.74 eV(T=0K)Si : ～ 1.11 eV(T=300K) ; ～ 1.17 eV(T=0K)

直接能隙 間接能隙

各種半導體的能隙

溫度越高 Eg 越小 ( 少數例外 )

spin-orbit 作用使得價帶上的p1/2 能態與 p3/2 能態分裂開來。p3/2 能態又對應兩種 hole 等效質量。

Ge 的能帶計算結果e

22

g 2mkE

導帶電子能量h

22

2mk- 價帶電洞能量

Kittel Fig.8-14

Intrinsic 矽晶體內自由電子與電洞電子受熱激發至導帶造成 intrinsic conductivity

電子與電洞 --1由 energy band的對稱性，可知，填滿電子的能帶之總波數 = 0。價帶的 ke電子被激發至導帯後，導帯總波數 (ke) + 價帶總波數 (-ke) = 0。將缺少一個電子的價帶看成擁有波數 (-ke) 的電洞。

電洞的能帶： h

(kh) = e(ke)

入射光的 k << /a

電洞速度 = 電子速度vh(kh) = ve(ke)

)/(v kg

電子與電洞 --2電場 E 、磁場 B 對價帶 (ke) 電子 的影響： )BvE(-eF

tdkd

ee

對電洞而言： vh(kh) = ve(ke) 、 kh = -ke所以，電場 E 、磁場 B 對價帶 (kh) 電洞 的影響：因此，電洞 的電荷 > 0 。)BvE(eF

tdkd

hh

圖示電場 E 對價帶電洞的影響：

外加電場在價帶 (透過 ) 電洞 造成電流 jh在導帶 (透過 ) 激發電子造成電流 je

當 zone boundary 處的 Eg << 自由電子能量，其導帶和價帶的曲率越大 等效質量越小。

等效質量e

22

g 2mkE

導帶電子能量h

22

2mk- 價帶電洞能量

自由電子能量 曲線曲率k-dkd

m1

2m 2

222

k

Fm1F1

tk1

dtdv

1 v

*2

2

22

2g

g

dkd

dd

dkddkd

可知由

量子物理推導

導帶底部電子等效質量 > 0價帶頂部電子等效質量 < 0價帶頂部電洞等效質量 > 0

等效質量的物理詮釋晶格內電子波函數

自由電子項xG)-i(k k xi

kk (x)

eCeC Gk晶格 Bragg 反射項

等效質量的測量

Heavy holeLight hole

*meB 共振吸收頻率

導帶電子與價帶電洞的密度 (n 、 p)--1

) ( 1

1 )( (3)

)E-(22

)(D state ofdensity (2)

2mkE (1)

/)( /)(e

1/2c

2/3

2e

2e

e

22

c

Tkee

f

m

BTk

TkB

B

假設軌域的機率電子佔據

１的電子能量

導帶電子能量由

T])/kE-exp[(2

Tkm2)d()(Dn Bc

3/2

2Be

Eee

c

f度可得導帶的電子電荷密

T])/k-exp[(E2

Tkm2)]d(-)[1(D )d()(D p

T

BV

3/2

2Bh

E-

-eh

E-

-hh

vv

ff

度時，價帶的電洞電荷密同理可得，溫度

。半導體，對

常數。的平衡狀態下，顯然，溫度

T)/2kexp(-E)m(m2

Tk2pnintrinsic

T)/kexp(-E)m(m2

Tk4pnT

Bg4/3

he

3/2

2B

Bg3/2

he

3

2B

導帶電子與價帶電洞的密度 (n 、 p)--2推導 np=常數的過程中只要求 |Ec(v) - | >> kBT ，但未要求半導體為 intrinsic 。即使是有 dope雜質的半導體 (extrinsic) ，也符合 np=常數。

300K Tat

GaAsfor cm106.55

Gefor cm102.89

Sifor cm102.10

np6-12

6-26

-619

dn/dt = dp/dt = A(T) – B(T)np 。 若將半導體想像成處於溫度 T 的黑體輻射平衡態則 dn/dt = dp/dt = 0 ，亦即 np = 常數。

np=常數的物理圖像：

產生 (黑體 )輻射

電子電洞產生，產生速率 =A(T)電子電洞複合，複合速率 =B(T)np

就落在能隙帶的中間。時，所以，當

，可證明半導體對於

mm mmln Tk

43E

21 p)(nintrinsic

eh

e

hBg

導帶電子與價帶電洞的 mobility

mobilitypmobilityne mobilityqn |E|/|v|qn EvqnJ 電洞電子半導體的導電係數

。知由

室溫下晶體 電子 mobility(cm2/Vsec)

電洞 mobility(cm2/Vsec)

鑽石 1800 1200

矽 Si 1350 480

Ge 3600 1800

GaAs 8000 300

SiC 100 15

InAs 30000 450

電洞 mobility < 電子 mobility 。能隙 Eg 越小 導帯電子的等效質量越小 電子 mobility 越大。

Extrinsic 矽晶體內自由電子與電洞………摻雜比例 < 百萬分之一N 型半導體摻雜五價 donor( 施體 ) 原子, 如砷 As, 銻 Sb,…

P 型半導體摻雜三價 acceptor( 受體 ) 原子, 如硼 B, 鎵 Ga,…

Siin meV 20Gein meV 5

eV mm13.6

)2(4m

E e22

0

e4

d e氫原子模型的估計

( 考慮基態的 Ed)

Siin 11.7Gein 15.8

Siin 0.2mGein 0.1m

m e 介電係數；電子等效質量

Donor 游離能(meV)

Acceptor 游離能(meV)

雜質 Si Ge 雜質 Si Ge

P 45 12 B 45 12

As 49 12.7 Al 49 12.7

Sb 39 9.6 Ga 39 9.6

Ed 、 Ea 實驗觀測值

雜質的游離能

室溫下 Ed (或 Ea ) kBT ，所以，室溫下的游離機率就不低。

經由 donor 雜質游離產生導帯電子的所需能量 << 價帶電子直接激發至導帯所需能量。但若溫度太低，也無法經雜質的熱游離激發而產生導電電子。但當溫度上升至某個 臨界溫度以上時，就會立即產生導電電子。實驗結果顯示，溫度超過～ 200K 會引致高純度 Ge 內雜質的熱游離激發。實驗上 intrinsic semiconductor Ge 的 P(磷 )雜質含量可降至～ ppb/c.c. 。

雜質的熱激發游離

Kittel Fig. 8-21

T2kE

-exp2

2NnB

d2/3

2d Tkm Be

低溫 (kBT << Ed) ，且只有 donor 、無 acceptor 時，導電電子密度 n 為

估計臨界溫度：由 kBT ～ Ed ～ 10 meV 及 kBTroom ～ 1/40(eV)可知8

10x10300401000

)ET1000/(40/Ek10001000/T

3-

droomdB

p-n 結 (p-n junction 二極體 )

二極體 ( 電流電壓 )整流特性二極體光電特性

圖片來自 中興物理 孫允武教授

半導體的表面能級

(surface)E(bulk)E FF 熱平衡時：

圖片編輯自 prof. H. Föll

p 型、 n 型半導體的接觸

圖片編輯自 prof. H. Föll

pn 半導體接觸面的電流移動 --1

圖片編輯自 prof. H. Föll

未加偏壓

0(0)J(0)J nrng 在熱平衡下，

0(0)J(0)J prpg 在熱平衡下， 沒有電流

pn 半導體接觸面的電流移動 --2

圖片編輯自 prof. H. Föll

施加正向偏壓坡度下降

T)/k|V|eexp((0)J(V)J B 正向正向

(0)J(V)J 逆向逆向

pn 半導體接觸面的電流移動 --3

圖片編輯自 prof. H. Föll

施加逆向偏壓坡度變大

T)/k|V|eexp((0)J(V)J B- 正向正向

(0)J(V)J 逆向逆向

二極體的整流效應

1] - T)eV/k[exp(II Bs

未加偏壓之二極體 (圖像描述 )

電洞 (p) 電子 (n) 的空間分布變化

二極體任何區域皆符合： np =常數。 此處僅以電子的擴散流動為例。同樣分析亦適用於電洞的擴散流動。

加上偏壓之二極體 (圖像描述 )

(0)JV)(J ngng 逆向

T)/k|V|exp(-e(0)JV)(J Bnrnr 逆向

(0)JV)(J ngng 正向

T)/k|V|eexp((0)JV)(J Bnrnr 正向

沒有電流

二極體的光電池 (solar cell) 效應 (圖像描述 )

沒有電流 有電流