•　　 尋找規則

•國立臺南師範學院數學教育系•　　　　謝　　堅

• 何謂「∞」？

•自然數、整數、有理數、無理數、實數，它們的個數都是∞個，誰的個數比較多 ?

•整數的個數比自然數多嗎 ?多多少 ?•有理數個數比無理數多嗎 ?為什麼 ?

•直線、平面、空間，它們都有∞個點，誰的點的個數比較多 ?

•平面上點的個數比直線上多嗎 ?•空間上點的個數比平面上多嗎 ?•空間上點的個數比平面多多少 ?

•正三角形一個邊、正三角形周界、正三角形區域，它們都有∞個點，誰的點的個數比較多 ?

•三個邊上點的個數和，是一個邊上點的個數的 3倍嗎 ?

•∞＋∞＋∞＝ 3∞?

•這些「∞」個有何異同 ?•各種「∞」之間，是否能比較個數的多與少 ?

•可以簡單的把「∞」區分為「可以點數」與「不可以點數」兩類。

•可點數的∞ vs 不可點數的∞

• 如果一個集合和自然數之間滿足一對一的對應關係，數學上稱這個集合的個數是可以點數的。

•自然數、整數、有理數、無理數、實數的個數都是∞個，那些集合的個數是可以點數的，那些集合的個數是不可以點數的 ?

•自然數可以點數，整數可以點數嗎 ?

•0 、 +1 、 -1 、 +2 、 -2 、 +3 、 -3……，

• 依據這樣的順序排列，整數是可以點數的。

•有理數的個數可以點數嗎 ?•無理數的個數可以點數嗎 ?

•1/1 、 1/2、 2/1 、 1/3 、 2/2 、 3/1 、 1/4 、 2/3 、 3/2 、 4/1 、 1/5 、 2/4 、 3/3 、 4/2 、 5/1 ……

•依據這樣的順序排列，有理數是可以點數的。

•無理數是不可以點數的。•實數也是不可以點數的。•找規則只討論可以點數的範圍。

• 數學歸納法：

•何謂數學歸納法 ?

•人們為什麼要發明數學歸納法 ?•學會數學歸納法有那些幫助 ?

• 1×1+2×2+3×3+4×4+ ….+n×n•＝ n(n+1)(2n+1)/6

•你會利用數學歸納法證明上面的公式成立嗎 ?

•為什麼可以利用數學歸納法證明上面的公式成立 ?

•上面的公式從那裡冒出來的 ?

•平面上相異 n條直線，最多能夠把平面分割成幾個部份 ?

•它是尋找規則的問題嗎 ?•它與數學歸納法有關係嗎 ?•如何找出答案 ?•怎麼知道找出的答案是正確的 ?

• 1×1+2×2+3×3+4×4+ ….+n×n•＝ n(n+1)(2n+1)/6 n ＝ 1時，等式成立。 n ＝ k成立 n ＝ k＋ 1成立。

•為什麼 成立，等式就一定成立 ?

n ＝ 1時，等式成立。• n ＝ 2時，等式成立。 n ＝ k， k+1 成立 n ＝ k＋ 2成立。

成立，等式就一定成立嗎 ?

•遞迴定義法：

•何謂遞迴定義法 ?

•人們為什麼要發明遞迴定義法 ?•學會遞迴定義法有那些幫助 ?

•已知 a1＝ 1， an＝ an-1＋ n，求 an＝ ?

• 上面的式子從那裡冒出來的 ?•求出 an的目的是什麼 ?•遞迴定義法與數學歸納法，它們之間有關係嗎 ?

•一條彎曲成 19折的繩子（如圖），想由上往下剪二刀，請問剪後這一條繩子變成多少段 ?

•有二種解決這類問題的方式：

•第一種：•將該問題視為一個獨立的問題，思考如何直接解決該問題。

•第二種：•將該問題視為一串相關的問題，思考如何透過找規則方式解決問題。

• 第一種：視為獨立的問題

•解法1： •(19–1)÷2＝ 9（右邊彎曲的有9段 )•9+1＝ 10（右邊剪成10段）•10×2＝ 20（左、右共剪成20段）•20+19＝ 39（加上中間剪成19段）。

•解法 2：

•3×19＝ 57( 假設每一折都剪成 3段）

•(19-1)÷2＝ 9(右邊有 9段是重複的）

•9×2＝ 18( 左邊也有 9段是重複的）

•57-18 ＝ 39。

•解法 3：

•2×（ 19-1) ＝ 36( 除了第 1折以外，每一折都被剪成 2段）

•36+3 ＝ 39( 第 1折被剪成 3段）。

•解法 4：

•一刀 2段，二刀 3段， n刀 n+1 段。•19×2＝ 38 （假設將直線拉直，整條直線被剪三十八刀）

•38+1 ＝ 39 （三十八刀有 39段）。

• 第二種：透過找規則解題•解法 1：•1 折　　 3段•2 折　　 5段•3 折　　 7段•4 折　　 9段•5 折　　 11段

•發現成等差數列的規則：

•1 2 3 4 5 n •3 、 5、 7、 9、 11…… 2n+1

•19 折　　 (2×19+1 ＝ 39) 段。

•你接受這種解法嗎 ?

•1 個平面可以將空間分割成 2部份。•2 個平面可以將空間分割成 4部份。•3 個平面可以將空間分割成 8部份。

•4 個平面可以將空間分割成幾部份 ?

•何謂數列？

• 2 、 5、 3.8•1/3 、 4.91 • 67 、 4 、• 46 、•上面這一堆數是一個數列嗎 ?

• 數列是一個函數，而函數是兩組數之間的關係。

•2 、 5、 3.8 、 1/3 、 4.91 、 67 、4

•可以是一個數列，如果你心中認定第一項是 2，第二項是 5，第三項是 3.8 ，第四項是 1/3……。

•數列不一定有規則，數學上通常只討論有規則的數列。

•填填看： •2 ， 3， 5， ( ) ， ( ) ， ( )

•答案只有一組嗎 ?

•2 ， 3， 5， (8) ， (12) ， (17)•2 ， 3， 5， (8) ， (13) ， (21)•2 ， 3， 5， (7) ， (11) ， (13)•2 ， 3， 5， (3) ， (4) ， (6)•2 ， 3， 5， (2) ， (3) ， (5)•2 ， 3， 5， (12) ， (13) ， (15)•2 ， 3， 5， (20) ， (30) ， (50)

•那些答案是合理的 ?•你還可以找到其它的答案嗎 ?

•當你確定一組數列時，你能找到這組數列的第 n項（ n∞）嗎 ?

•假設對應關係是 f(x) ＝ axx+bx+c•f(1)=a+b+c=2•f(2)=4a+2b+c=3•f(3)=9a+3b+c=5•解聯立方程式之後，就可以找到一組對應關係，滿足第一項是 2，第二項是 3，第三項是 5的關係。

•像這樣的對應關係可以有∞組。

•對應關係 g(x) ＝ axxx+bx+c•對應關係 h(x) ＝ asinx+bcosx+c

•知道一個數列的前三項，一定可以找到上面的對應關係，也就是說，可以確定一組數列。

• 知道一個數列的對應關係，能夠確定一個數列嗎 ?

•知道一個數列前面幾項，也知道這個數列的對應關係，就能夠確定一個數列嗎 ?

• 只知道一個數列的部份項，無法確定這個數列。

•只知道一個數列的對應關係，也無法確定這個數列。

•知道一個數列的首項及對應關係，才能夠確定一個數列。

•1折： a1=3•2折： a2=a1＋ 2( 剪 2刀，多出 2段）•3折： a3=a2＋ 2( 剪 2刀，多出 2段）

•n折： an=an-1＋ 2( 剪 2刀，多出 2段）

•每多出1折（例如8折變成 9折），就比原來（8折時）多出 2段。

•遞迴定義：•a1＝ 3 （首項）•an＝ an-1 ＋ 2 （前後項對應關係）

•求 an＝？（第 n項是什麼）

•a1=3•a2=a1＋2•a3=a2＋2•a4=a3＋2 an＝ 3+2(n-1)• ＝ 2n+1•an=an-1＋2

•利用數學歸納法，證明透過遞迴定義所找出來的第 n項是正確的。

•找規則的三個步驟：

• 步驟一：• 找出規則，並使用遞迴定義的方式把規則記錄下來。

•遞迴定義中必須包括首項，以及前後項的對應關係。

•台灣學生缺少這部份的學習經驗。

• 步驟二：•透過遞迴定義找出第 n項。

•透過遞迴定義找出第 n項是數學問題，高中課本或微積分課本中有相當多此類問題。

• 步驟三：•利用數學歸納法證明找出的第 n項成立。

•數學歸納法證明是數學問題，高中課本有很多數學歸納法的證明題。

•問題 1：•河內塔。

•問題 2：•虧格。

•問題 1：河內塔

•a1＝ 1(一層只要搬 1次）•a2＝ 3(二層時要搬 3次）•a3＝ 7(三層時要搬 7次）

•數列的規則不重要，重要的是找到n層與 n+1層的關係。

•假設有 4層：•一定要先將上面的 3層由甲柱搬到乙柱 (a3次 ) ，再將最下面的 1層由甲柱搬到丙柱 (1次 ) ，最後再將乙柱的 3層搬到丙柱 (a3次 ) ，合起來要搬 (a4＝ 2a3+1)次。

•當 n層時也適用 (an＝ 2an-1+1) 。

•a1＝ 1•a2＝ 2a1+1 ＝ 2×1＋ 1＝ 3•a3＝ 2a2+1 ＝ 2×3＋ 1＝ 7•a4＝ 2a3+1 ＝ 2×7＋ 1＝ 15•a5＝ 2a4+1 ＝ 2×15 ＋ 1＝ 31•….•依據規則可以求出有限項的答案。

•步驟 1 ：找出規則。•a1＝ 1（首項）•an＝ 2an-1+1 （ n項 n+1 項）

•步驟 2 ：求出一般項。 an＝ 2(n次方） -1

•步驟 3 ：數學歸納法證明成立。

•問題 2：虧格

•虧格圖形：•虧格：•空格：

•邊長是 2的虧格圖形：•用 1塊可以填滿（ a1=1) 。

•邊長是 2×2的虧格圖形：•等分成四個邊長是 2的虧格圖形，不論空格在那裡，用 5塊虧格來排(a2=4a1＋ 1)一定可以填滿。

•邊長是 2×2×2的虧格圖形：•等分成四個邊長是 2×2的虧格圖形，不論空格在那裡，用虧格來排一定可以填滿 (a3=4a2＋ 1) 。

•邊長是 2(n次方）的虧格圖形：•不論空格在那裡，用虧格來排一定可以填滿 (an=4an-1＋ 1) 。

•問題 3：•平面（空間）上相異 n點最多可以決定幾條直線 ?

•問題 4：•平面（空間）上相異 n點最多可以決定幾個三角形？

•問題 3：•平面（空間）上相異 n點最多可以決定幾條直線 ?

•相異兩點恰決定一條直線。•C(n ， 2) ＝ n(n+1)/2 。

•a2＝ 1（二點決定一條直線）•a3＝ a2＋ 2（多的那一點和原來的二點，可以多決定 2條直線）

•a4＝ a3＋ 3（多的那一點和原來的 三點，可以多決定 3條直線）

•a5＝ a4＋ 4（多的那一點和原來的 四點，可以多決定 4條直線）

•n 點時規則也成立嗎 ?

•an＝ an-1＋ n-1 （多的那一點和原來的 n-1點，可以多決定 n-1條直線）。

•a2＝ 1， an＝ an-1＋ n-1 an＝ n(n-1)/2 。

•a2＝ 1•a3＝ a2＋ 2•a4＝ a3＋ 3•a5＝ a4＋ 4 　 an＝ 1+2+3+…+n-1

•…… ＝ n(n-1)/2•an＝ an-1＋ n-1

•問題 4：•平面（空間）上相異 n點最多可以決定幾個三角形？

•不共線的 3點恰決定一個三角形。•一線段和線外一點恰決定一個三角形。

•C(n ， 3) ＝ n（ n-1)(n-2)/6 。

•b3＝ 1•b4＝ b3＋ 3 •　＝ b3＋ a3

•多的那一點和原來三角形的 3個邊，可以多決定 3個三角形，而原來三角形的三個邊剛好由 a3所決定。

•b5＝ b4＋ a4•請說明成立的理由 ?•bn＝ bn-1＋ an-1•推到 n 點時規則是否也成立 ?

•b3＝ 1， bn＝ bn-1＋ an-1 bn＝ n（ n-1)(n-2)/6 。

•問題 5：•相異 n條直線最多可以把平面分割成幾個部份 ?

•問題 6：•相異 n個圓最多可以把平面分割成幾個部份 ?

•問題 5：•相異 n條直線最多可以把平面分割成幾個部份 ?

•a1＝ 2•(1 條直線 L1把平面分割成 2部份）•a2＝ 4•　＝ a1＋ 2（為什麼會多出 2部份）

•a2＝ a1＋ 2(將 2視為 1+1)•第一條直線 L1把平面分割成左右兩部份，第二條直線 L2和第一條直線 L1相交於一點 P， P點把直線 L2分割成 2段，每一段會多出 1部份， 2段會多出 2部份。

•a3＝ a2＋ 3(將 3視為 2+1)•L1與 L2二條直線把平面分割成四個部份，第三條直線 L3和二條直線會有 2個交點，這二個交點把直線 L3分割成 3段，每一段會多出 1部份， 3段會多出 3部份。

•推到 n 點時規則是否也成立 ?

•an＝ an-1＋ n（將 n視為 (n-1)+1 ）

•請說出成立的理由。

•a1＝ 2， an＝ an-1＋ n an＝ 1+(1+2+3+….+n)• ＝ n(n+1)/2 ＋ 1• ＝ (nn+n+2)/2

•a1＝ 2•a2＝ a1＋ 2•a3＝ a2＋ 3 an＝ 1+(1+2+3+…+n)

•a4＝ a3＋ 4 ＝ n(n+1)/2 ＋ 1•…. ＝ (nn+n+2)/2•an＝ an-1＋ n

•問題 6：•相異 n個圓最多可以把平面分割成幾個部份 ?

•一個圓把平面分割成 2部份。•二個圓有二個交點。

•a1＝ 2•(1 個圓 C1把平面分割成 2部份）•a2＝ 4•　＝ a1＋ 2（為什麼會多出 2部份）

•a3＝ 8•　＝ a2＋ 4（為什麼會多出 4部份）

•a4＝ ?

•a1＝ 2•an＝ an-1＋ 2(n-1) an＝ 2＋ 2(1+2+3+….+n-1)• ＝（ nn-n+2)/2

•a1＝ 2•a2＝ a1＋ 2•a3＝ a2＋ 4 an＝ 2+(2+4+…+2n-2)

•a4＝ a3＋ 6 ＝ 2＋ 2(1+2+.+n-1)

•…. ＝（ nn-n+2)/2•an＝ an-1＋ 2(n-1)

•問題 7：•相異 n個平面最多可以把空間分割成幾個部份 ?

•問題 8：•相異 n個四邊形最多可以把平面分割成幾個部份 ?

•問題 7：•相異 n個平面最多可以把空間分割成幾個部份 ?

•b1＝ 2•(1 個平面 E1把空間分割成 2部份）•b2＝ 4•　＝ b1＋ 2（為什麼會多出 2部份）

•b2＝ b1＋ 2•　＝ b1+a1( 線分割平面）•第一個平面 E1把空間分割成左右兩部份，第二個平面 E2和第一個平面 E1相交於一線 L， L把平面 E2分割成 2塊，每一塊會多出 1部份， 2塊會多出 2部份。

• 一條直線可以把平面分割成 2塊。

•b3＝ b2＋ 4•　＝ b2+a2( 線分割平面）

•請說明理由。

•b4＝ b3＋ a3• 請說明理由。•bn＝ bn-1＋ an-1• 請說明理由。

•b1＝ 2， bn＝ bn-1＋ an-1 bn＝

•問題 8：•相異 n個四邊形最多可以把平面分割成幾個部份 ?

•兩個四邊形最多有 8個交點。