1. 什么叫二次根式？

叫做二次根式。式子 )0( aa

2. 两个基本性质 :

复习提问

=aa (a≥ 0)

2a

2a-a (a ＜ 0)

==∣a∣

(a≥ 0)

思考：二次根式的除法有没有类似的法则呢？

请试着自己举出一些例子．

3. 二次根式的乘法：

算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根

积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根 .

复习提问

ab ba )0,0( ba

abba (a≥0,b≥0)

9

4,

9

4.1

49

16,

49

16.2

9

4

9

4

49

16

49

16

0,0 bab

a

b

a

两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数

3

23

2

7

4

7

4

计算下列各式 , 观察计算结果 , 你发现什么规律 ?

3

2

3

2(3)

5

2

5

2＝ ＝

规律 :

0,0 ba

例４：计算

18

1

2

32

3

241

解：

83

24

3

241 2224

182

3

18

1

2

3

18

1

2

32 93

b

a

b

a

两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数

33

试一试试一试1050

(2) 232

)1(计算：

10

7

5

143

6

15

2

112)4(

解：

原式)3(

原式)4(

10

7

5

14 ＝

7

10

5

21＝ 6＝

2 1 11

5 2 6＝ 2 3

65 2

＝6

5＝

如果根号前有系数，就把系数相除，仍旧作为二次根号前的系数。

4162

32

2

321 5

10

50

10

502

b

a

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。

0,0 ba

例 5 ：化简

10

3

100

3

100

31 解：

y

x

y

x

y

x

3

5

9

25

9

253

22

b

a

两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数

16

31)2(

100

3)1(

＝）（16

312

注意：如果被开方数是带分数，应先化成假分数。16

19

16

19＝

4

19＝

29

253

y

x

练习一：

9

721)( 2

81(2) 0

25x

x

196640

1690904

×.

×.)(

2

2

16(3) 0, 0

b ca b

a

3

5

9

25

9

25

9

721 ＝＝＝）（解：

x=

x=

x)(

5

9

25

81

25

812

22 ca

b=

a

cb=

a

cb=

a

cb)(

4416163

2

2

2

2

112

39

1480

1330

196640

169090

196640

1690904 =

×.

×.=

×.

×.=

×.

×.)(

例 6 ：计算

b

a

b

a

b

a

b

a 0,0 ba

a2

83

27

232

5

31

5

3

5

3..1 解法

55

53

5

15

25

15

25

15

55

53

5

3..2

解法5

15

3

6

33

32

33

23

27

232

a

a

a

a

aa

a

a

2

2

4

22

28

2

83

解： 1

在二次根式的运算中， 最后结果一般要求

(1) 分母中不含有二次根式 .

(2) 最后结果中的二次根式要求写成最简的二次根式的形式 .

把分母中的根号化去 , 使分母变成有理数 , 这个过程叫做分母有理化。

1. 被开方数不含分母

2. 被开方数不含能开得尽方的因数或因式

练习：把下列各式化简 ( 分母有理化 ) ：

73

241－）（

ba

a22

＋）（

403

23）（

73

241－）（

＝＋

）（ba

a22

＝）（403

23

解：

注意：要进行根式化简，关键是要搞清楚分式的分子和分母都乘什么，有时还要先对分母进行化简。

773

724

•

•－＝ ；

－＝

21

144

baba

baa2

＋＋

＋

• ba

baa2

＋＋

＝

1023

2

• 10106

102

•

•＝

60

20＝

30

5

60

52＝＝

1. 在横线上填写适当的数或式子使等式成立。练习二：

2. 把下列各式的分母有理化：

8

381－）（

27

232）（

a10

a53）（

xy4

y24

2

）（

3. 化简：

95191 ÷）－（ ）（－）（4

12

2

3

48

192 ÷

623

4 ＝）（•1a3 －）（ （ ）＝ a － 1

•522）（ （ ）＝ 10•81）（ （ ）＝ 42

a 1－

5

3

5 、如图，在 Rt ABC△ 中 , C=90∠ 0

，∠ A=300 ， AC=2cm, 求斜边 AB的长

A

B

C

.4

m>5

5m

1、解：要使等式成立，m必须满足

m-3 0

m-5>0

思考题：

）的值。（求

，＝－－＋＋－满足、、已知实数

b

1

a

b

b

aa2

03a4b3

111ba4ba2

֥

4 11 0 1, 41

4 3 03

a ba

b a

2、解：要使原式有意义，必须

解得b=12

1

412

a

b

因为

a b 12a

b a b

112 14112 124

1 1 148

2 48 12

1 148 12

2 481 112 2 3 3

2 2

（ ）

1=2

4

1. 利用商的算术平方根的性质化简二次根式。课堂小结：

)>≥a(b

a=

b

a0b0，

3. 在进行分母有理化之前，可以先观察把能化简的 二次根式先化简，再考虑如何化去分母中的根号。

2. 二次根式的除法有两种常用方法：

（ 1）利用公式：

（ 2）把除法先写成分式的形式，再进行分母有理 化运算。

必做题：必做题：

第第 1515 页习题页习题 21.221.2

第第 22 、 、 33 、、 66 题题

选做题选做题 : : 第第 77 、、 88 题题