关于“微元法”的研究

朱建廉

南京市 金陵中学

关于“微元法”的理性研究

关于“微元法”的运用研究

关于“微元法”的理性研究

1 、基本功能

2 、基本原理

3 、操作步骤

4 、取元原则

5 、换元目标

6 、换元技巧

1 、基本功能 ——“化变为恒”

即：把变化的事物与过程转化为不变的事物与过程

2 、基本原理 ——“釜底抽薪”

即：通过限制“时空”来限制“变化”而实现化变为恒

3 、操作步骤 ——取元 ——表达 ——叠加

（ 1 ）“取元”

（ 2 ）“表达”

（ 3 ）“叠加”

——选取“微元”反映“元”事物或“元”过程

——视“元”事物或“元”过程为恒定而表达 xxfy ],[ bax

——在叠加域内对“元”事物（过程）叠加

bx

ax

bx

ax

xxfyy

4 、取元原则 ——可加 ——有序 ——平权 （ 1 ）“可加性”原则

（ 2 ）“有序性”原则

（ 3 ）“平权性”原则

——选取“微元”必须具备“可加性”特征

——所选“微元”呈“有序性”而便于叠加

——使“微元”的“权函数”为常量而平权

abkxkxxfyybx

ax

bx

ax

bx

ax

5 、换元目标 平权

xxfyyf 21如果

vkuk 21换元

1k平权 1k与 均为常量

6 、换元技巧

（ 1 ）“时间元”与“空间元”间的相互代换 ——运动的时空代换

（ 2 ）“体元”、“面元”与“线元”间的相互代换

——维度的适当转换

（ 3 ）“线元”与“角元”间的相互代换 ——形式的适当调整

（ 4 ）“孤立元”与“组合元”间的相互代换

——对称的充分利用

关于“微元法”的运用研究

v

例 1 ：如图所示，人牵着绳在岸上运动，而绳绕过定滑轮牵着小船在水中运动。若人的运动是匀速的，则小船的运动是 （ ） A 、加速运动 B 、匀速运动 C 、减速运动 D 、无法确定

v

解：设人的速度为 v ，小船的速度为 u ，取时间微元 Δt ，有

θ A

B

C

tvAB

tuAC

cosACAB

船靠岸θ变大 选A

由 知：cos/vu u 变大

例 2 ：如图所示，正方形闭合导线框以速度 v0 在光滑绝缘水平面上匀速运动，穿过有理想边界的匀强磁场区域后以速度 v 做匀速直线运动，则当完全处在磁场区域内时的运动速度 u 为 （ ）

A 、 u > (v0+v)/2 B、 u = （ v0+v） /2

C 、 u < (v0+v)/2 D、无法确定v0

maR

vBL

22

u

v

L

vxmR

BL

00

22

v

u

L

vxmR

BL

0

22

0

23

vumR

BL

解： 同乘时间元 Δt tmatvR

BL

22

vxmR

BL

22

mR

BLxf

22

1vf

平权

入场 出场

uvmR

BL

23

vvu 02

1所以选 B

解：（ 1 ） fB 不做功，于是

例 3 ：在磁感应强度为 B 的水平匀强磁场中，质量为m 、带正电 q 的小球从 O 点处由静止释放，其运动轨迹如图中曲线所示，重力加速度为 g 。求：

x

y

O

B

P （ x ， y）

（ 1 ）小球运动到任意位置 P （ x ， y ）处的速率 v ；（ 2 ）小球在运动过程中第一次下降的最大距离 ym ；（ 3 ）当在上述磁场中加一竖直向上场强为 E （ qE>mg

）的匀强电场时，小球从 O点静止释放后获得的最大速率 vm 。

2

2

1mvmgy gyv 2

解：（ 2 ）沿水平方向的动力学方程为

xy maBqv

tmatqBv xy

xvmyqB

mm v

x

y

vmyqB00

mm mvqBy

2

2

1mm mvmgy

于是

而22

22

Bq

gmym

解：（ 3 ）仍沿用（ 2 ）中的分析过程

xy maBqv

tmatqBv xy

xvmyqB

mm v

x

y

vmyqB00

mm mvqBy

2

2

1mm mvmgy qB

mgvm

2

以（ qE-mg ）替换 mg

qB

mgqEvm

2

例 4 ：如图所示，空间存在着水平方向匀强磁场，磁感应强度 B=5T,磁场区域的上、下边缘相距 h=0.5m ，边长 L=0.2m、质量 m0=0.1kg的正方形导线框 abcd 与质量m=0.5kg的小物块用跨过两个定滑轮的轻质细线相连，开始时线框的 ab 边距磁场区域下边缘 h0=0.6m，而小物块则位于倾角θ=370 的斜面上的 O 点处，将小物块和线框由静止释放，小物块沿斜面滑至 P 点时线框的 ab 边恰好进入磁场，接着小物块继续沿斜面下滑 s=0.6m至 Q 点而静止，线框所在平面始终与磁场方向垂直，斜面上 OP段光滑而 PQ段与小物块间的动摩擦因数为 μ=0.5，重力加速度取 g=10m/s2 ,sin370=0.6。求

Q

a bcd

m

0

P

θh0

h

（ 1 ）线框的 ab 边刚进入磁场时的速度 v0 ;

（ 2 ）线框中产生的焦耳热Q ;

（ 3 ）线框的电阻 R 。

解：（ 1 ）从静止释放到线框的 ab 边恰好进入磁场的过程中，小物块和线框构成的整体机械能守恒，于是有

200000 2

1sin vmmghmmgh

由此解得smv /20

（ 2 ）从静止释放到小物块与线框最终静止，小物块减少的重力势能分别转化为线框增加的重力势能、小物块在 PQ段克服摩擦做功产生的摩擦热和线框中产生的焦耳热，于是

Qmgsshgmshmg cossin 000

由此解得JQ 2.1

（ 3 ）设线框在进、出磁场的过程中某时刻速度为 v ，线框全部进入磁场时的速度为 u ，则以小物块和线框构成的整体为研究对象可得

ammR

vBLgmmg 0

22

0cossin

考虑到 0cossin 0 gmmg

所以线框全部进入磁场时将做匀速直线运动，而

x

vv

t

va

由此可得

vxRmm

BL

0

22

vxRmm

BL

0

22

x ： 0—Lv ： v0—u

x ： 0—L/2v ： u—0

uvRmm

BL

00

23

uRmm

BL

0

23

2

针对微元表达式在“入场”和“出场”阶段实施叠加

于是有

3.02

3

00

23

vmm

BLR

O

M

Nθ

v0

b

B

x

y

a

例 5 ：如图所示，顶角 θ=45° 的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。一根与 ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r 。导体棒与导轨接触点 a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。 t=0 时，导体棒位于顶角 O 处，求：

（ 1 ） t 时刻流过导体棒的电流强度 I和电流方向；（ 2 ）导体棒作匀速直线运动时水平外力 F 的表达式；（ 3 ）导体棒在 0 ～ t 时间内产生的焦耳热 Q ；（ 4 ）若在 t0 时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标

x 。解： （ 1

）Btvv 00

trv022 I= r

Bv

220

O

M

Nθ

v0

b

B

x

y

a

例 5 ：如图所示，顶角 θ=45° 的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。一根与 ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r 。导体棒与导轨接触点 a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。 t=0 时，导体棒位于顶角 O 处，求：

（ 1 ） t 时刻流过导体棒的电流强度 I和电流方向；（ 2 ）导体棒作匀速直线运动时水平外力 F 的表达式；（ 3 ）导体棒在 0 ～ t 时间内产生的焦耳热 Q ；（ 4 ）若在 t0 时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标

x 。解： （ 2

）

tBIvF 0 trBv

22

220

O

M

Nθ

v0

b

B

x

y

a

例 5 ：如图所示，顶角 θ=45° 的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。一根与 ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r 。导体棒与导轨接触点 a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。 t=0 时，导体棒位于顶角 O 处，求：

（ 1 ） t 时刻流过导体棒的电流强度 I和电流方向；（ 2 ）导体棒作匀速直线运动时水平外力 F 的表达式；（ 3 ）导体棒在 0 ～ t 时间内产生的焦耳热 Q ；（ 4 ）若在 t0 时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标

x 。解： （ 3

） trBv

F22

220

0

F

tt

Ft

W =Q 2

220

222tr

BvQ

O

M

Nθ

v0

b

B

x

y

a

例 5 ：如图所示，顶角 θ=45° 的金属导轨 MON固定在水平面内，导轨处在方向竖直、磁感应强度为 B 的匀强磁场中。一根与 ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度 v0 沿导轨 MON 向右滑动，导体棒的质量为 m ，导轨与导体棒单位长度的电阻均为 r 。导体棒与导轨接触点 a 和b ，导体棒在滑动过程中始终保持与导轨良好接触且摩擦不计。 t=0 时，导体棒位于顶角 O 处，求：

（ 4 ）若在 t0 时刻将外力 F撤去，导体棒最终在导轨上静止时的坐标x 。解：（ 4

）yvB

yr)22( yB ma tt

xtv

vta vmxy

r

B

)22(

2

sxy vmsr

B

)22(

2

叠加

v0t0 x

)0()(2

1

)22(0

20

20

22

vmtvxr

B

2

0202

0)22(2tv

B

rmvx

练习

v0

v = ?

θ

1 、如图所示，带有动滑轮的物体放在水平面上，轻绳绕过动滑轮而一端固定、另一端又绕过定滑轮被人拉着，动滑轮与固定端之间的那段绳呈水平状态，人以速度v0 匀速向右运动，则当动滑轮与定滑轮之间的那段绳与水平面夹 θ角时，物体的速度为 （ ）

A 、 cos0vv

B 、 sin0vv

C 、cos

0vv

D 、cos1

0

vv

练习

2 、如图所示，用线相连的 A 、 B 两环分别套在水平杆和竖直杆上，今使 A 环以速度沿感向右匀速运动，当线与竖直杆夹角为θ时， B 环的速度为多大？

A

B

v

θ

练习

O

v0x/L0

y B B

…

1 2 3 4

3 、如图所示，以水平向右为 x 轴正方向、竖直向下为 y 轴正方向建立坐标系，坐标平面内自原点起，沿 x 轴正方向每隔 L=0.5m有一个宽度为 L 的匀强磁场，磁感应强度为 B=2T。取质量 m=0.2kg、边长L0=0.25m、电阻 R=0.8Ω的正方形导线框，使其从左上角顶点与坐标原点重合的位置起，以 v0=5m/s的速度水平抛出。

（ 1 ）若导线框被悬挂在与 x 轴重合的光滑导轨上运动，经过时间 t1

、导线框的水平位移为 x1 时其水平速度恰好为零，此时悬挂自动解除线框沿竖直方向运动，则：求 x1 的大小并判断沿竖直方向所作运动的类型；

（ 2 ）若导线框没被悬挂而水平抛出，经过时间 t2 、导线框的水平位移为 x2 时其水平速度恰好为零，试判断： t1 与 t2 间的大小关系、 x1 与x2 间的大小关系，并简要说明判断的理由。

练习 4 、如图所示，两根足够长的固定平行金属导轨位于竖直平面内，导轨间距为 d=0.5m，导轨上横放着两根导体棒 L1 和 L2 ，质量均为m=0.5kg，电阻均为 R=0.1Ω，回路中其他电阻不计。整个导轨平面处在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，磁感应强度为 B=1T。两根导体棒均可沿导轨无摩擦滑动，保持 L1 向上以速度 v 作匀速运动，在 t=0时刻将靠近 L1 的 L2 由静止释放（刚释放时两棒间距可以忽略），经过一段时间后 L2也作匀速运动，重力加速度取 g=10m/s2 。

L1

L2

B

（ 1 ）为使 L2 由静止释放后向下运动， L1 的运动速度 v 应如何？

（ 2 ）若取 v=3m/s，则 L2 的加速度 a 随其速度 u 变化的函数关系如何？

（ 3 ）若取 v=3m/s，且在 L2已经作匀速运动的某时刻两棒间距为 x0=4m，则在此时刻之前 L2 下降的距离为多大？