Цифровая обработка сигналов

20 феврвля 2003 Компьютерная графика Лекция 3 Астана

1

Цифровая обработка сигналов

Лекция 3

Астана, 20 февраля 2003Исползуются материалы из лекции А. Ван Дама


2

Междисциплинарность


3

Сигналы и системы


4

Однородность


5

Аддитивность


6

Линейные системы

• y(t) = L{x(t)}

• L{af + bg} = aL{f} + bL{g}

•L{ag} = aL{g}

•L{f + g} = L{f} + L{g}


7

Инвариантность к сдвигу


8

Инвариантность по времени

• if y(t) = f(x(t)), then y(t-T) = f(x(t-T))

• if y[n] = f(x[n]), then y[n-m] = f(x [n-m])


9

СВЕРТКА

Convolution


10

Дискретизация во временной области

i

inixnx ][][][

0,0

0,1][

n

nn


11

Дельта-функцияИмпульсный отклик


12

Свертка в ЦОС (DSP)

k

khknxny ][][][


13

Свертка

dttgtxfxgxf )()()()(

• Свертка (перемножение) двух функций эквивалентна перемножению (свертке) их образов Фурье

• Фильтрация: умножение на фильтр в частотной области или свертка в пространственной.


14

Свертка с прямоугольным ядром


15

Дискретная свертка

1

0

1

0

L

Ll

M

Mmmlmjliji gfhgfh ,,,:

• g называется фильтромфильтром или ядром сверткиядром свертки• Замечание: с точки зрения математики f и g

абсолютно равноправны...

• Двумерный случай


16

Пример свертки


17

Комоненты выходного сигнала


18

Два способа вычисления выходного сигнала

• Каждая точка сигнала превращается в функцию h ( в нужную точку и умноженную на величину данной точки сигнала ), а потом все эти функции складываются.

• Вычисляется значение каждой точки в результирующем сигнале как взвешенная сумма некоторого множества соседних точек исходного сигнала. Коэффициенты этой суммы совпадают с импульсной характеристикой линейной системы, развернутой относительно точки 0.


19

Машина свертки


20

Анализ Фурье

The Discrete Fourier Transform


21

Преобразование Фурье

dxxixfF )exp()()(

dxiFxf )exp()(2

1)(

)(arg)(tg,)()( FFA

• Преобразование Фурье (образ Фурье):

• Обратное преобразование Фурье:

Преобразование Фурье


22

Дискретный случай

2

0

2

0

2

0

)(2cos

2sin

2cos][

N

k

kk

N

kk

N

kk N

nkC

N

knB

N

knAnx

1

0

2cos][

2 N

ik N

kiix

NA

1

0

2cos][

1 N

ik N

kiix

NA

1

0

2sin][

2 N

ik N

kiix

NB

12

,...,1 N

k

2,0

Nk

2,...,0

Nk


23

Ряд Фурье для прямоугольного импульса


24

Спектр некоторых функций


25

Пример преобразования Фурье

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

)(xf

)(F

-100 -50 0 50 100-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80


26

Низкочастотная фильтрация

)(xf

)(F

-100 -50 0 50 100-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 50 100 150 200 2500

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1


27

Фильтрация

• Фильтрация — выделение (или подавление) частотных составляющих сигнала.

• ФильтрФильтр — функция, осуществляющая фильтрацию.

• Высоко-Высоко- и низкочастотныенизкочастотные фильтры. (High-pass and low-pass filters)

Фильтрация


28

Фильтры низкой и высокой частоты


29

Гауссиан (sigma=16)


30

Гауссиан (sigma=32)


31

2-D Gaussian kernel


32

Размытие (blur)

1

121

1

6

1


33

Размытие (прод)

12321

24542

35653

24542

12321

74

1


34

Увеличение резкости

1

151

1


35

Свертка - дифференцирование


36

Выделение контура

1

141

1

+ порог


37

Тиснение

1

101

1

+ сдвиг яркости


38

Примеры фильтров

• Размытие (blur)


39


• Повышение четкости (sharpen)


40


• Нахождение границ (edges)


41


• Тиснение (embossing)


42

Как работает маска фильтра


43

Масштабирование изображений

Scaling Up and Down


44

Растянуть сигнал


45

Реконструкция сигнала


46

Повторная дискретизация


47

Нужна ли реконструкция?


48

Треугольный фильтр


49

Вычисление нового значения


50

Вычисление нового значения


51

Увеличение в 3 раза


52

Увеличение в 2 раза


53

Свертка


54

Ядро свертки


55

Универсальный фильтр


56

Псевдокод Вычисление значения пиксела k в целевом изображении

function h-hat(int k, float a){ //returns float float sum = 0, weights_sum = 0; int left, right; if (a > 1){

left = ceil(k/a - 1.0); right = floor(k/a + 1.0);

} else { left = ceil(k/a - 1.0/a); right = floor(k/a + 1.0/a);

} for (int i = left; i <= right, i++){

sum += g(i - k/a, a) * orig_image.Pi;

weights_sum += g(i - k/a, a); } result = sum/weights_sum;

}


57

Двумерный случай


58

Квадратная маска


59

Материалы для чтения

Задание №2. Цифровая обработка сигналов.

http://graphics.cs.msu.su/courses/cg02b/

assigns/hw-2/hw2.html

А. Лукин «Введение в цифровую обработку сигналов»

http://graphics.cs.msu.su/courses/cg02b/

library/dspcourse.pdf

Documents

Цифровая обработка сигналов