x

x

سوم فصل ... ادامه

باشد مي سطح افزايش ها پره كار نيوتن .اساس سرمايش قانون از استفاده بازير معادله صورت سطح به افزايش با توان مي را حرارت انتقال

داد عبارتند افزايش صنعت در استفاده مورد هاي رادياتور : پره شوفاژ ازو يخچال ... كندانسور

ها پره

، ، ، ThAq

پره ساده

با لولهپره

هاي پرهاي يا ميله

سوزني مثل)

كندانسور يخچال (

هاي پرهمثلثي

ساده پره يك براي عمومي ديفرانسيل )Simple Fin( معادله

سطح يك از حرارتي جابجايي گرم اتالف طريق از فقط

q = hA )Tw – (Tw

T

جابجايي و هدايت طريق از حرارت x = 0 اتالف

x = L

پره بدونپره انتهاي

dxdTkAq c

q = hAs )Tw – (Tحرارت اينكه از قبل

بشود است qxواردالمان از بعد

qx+dx است

T

x = 0

x = L

dx

المان دارد وجود پره آن در كه اي صفحه گيريم در مي نظر در اين را درپره ابتداي براي حرارتي .است حالت اتالف براي اي معادله خواهيم مي

آوريم دست به پره از استفاده با صفحه : از

dx،x = 0

چپ = سمت از ورودي حرارت راست انتقال سمت از هدايت طريق از حرارت انتقال

جابجايي + حرارت انتقال

qx = qx+dx + qconvection

)( TThAdxdTkA

dxdTkA wdxx

)(2

2

TThAdxdx

TdkAdxdTkA

dxdTkA w

0)(2

2

TThAdxdx

TdkA w

دهيم انجام را زير فرضيات بايد فوق معادله حل : براي

Data اطالعات

كلي -1 حالت Ts = Tw = T در

با -2 را پره محيط دهيم اگر نشان P sAPdx

TT

4-

3-

2

2

2

2

dxd

dxTd

0)(2

2

TThPdxdxdx

TdkA بر را معادله اين طرفين كنيم حال مي داريم تقسيم : -kAd x، 0)(2

2

TkAhP

dxTd T w

02

2

kAhP

dxd

جاي به شد مقداراگر خواهد مقابل صورت به ها پره كلي معادله دهيم قرار را . kAhP

m

پره كلي معادله

022

2

mdxd

عمومي جواب

mxmx eCeC 21

كنيم مي تقسيم دسته سه به كلي طور به را ها : پره

باشد زياد بسيار پره طول حالت اگر اين براي اي معادله خواهيم ميباشد زياد بسيار پره طول كه آوريم دست . به

اول : حالتtL 100:

بگيريم نظر در را مرزي شرايط بايد

B . C . 1 dx

x = L =

TTw

x = 0

TTw0TwTx 0

mxmx ecec 21 داشتيم را عمومي جواب چون

210 cc (I)

دهيم مقدار مي قرار عمومي جواب در را : 0

mLmL eCeC 210 (II) معادله حل آيد مقدار از مي دست به : I و II C1 و C2

02 C 01 C

دهيم مقادير مي قرار اصلي معادله در را : C1 و C2

mxe 0

mxe 0

كلي حالت در دما و داريمبراي : mxw eTTTT

)(

جزء از جابجايي واسطه به پره از انتقالي حرارت محاسبه هوا براي مثل سيال به : dx

)( TThpdxdq

0

)( dxeTThpq mxw

B . C . 2 0 TTTTLx

Lxmx

w eTTmhpq 0)(

0)()(

m

wmL

w eTTmhpeTT

mhpq

)( TTmhpq w

mxe 0

جاي دهيم به مي قرار را آن مقدار : )( TT

kAhp

hpq w

m

)( TThpkAq w

م طويل بابراين بسيار پره از حرارتي اتالف قدار با q = qf برابراست

طول كه زماني داريم پره در باشد طويل بسيار ه

انتقال ضريبحرارت

پره محيط

هدايتي Uضريب

مقطع = A=Ac سطح

k =

p =

h =

آوريم دست به را پره بازده خواهيم : ميI

R

qq

qR = qReal = qحقيقي qI = qIdeal = q آل ايده

)()(

TThpL

TThpkA

w

wLhp

kA 1

mL1

از پره بازده باشد يك معموال مي محاسبه واحد كمتر از دست بعد بهآيد مي دست به واحد بدون بازده بنابراين آيد كه . مي ميدهد نشان فوق معادلهميباشد كمتر بازده باشد بيشتر پره طول .هرچه

mمتر1

Rate of Heat Transfer in an Infinitely Long Fin

Heat ConductionAt base

Heat Convectionout from fin surface

m1

متوسط پره طوليعني باشد

دوم : حالت100t > L ≥ 20t ،

،

،، نتيجه در و باشد شده عايق پره انتهاي باشد همچنين ناچيز پره نوك از حرارت طول انتقال به پره يك

L دماي با ديواري دماي گرمTw توسط با محيط يك توسط پره طول سراسر و شود مي T∞

شود پره مي سرد انتهاي دماي بطوريكه TL گرماي از و شود گرفته نظر در متوسط پره اگرشود صرفنظر پره شدن عايق واسطه به آن انتهاي در شده پيدا C2 و C1 ضرايب، تلف مكنيمي را

ثابت دما مكنيمي و براي كلي حالت در :mLTTTT w

L cosh

mLTThpkAq w tanh)( مكنيمي ثابت همچنين :

دراين كارميروند به صنعت در كUه هايي پره اكثرميباشند محدوده

Data (اطالعات) :صرفنظر پره نوك از شده تلف گرماي 0 از

dxd

است بنابراين شده

mxmx eCeC 21

B . C . 1

x = 0 L

TL

پره نوكشده عايق

است x = L

TTw0x = 0 T = Tw

كه گيريم مي نتيجه اصلي معادله 210 : از CC

x = L T = TL

B . C . 2

T ≠ T∞ LT T∞

در ، اسUت شده عايUق پره ، B.C.2چون T = T∞ ) اUي باشUد بنابرايUن) ∞T ≠ TنمUيعايUق پره نوك چون و نوشUت زيUر صUورت بUه توان مUي را حرارت درجUه اختالفمUي قرار صUفر مسUاوي و گرفتUه مشتUق اصUلي معادلUه از بنابرايUن ، اسUت شده

دهيم .0

dxd است عايق پره : پس : نوك

mxmx eCeC 21

mxmx meCmeCdxd

210

تمام جاي يعني به را مقدارش دهيم ها مي قرار را : L x

])([0 101mLmL eCeCm

][0 101mLmLmL eCeeCm

)(10mLmLmL eeCe

LT T∞

mLmL

mL

eeeC

1 mLe

C2

01 1

102 cC

mL

mL

mL ee

eC

20

20

20

02 1)1(

1

mL

mL

eeC

2

20

2 1)11(

mLe

C2

02 11

mLeC

20

2 1

را دهيم مقدار مي قرار اصلي معادله در : C1 و C2 mxmx eCeC 21

mL

mx

mL

mx

ee

ee

20

20

11

mL

mx

mL

mxmL

ee

eee

20

2

20

11

بر را راست سمت معادله اولين مخرج و كرديم صورت تقسيم : mLe

mL

mxmxmL

eeee

2

20

1][

رسيم مي زير فرمول به نهايت : در

2cosh

xx eex

mLxLmTTTT w

L cosh)](cosh[)(

پره نوك باشد در مي : x = L

mLTTTT w

L cosh

دوم حالت در پره از شده منتقل : حرارت

dq = hpdx (TL – T∞)

جاي دهيم به مي قرار مقدار : (TL – T∞)

L w dx

mLxLmTT

hpq0 cosh

)](cosh[)(

با برابر پره طول انتهاي باشد مقدار مي :])(sinh1[

cosh)(

0Lw xLmL

mmLTThpq

L

جاي دهيم به مي قرار مقدار : m

mLmLTT

mhpq w cosh

sinh)(

دوم حالت در پره از حرارت : انتقالmLTThpkAq w tanh)( حقيقي

داريم بازده آوردن دست به : برايI

R

qq

qR = qReal = qحقيقي qI = qIdeal = q آل ايده

)(tanh)(

TThpL

mLTThpkA

w

w

mLhpL

kA tanhmL

mLtanh دوم حالت در بازده

سوم : باشد حالت كوتاه پره طول : L < 20t كه كرد ثابت توان مي و شود مي منتقل محيط به جابجايي واسطه به پره نوك از حرارت حالت اين : در

mLmkhmL

mLmkhmL

TThpkAq wcf

sinhcosh

coshsinh)(

پره از اتالفي حرارت انتقال = qf مقدار

مقطع Ac = Across سطحsection

mLmLTThpkAq wcf cosh

sinh)(

اندازه پره حالت

پره بسيار طويل باشد I

نوك پره عايق شده باشد II

براي پره كوتاه III باال معادله

)( TThpkAq wcf

مي برده كار به سطح از حرارت انتقال افزايش براي كلي طور به ها پرهآيد مي دست به بيشتري حرارت انتقال سطح افزايش نتيجه در كار . شوند

بدون گرما انتقال نرخ به پره با گرما انتقال نرخ نسبت صورت به ها پره آييشود مي اطالق . پره

پره : عملكرد

bbc

ff hA

q

.

گUرما انتقال با نرخگرما پره انتقال پرهبدون نرخ

آن در باشد كه مي آن پاي در پره )مساحت پره . ( بدون Ac.b

مقدار معUقولي طراحي هر استفاده در زماني ها پره از كلي طور به يا و باشد زياد ممكن حد تا بايدتوان باشد . مي كه حالتي براي مثال را كارايي ضريب يا

حالت براي دهيم مي قرار مقدار فوق فرمول در داريم بنابراين : I

)()(

.

TThATThpkA

wbc

wf

f2f كه شود دست fAc.bمي به

اينكه 2 : نتيجه1

][c

f hAkp

كه -1 اي ماده انتخاب با ها پره كارايي آمده دست به رابطه از استفاده باباشد مي باال آنها هدايتي يابد ضريب مي و . افزايش مس آلياژهاي مانند

هستند مواد اين از است . آلومينيوم بهتر هدايتي نظر نقطه از مس آلياژ هرچندشود مي استفاده بيشتر ارزاني و سبكي علت به آلومينيوم آلياژ .ولي

دارد -2 قرار مخرج در پره مقطع سطح بهتر . يعني كارايي نتيجه در و پره كمتر ضخامت يعني

فرمول طبق بر وشود مي زياد كارايي ، يابد .كاهش

Ac كمتري هاي فاصله در را ها پره و كنند مي استفاده نازك هاي پره از هميشه صنعت در بنابراين و پره

يابد كاهش جابجايي حرارت انتقال ضريب طريق اين از تا سازند ميh

در -3 را ها پره ، كنيم منتقل حرارت بخواهيم مايع يك از كه زماني يعUني گUاز به مايع كاربردهاي دراست كمتر حرارت انتقال ضريب كه جايي يعUني ، سازند مي گUاز كه . سمت جايي در ها پره يعني

داغ آب هاي لوله )داخل است جاري لوله درون از داغ آب گيرند يعني (كه نمي قرار ، دارند بااليي . h

21

][c

f hAkp

وقتي فوق

04/24/23 Mech 395 - Lecture 6 21

Fins or Extended surfaces

Fin Performance

45

طريق از ها پره بازده نمودن پيدا نمودار

طريق از شده تهيه نمودارهاي از است معروف براون و هارپر روش به كه روش ايننمود – حساب را سهموي و مثلثي مستطيلي هاي پره بازده توان مي همچنين . تجربي

شعUاعي هاي . پرهمستطيلي هاي a)پره

L

t

t = پره ضخامت

L= پر هطول 2t

2tLLc شده اصالح = corrected Length Lc طول

b پره هاي مثلثي )

t

L2tLAp Lc = L

t = پره ضخامت

L= پر هطول

C ) شعاعي هاي پره براي

شعاعي صورت به ها پره شكل مطابق ، اگرگرفته را پوسته دور تا دور ماشين سيلندر مانند

بنابراين

2tLLc

Ap =Lct

شده اصالح شعاع222trr c

2r

21

23

)(kAp

hLc

شعاعي براي پره هاي نمودار بازده 100

80

60

40

20

0.5 1 1.5 2 2.5

كلي سطح بازده برد كار به روش سه توان مي بازده آوردن دست به زماني براي اول روش

حالت بندي تقسيم ما كه حالت 1 است حالت 2و دهيم 3و مي انجام .راكه باشد مي شده داده نمودارهاي از پره بازده آوردن دست به براي دوم روش

است معروف براون و هارپر روش قرار . به بررسي مورد اكنون كUه دوم روشگيرد و مي گيرد قرار استفاده مورد پره چند كه شود مي برده كار به زماني در

دست به را حرارت انتقال توان مي زير تجربي رابطه از و زير شكل مطابق . آورد

،

،

سهموي پره )d

كنيم مي استفاده شده تهيه نمودارهاي از روش اين در . كهLc = L 3

4LAp

Fin Performance

45

آيد مي دست به زير فرمول از شده اصالح طول باشد اي استوانه يا اي ميله صورت به پره : اگرشكل اي استوانه يا اي ميله هاي پره : براي

2tLLc

با آلومينيوم آلياژ از سيكلت موتور يك ارتفاع سيلندر بهسيلندر داريم بيروني در قطر سيلندر بيروني سطح دماي و باشد مي

كاركرد دماي عادي شرايط به محيط هواي معرض در و باشد مياست گرفته جابجايي .قرار حرارت انتقال ضريب افزايش باشد اگر براي

سيلندر با كه كنيم مي استفاده شعاعي هاي پره از محيط به حرارت انتقالاند شده گري طول . ريخته و كدام هر ضخامت فاصله پره با

داريم يكديگر از مساوي . هاي

)(2 21

22 rrA cf

3مثال km

wk

186

mH 15.0

500mm k500k300

kmw2

6mm 20mm 5

كنيد : حساب را يا فين سطح . الف

mH 15.0

آوريد : دست به را كل گرماي انتقال . ب

،

،

bft AtNAfhAtq )]1(1[

qt = پره با حرارت انتقال نرخ

N = ها پره تعدادAf = پره هر مساحت

95.0t پره 222 بازدهtrr c

T∞ = 300

Tw = 500

r1 = 25mm L= 20mm

r2 = 15mm

H = 0.15

ضخامت به مستطيلي و مستقيم فوالدي پره طول يك سطح و بهدماي به ديواري و است بيروني محيط . متصل ضريب دماي و

جابجايي حرارت بازده انتقال نموداري روش از استفاده با باشد ميكنيد حساب را ها . پره

ها مثال پره با رابطه در :

C05.15 C020Cm

w0217

cm54.2cm25.15

20254.001525

2

tLLc

Ap = مساحتنيمرخ

T∞ = 15.5 wh = 17

Tw = 20 0ck = 52

2.54Ap

L

شده اصالح طول

mLc 1652.0

0254.0*1652.0lctAp

2310*196.4 mAp

59.021

23

kAp

hLc

21

23

)(p

c kAhL

بازده پره

x

محور داشتن با نمودار كه از آورد بدست را بازده توان مي ها x%83