Введение в компьютерные Введение в компьютерные методы метрико-методы метрико-

топологических построений.топологических построений.

Г.Г.Рябов (МГУ)Г.Г.Рябов (МГУ)2007г 2007г

Современная вычислительная Современная вычислительная среда.среда.

Глобальная модель циркуляции «атмосфера-Глобальная модель циркуляции «атмосфера-океан»(Мокеан»(МITcgm)-10ITcgm)-1077-10-1099 узловузлов((кубов).кубов).

Обтекание «Аэробуса»-10Обтекание «Аэробуса»-1077 тетраэдров. тетраэдров. Биотомограф-1000х1000х1000(10Биотомограф-1000х1000х1000(1099)) вокселов.вокселов. Фармацевтика- триангуляция молекулярной Фармацевтика- триангуляция молекулярной

поверхности-10поверхности-1077.. Перколяционные задачи- решетка 10Перколяционные задачи- решетка 1099.. Архитектура и строительство -минимальные Архитектура и строительство -минимальные

поверхности.поверхности. Научно-техническая визуализация -Научно-техническая визуализация -101077-10-1088

треугольников.треугольников.

Геометрико - топологические Геометрико - топологические особенности.особенности.

Меры по сохранению устойчивости Меры по сохранению устойчивости решениярешения((число и геометрия тетраэдров).число и геометрия тетраэдров).

Проведение оперативных преобразований Проведение оперативных преобразований среды.(кластеризация и разбиениесреды.(кластеризация и разбиение для для распараллеливания вычислений).распараллеливания вычислений).

Сохранение при преобразованиях Сохранение при преобразованиях топологических инвариантов и заданных топологических инвариантов и заданных геометрических отношений(тел).геометрических отношений(тел).

Digital geometry and topologyDigital geometry and topologyDiscrete differential geometryDiscrete differential geometry

США ( США ( MIT, Caltech, Stanford)MIT, Caltech, Stanford) Франция(Франция(INRIA)INRIA) ГерманияГермания (Un.Gumbold) (Un.Gumbold) Швеция (Швеция (Un.Upsala)Un.Upsala) ВенгрияВенгрия (Un.Seged) (Un.Seged) Нов.ЗеландияНов.Зеландия (Un.Oakland) (Un.Oakland) Япония (Япония (Un.Chiba)Un.Chiba)

Комбинаторная топология.Комбинаторная топология. Конечный Конечный

элемент-симплекс.элемент-симплекс. Комплекс –Комплекс –

множество множество правильно правильно расположенных расположенных симплексов.симплексов.

Звездный полиэдр-Звездный полиэдр-окрестность.окрестность.

Преобразование Преобразование комплексов -сумма комплексов -сумма допустимых допустимых преобразований преобразований звездных звездных полиэдров.полиэдров.

Целые точки и простые ребра.Целые точки и простые ребра. Симплексы с Симплексы с

вершинами в целых вершинами в целых точках и простыми точках и простыми ребрами (не имеющими ребрами (не имеющими внутренних целых внутренних целых точек).точек).

Модельные множества Модельные множества ((ZZnn, Up), n-, Up), n-размерность размерность пространства, пространства, p-p-норма норма простых ребер(простых ребер(p=max p=max IIxxiiII;i=1-n);i=1-n)..

Основные построения Основные построения для для n=3,4,5,6 ; p=1;n=3,4,5,6 ; p=1;

Основная последовательность Основная последовательность базисных построений.базисных построений.

Построение однородных звездчатых Построение однородных звездчатых полиэдров (стереоэдров) на простых полиэдров (стереоэдров) на простых симплексах.симплексах.

Покрытие такими полиэдрами всего Покрытие такими полиэдрами всего пространства(нормальное,правильное пространства(нормальное,правильное разбиение).разбиение).

Определение симплициальных Определение симплициальных комплексов.комплексов.

Аналоги гомотопных преобразований на Аналоги гомотопных преобразований на комплексах-преобразования на граничных комплексах-преобразования на граничных зв.полиэдрах (гомотопные волны).зв.полиэдрах (гомотопные волны).

(Z(Z22, U, U11) ) и все 6 типов 2и все 6 типов 2d d зв.полиэдров зв.полиэдров

Перестройки разбиения - выделение Перестройки разбиения - выделение параллелограммов и замена диагоналей.параллелограммов и замена диагоналей.

Двоичный код-инвариант при перестройках Двоичный код-инвариант при перестройках

1-го типа (диагональ-диагональ)1-го типа (диагональ-диагональ)

Классификация Классификация типов зв. полиэдров.типов зв. полиэдров.

1.Транслируемые.1.Транслируемые.

22.Конгруэнтные..Конгруэнтные.

33.Парнотранслируемые..Парнотранслируемые.

Перечисление всех неконгруэнтных Перечисление всех неконгруэнтных триангуляций куба.триангуляций куба.

Любая триангуляция на Любая триангуляция на вершинах куба порождает вершинах куба порождает диагональное разбиение диагональное разбиение граней куба.граней куба.

Каждому разбиению Каждому разбиению соответствует вектор степеней соответствует вектор степеней вершин (инцидентных вершин (инцидентных диагоналей).диагоналей).

Разные векторы-Разные векторы-неконгруэнтные триангуляции.неконгруэнтные триангуляции.

v1-1,v2-1,v3-2,v4-2,v5-3,v6-1, v1-1,v2-1,v3-2,v4-2,v5-3,v6-1, v7-0,v8-2;v7-0,v8-2;

(1,3,3,1)(1,3,3,1)

Диофантовы уравнения.Диофантовы уравнения. i-i-число диагоналей сходящихся к вершине.число диагоналей сходящихся к вершине. xxii--число вершин с число вершин с i i сходящимися сходящимися

диагоналямидиагоналями.. ΣΣ x xii =8; i=0-3; =8; i=0-3; ΣΣ i x i xii=12; i=0-3; =12; i=0-3; Решения: (2Решения: (2,2,2,2);(0,6,0,2); (1,3,3,1); ,2,2,2);(0,6,0,2); (1,3,3,1);

(2,0,6,0);(4,0,4,0);(0,4,4,0); (2,0,6,0);(4,0,4,0);(0,4,4,0);

Все типы неконгруэнтных Все типы неконгруэнтных триангуляций куба.триангуляций куба.

(0,6,0,2) (2,0,6,0) (1,3,3,1) (2,2,2,2) (4,0,0,4)(0,6,0,2) (2,0,6,0) (1,3,3,1) (2,2,2,2) (4,0,0,4)

Решение (0,4,4,0) не соответствует Решение (0,4,4,0) не соответствует никакой триангуляции.никакой триангуляции.

Ни при какой Ни при какой диагонали диагонали внутри куба внутри куба невозможно невозможно правильное правильное разбиение на разбиение на пирамиды.пирамиды.

Все 3Все 3dd звездчатые полиэдры (4 звездчатые полиэдры (4 типа симплексов) на (типа симплексов) на (Z3,V1)Z3,V1)..

Разбиение кубов проекциями-Разбиение кубов проекциями-транслируемая полиэдризация транслируемая полиэдризация RR33..

Разбиение Разбиение единичного единичного куба на 6 куба на 6 тетраэдров-тетраэдров-симплексов.симплексов.

Ребра и грани вокруг (0,0,0)Ребра и грани вокруг (0,0,0) Трансляция Трансляция

построений построений во все кубы во все кубы R3R3..

Звездный Звездный полиэдр для полиэдр для (0,0,0)(0,0,0)

CCтруктура полиэдра.труктура полиэдра. 24 симпплекса 24 симпплекса

внутри внутри транслируемогтранслируемого звездного о звездного полиэдра.полиэдра.

Объем Объем полиэдра полиэдра V=24x1/6=4.V=24x1/6=4.

Транслируемый 3Транслируемый 3dd звездчатый полиэдр звездчатый полиэдр MSPMSP..

Кубододекаэдр-Кубододекаэдр-14,36,24.14,36,24.

Вершин-15 (1+14)Вершин-15 (1+14) Ребер- 50(14+36)Ребер- 50(14+36) Граней-48(24+24)Граней-48(24+24) 33d cd cимплексовимплексов-24-24 Объем=4Объем=4 Строго выпуклый Строго выпуклый

(по Малеру)(по Малеру)

Дуальный полиэдр.Дуальный полиэдр.

Построение транслируемых Построение транслируемых nd-nd-полиэдров как полиэдров как отображение отображение RRnn на подпространства.на подпространства.

Транслируемый 4Транслируемый 4d d зв. полиэдр.зв. полиэдр.

Два полярных Два полярных 44d d куба с куба с одной общей одной общей вершиной и вершиной и доп. ребрами.доп. ребрами.

Структура Структура n-n-куба.куба. ff(I(Inn)=(f)=(f00,f,f11,f,f22,…f,…fn-1n-1,f,fnn) – ) –

вектор граней.вектор граней. ff00--число вершинчисло вершин;; ff11--число реберчисло ребер;; ff22--число квадратовчисло квадратов;; ff33--число кубовчисло кубов;;…… ffnn-I-Inn;; ffkk=C(n,k)2=C(n,k)2n-kn-k;; f(If(I44)=(16,32,24,8,1);)=(16,32,24,8,1);

Характеристика Эйлера-ПуанкареХарактеристика Эйлера-Пуанкаре

Формула Эйлера:В-Р+Г=2Формула Эйлера:В-Р+Г=2 Топологический инвариантТопологический инвариант χχ=f=f00-f-f11+f+f22-f-f33+…+(-1)+…+(-1)n-1n-1ffn-1n-1;;

Треугольник и пирамида Паскаля.Треугольник и пирамида Паскаля.

Треугольник Треугольник C(x,y)=C(x-1,y)+C(x,y-1);C(0,0)=1;C(x,y)=C(x-1,y)+C(x,y-1);C(0,0)=1; Пирамида Пирамида V(x,y,z)=V(x-1,y,z)+V(x,y-1,z)+V(x,y,z-1); V(0,0,0)=1;V(x,y,z)=V(x-1,y,z)+V(x,y-1,z)+V(x,y,z-1); V(0,0,0)=1;

Триномиальные коэффициенты.Триномиальные коэффициенты. ((a+b+c)a+b+c)nn

V(n,k,l)aV(n,k,l)allbbkkccn-k-ln-k-l

l=x;k=y;n=x+y+z;l=x;k=y;n=x+y+z;

V(n,k,l)= n!/l!k!(n-k-l)!V(n,k,l)= n!/l!k!(n-k-l)! ΣΣ V(n,k,l)=C(n,k)2 V(n,k,l)=C(n,k)2n-kn-k; ;

l=1-(n-k);l=1-(n-k); ΣΣV(n,k,l)=fV(n,k,l)=fkk;; (16,32,24,8)(16,32,24,8)

Кодирование Кодирование kk-граней.-граней. Каждой Каждой kk-грани -грани

соответствует соответствует кратчайший путь кратчайший путь по решетке в по решетке в вершину слоя вершину слоя n c n c y=k;y=k;

Каждый путь Каждый путь кодируется кодируется троичным кодомтроичным кодом.. {0,1,2}{0,1,2}

Кодировка Кодировка II44

0000 0000 в 0001 в 0002 р 0010 в 0011 в 0012 рв 0001 в 0002 р 0010 в 0011 в 0012 р 0020 р 0021 р 0022 к 0100 в 0101 в 0102 р0020 р 0021 р 0022 к 0100 в 0101 в 0102 р 0200 р 0201 р 0202 к 0210 р 0211 р 0212 к0200 р 0201 р 0202 к 0210 р 0211 р 0212 к 0220 к … 2220 г 2221 г 2222 0220 к … 2220 г 2221 г 2222 II44

Вершины- традиционная кодировка.Вершины- традиционная кодировка. Ребра- коды с одной «двойкой»Ребра- коды с одной «двойкой» К-грани- с к «двойками»К-грани- с к «двойками»

Геометрическая интерпретацияГеометрическая интерпретация

Код 2120Код 2120 Ребра 0020 и Ребра 0020 и

2000 2000 -> -> грань грань 20202020

Грань 2020 Грань 2020 транслируется транслируется из (0000) в из (0000) в (0100)(0100)

Генерация примитивной Генерация примитивной триангуляции (путевые симплексы)триангуляции (путевые симплексы)

Симметрическая Симметрическая группа подстановок группа подстановок SSnn..

ssi i € S€ Snn 11 2 2 3 …3 … n n aai1 i1 aai2i2 a ai3i3… a… ainin eeai1ai1, e, eai1ai1+e+eai2ai2, ,

eeai1ai1+e+eai2ai2+e+eai3ai3,… ,… --последовательные последовательные вершины симплексавершины симплекса

Рис. -Рис. -> 1 2 4 3> 1 2 4 3

Примитивная триангуляция Примитивная триангуляция II44.. 24 c24 cимплекса имплекса

могут быть могут быть закодированы закодированы 5-ью 5-ью двоичными двоичными разрядами.разрядами.

3d 3d звезда-полиэдр и ее симплексы.звезда-полиэдр и ее симплексы.

Вклад кубов (по числу симплексов) из 8 октантов, Вклад кубов (по числу симплексов) из 8 октантов, содержащих (000). содержащих (000).

Симплициальная структура Симплициальная структура транслируемого транслируемого ndnd звезды-полиэдра звезды-полиэдра

W(k)-W(k)-число число симплексов с симплексов с вершиной вершиной r=kr=k

S(k)-S(k)-число число n-n-кубов с кубов с вершиной вершиной r=k r=k в в (00…0)(00…0)

W(k)=k!(n-k)!;W(k)=k!(n-k)!; S(k)=C(n,k);S(k)=C(n,k); S=S=ΣΣ W(k)S(k)= W(k)S(k)=

(n+1)!;(n+1)!; V(P)=n+1;V(P)=n+1;

Кодирование симплексов .Кодирование симплексов . 1234,1243,1324,1342,1423,1432,1234,1243,1324,1342,1423,1432, 0 1 2 3 4 50 1 2 3 4 5 2134,2143,2314,2341,2413,2431,2134,2143,2314,2341,2413,2431, 5 7 8 9 10 115 7 8 9 10 11 3124,3142,3214,3241,3412,3421,3124,3142,3214,3241,3412,3421, 12 13 14 15 16 1712 13 14 15 16 17 4123,4132,4213,4231,4312,43214123,4132,4213,4231,4312,4321 18 19 20 21 22 2318 19 20 21 22 23 aa00 n!+a n!+a11(n-1)!+…+a(n-1)!+…+an-2n-2 2!+a 2!+an-1n-1 1!= 1!=№№; a; akk<k+1;<k+1;

21=(321=(3,1,1) -> 4231,1,1) -> 4231:3+1=4, 1+1=2-ая из :3+1=4, 1+1=2-ая из ост.ост. -> ->2, 2, 1+1=2-ая из ост.1+1=2-ая из ост.->3; ->3; и ост.1и ост.1

Транслируемые звездчатые Транслируемые звездчатые nd-nd-полиэдрыполиэдры..

22d 3d 4d 5d d 3d 4d 5d 6d 6d 7d 7d

ВВ 6 14 6 14 30 30 62 62 126 126 254254

S 6 24 120 720 5040 40320S 6 24 120 720 5040 40320

V 3 4 V 3 4 5 5 66 7 7 88

Гомотопные расширения и Гомотопные расширения и сжатия комплексов-сумма сжатия комплексов-сумма

преобразований преобразований MSP MSP на границе на границе комплексов. комплексов.

Топологический контроль-проверка Топологический контроль-проверка связности в связности в MSPMSP до и после до и после преобразования.преобразования.

Для общего 3Для общего 3d d случаяслучая объем вычислений объем вычислений Q~Q~ NN33xxVVxxEExxNN ((длядля N N =10=1033 Q= Q= 10101414 памятьпамять MM== 100Г100Гb b ))

Для топол. процессора Для топол. процессора Q=Q=101011 11 M=M=11ГГbb

Допустимые преобразования без Допустимые преобразования без склеек и разрывов.склеек и разрывов.

Расширение Расширение «желтого» «желтого» без склеек и без склеек и разрывов разрывов «желтого» и «желтого» и «красного» «красного» зависит зависит только от только от ситуации в ситуации в «выколотом» «выколотом» зв.полиэдре.зв.полиэдре.

Анализ связности множествАнализ связности множеств М1 и М2 на границе полиэдра. М1 и М2 на границе полиэдра.

М1 на границе М1 на границе несвязно.несвязно.

М2 на границе М2 на границе связно.связно.

Если переход Если переход (000) в М1, то (000) в М1, то М1 и М2 М1 и М2 связны- связны- изменения в изменения в связностях связностях недопустимы!недопустимы!

Три Три 2d 2d комплексакомплекса

Расширение черного.Расширение черного.

Расширение черного.Расширение черного.

Сжатие черного.Сжатие черного.

Приближение к евклидовой Приближение к евклидовой метрике на метрике на ZnZn..

Метрика на ребрах звездчатых Метрика на ребрах звездчатых полиэдров (многогранная полиэдров (многогранная метрика) далека от евклидовой.метрика) далека от евклидовой.

Расширить множество простых Расширить множество простых ребер (увеличить норму) в ребер (увеличить норму) в зависимости от заданной зависимости от заданной погрешности приближения.погрешности приближения.

Линейные преобразования на Линейные преобразования на решетках.решетках.

Унимодулярные матрицы- модуль определителя =1.Унимодулярные матрицы- модуль определителя =1. Линейные унимодулярные преобразования сохраняют Линейные унимодулярные преобразования сохраняют

площадь (объем) фигур(тел).площадь (объем) фигур(тел).

Составление веера.Составление веера.

Стыковку секторов веера обеспечивают Стыковку секторов веера обеспечивают «соседние» унимодулярные матрицы.«соседние» унимодулярные матрицы.

Несократимые дроби и простые Несократимые дроби и простые ребра (веер Фарея).ребра (веер Фарея).

В каждом секторе В каждом секторе целые точки целые точки образуют образуют решетки с решетки с базисами базисами {(0,1),{(0,1),(1,1)}; {(1,1),(1,1)}; {(1,1),(1,0)}.(1,0)}.

С увеличением С увеличением порядка Ф(к) порядка Ф(к) длина по ребрам длина по ребрам решеток решеток приближается к приближается к евклидовой.евклидовой.

ΔΔ==L-Le/Le=~ L-Le/Le=~ φφ22/4+o(/4+o(φφ44));;

Увеличение порядка Ф(к).Увеличение порядка Ф(к).

Увеличение порядка Ф(к).Увеличение порядка Ф(к).

Отображения Отображения ZZ22(0,(0,ππ/2) /2) на на ZZ22(i,i+1)(i,i+1)

Веер Фарея 3-го порядка.Веер Фарея 3-го порядка.

Неравномерность уменьшения Неравномерность уменьшения углов в секторах веера.углов в секторах веера.

Для веера Ф(3):Для веера Ф(3): Сектор ((0Сектор ((0/1)(1/3))~1/3/1)(1/3))~1/3.. CCектор ((1ектор ((1//33)(1/2))~1/6)(1/2))~1/6.. Коррекция процедуры генерации Коррекция процедуры генерации

несократимых дробей-наибольшие несократимых дробей-наибольшие углы разбивать чаще.углы разбивать чаще.

Приближение к евклидовой Приближение к евклидовой метрике.метрике.

Для сектора веера с базисом Для сектора веера с базисом bbii,b,bjj и и углом углом φφ::

L=L=λλ11ρρ(b(bii)+)+λλ22ρρ(b(bjj););на решетке,на решетке, LLee--евклидова длина между этими евклидова длина между этими

точками.точками. Максимальная отн. погрешность в Максимальная отн. погрешность в

секторе: секторе: ΔΔm(m(φφ)=L-L)=L-Lee/L/Lee==φφ22/4+O(/4+O(φφ44/16);/16);

Для построения веера в Для построения веера в Rn.Rn. Множество целочисленных квадратных Множество целочисленных квадратных

матриц:матриц:{Ai}{Ai}.. Ai =1 Ai =1 сохраняет объемы.сохраняет объемы. Бесконечная группа с Е-ед.диагон.м.Бесконечная группа с Е-ед.диагон.м. Аналог несократимых дробей- Аналог несократимых дробей-

простые целые простые целые nn-мерные вектора -мерные вектора (компоненты вектора, как целые (компоненты вектора, как целые числа не имеют общего делителя числа не имеют общего делителя >1>1))..

Построение 3Построение 3d d веера для заданной веера для заданной ΔΔ--итерационная процедураитерационная процедура на1на1//48 сферы.48 сферы.

Вырезанному Вырезанному сектору сектору соответствуесоответствует матрица Ао т матрица Ао из простых из простых векторов.векторов.

IAoI=1;IAoI=1; Замена Замена

строки в строки в матрице матрице суммой суммой строки с строки с другой не другой не меняет меняет основных основных свойств свойств матрицы.матрицы.

Веерная триангуляция.Веерная триангуляция. Определение Определение

грани(ребра) грани(ребра) с макс. углом с макс. углом и разбиение и разбиение ребра ребра сложением сложением векторов векторов (строк (строк матрицы).матрицы).

ПродолжениПродолжение процедуры, е процедуры, пока макс. пока макс. угол угол <<φφ00((ΔΔ).).

Затем Затем зеркальные зеркальные отображения отображения на всю на всю сферу. сферу.

000

Nd-Nd-случай.случай. Для Для nd nd случая триангулируется (а случая триангулируется (а

затем и хранится в памяти) 1затем и хранится в памяти) 1/2/2nn n! n! –– часть часть nd nd сферы.сферы.

Вся Вся ndnd сфера может покрываться сфера может покрываться зеркальными отображениями.зеркальными отображениями.

Проекция 3Проекция 3dd веера на сферу веера на сферу(для (для ΔΔ==L-Le/Le=L-Le/Le=00,00,001)1)

После После зеркальных зеркальных отображений отображений 11//48 части48 части на на всю сферу.всю сферу.

Веер Веер содержит 7610 содержит 7610 реберребер..

СравнениеСравнение по числу реберпо числу ребер 3d 3d веера Фарея и решеточного веера Фарея и решеточного

расслоения .расслоения . K 2 3 4 5 6 … 19 K 2 3 4 5 6 … 19

ΔΔ(%) 4,85 2,41 1,44 1,17 0,76 … 0,1 (%) 4,85 2,41 1,44 1,17 0,76 … 0,1

N(k) 98 290 578 1154 1730 … 50114 (~kN(k) 98 290 578 1154 1730 … 50114 (~k33))

N* 74 194 266 530 722 … 7610 (~kN* 74 194 266 530 722 … 7610 (~k22))

Основные операции прототипа Основные операции прототипа топологического процессора.топологического процессора.

Задание решетки и метода полиэдризации.Задание решетки и метода полиэдризации. Задание границ и преград.Задание границ и преград. Задание комплексов. Индексные массивы(1:128)Задание комплексов. Индексные массивы(1:128) Определение связности комплексов и характеристики Эйлера-Определение связности комплексов и характеристики Эйлера-

Пуанкаре.Пуанкаре. Задание преобразований и их режимов(целевых функций).Задание преобразований и их режимов(целевых функций). Проведение преобразований. Анализ Проведение преобразований. Анализ MSP-MSP-один такт!один такт! Выделение триангулированной границы.Выделение триангулированной границы. Генерация решеточного веера по заданной погрешности.Генерация решеточного веера по заданной погрешности. Прогон метрической волны от множества-источника и Прогон метрической волны от множества-источника и

построение эквидистантного графа.построение эквидистантного графа. Операции над эквидистантными графами. Операции над эквидистантными графами. Все операции эмулированы и верифицированы на решетках Все операции эмулированы и верифицированы на решетках

до 200х200х200.до 200х200х200. Видеопоказ на Видеопоказ на httphttp:://www.vizcom.srcc.msu.ru//www.vizcom.srcc.msu.ru

Построение «сферы» как 2Построение «сферы» как 2dd многообразия.многообразия.

Заданы центр «сферы» и Заданы центр «сферы» и преграды(2пластины).преграды(2пластины).

Построить «сферу» Построить «сферу» минимального радиуса.минимального радиуса.

Условие: преграды Условие: преграды внутри «сферы», внутри «сферы», ΔΔ = = 00,01;,01;

CCхема решения-хема решения-генерация веера для генерация веера для ΔΔ=0,01=0,01;;метрическая метрическая волна и эквидистантный волна и эквидистантный графграф;;сжатие комплекса сжатие комплекса до преграддо преград;; выделение выделение трианг. границы.трианг. границы.

(750 000 симплексов)(750 000 симплексов) Т(2Ггц,512Т(2Ггц,512Mb)=2Mb)=2мин.мин.

Ближайшие задачи.Ближайшие задачи. Перенос комплекса на кластер НИВЦ Перенос комплекса на кластер НИВЦ

МГУ с целями:МГУ с целями: 1.Решение задач на решетках:31.Решение задач на решетках:3dd--

2000200033,4,4d-500d-50044,5d-200,5d-20055,6d-50,6d-5066.. 2.2.Использование Использование

распараллеливания, потенциально распараллеливания, потенциально близкого к клеточным автоматам.близкого к клеточным автоматам.

3.Полиэкранная визуализация 3.Полиэкранная визуализация сечений многомерных комплексов.сечений многомерных комплексов.

Основные ссылки.Основные ссылки. Л.С.Понтрягин. Основы комбинаторной Л.С.Понтрягин. Основы комбинаторной

топологии.топологии. П.С.Александров. Комбинаторная топология.П.С.Александров. Комбинаторная топология. Б.Н.Делоне. Теория стереоэдров.Б.Н.Делоне. Теория стереоэдров. К.Чандрасекхаран. Введение в аналитическую К.Чандрасекхаран. Введение в аналитическую

теорию чисел.теорию чисел. Д.Касселс. Введение в геометрию чисел.Д.Касселс. Введение в геометрию чисел. И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.И.М.Гельфанд. Лекции по линейной алгебре. В.А.Ковалевский. Конечная топология.В.А.Ковалевский. Конечная топология. Ж.Бертран, М.Купри. Гомотопные преобразования.Ж.Бертран, М.Купри. Гомотопные преобразования. И.Кенмочи, А.Имийя. Глобальная полиэдризация.И.Кенмочи, А.Имийя. Глобальная полиэдризация. Г.Г.Рябов. Метрические и топологические волны на Г.Г.Рябов. Метрические и топологические волны на

решетках.решетках. О.Д.Авраамова. Язык О.Д.Авраамова. Язык VRML.VRML.

Поклон корифеям!Поклон корифеям!

П.С.Александров Л.С.Понтрягин Б.Н ДелонеП.С.Александров Л.С.Понтрягин Б.Н Делоне