26
Спеціальні класи бінарних відношень Функціональні відношення 1

Спеціальні класи бінарних відношень

  • Upload
    lilli

  • View
    84

  • Download
    4

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Спеціальні класи бінарних відношень. Функціональні відношення. Функціональні відношення. F  AB - функціональне відношення. (x,y 1 ),(x,y 2 ) F  y 1 =y 2. Для будь-якого x A існує не більше одного y  B , що (x,y)  F. y однозначно визначається по F та x y=F(x). - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Спеціальні класи бінарних відношень

Спеціальні класи бінарних відношень

Функціональні відношення

1

Page 2: Спеціальні класи бінарних відношень

2

Функціональні відношення

FAB - функціональне відношення

Для будь-якого xA існує не більше одного yB,

що (x,y)F

(x,y1),(x,y2)F y1=y2

y однозначно визначається по F та xy=F(x)

Page 3: Спеціальні класи бінарних відношень

3

Функціональні відношення і функції

yx F

FAB - функціональне відношення F для довільного x однозначно

визначає y, такий що (x,y)F

Цей y позначається F(x)Оскільки це робиться для довільного xA,

можна записатиBAFабоBA F :,

Залежність між y та x, яка визначається функціональним відношенням F

називається функцією (відображенням) F

Page 4: Спеціальні класи бінарних відношень

4

Функціональні відношення і функції

• Функціональне відношення для довільної пари xA, yB визначає, чи належить ця пара даному відношенню (так, true), чи не належить (ні, false).

• Функція по xA визначає (обчислює) yB

Page 5: Спеціальні класи бінарних відношень

5

Області відправлення та прибуття

BAF :Область відправлення Може не співпадати з областю визначення

Область прибуттяМоже не співпадатиз областю значень

Page 6: Спеціальні класи бінарних відношень

6

Образи та прообрази

Нехай - функ.відношенняF A B

F A B A BF:

образ x

( , ) ( )x y F y F x

прообраз y

Page 7: Спеціальні класи бінарних відношень

7

Образи та прообрази

Образом множини CA будемо називати множину

всіх образів елементів множини CF(C)={yB|cC F(c)=y}

Нехай FAB - функціональне відношення

Прообразом множини DB будемо називати множину

всіх прообразів елементів множини DF-1(D)={xA|dD F(x)=d}

Page 8: Спеціальні класи бінарних відношень

8

Приклади образів та прообразів

;;:2xf

)1;0[))1;1((],1;0[])1;1([ ff

})1({},1;1{})1({ 11 ff

Page 9: Спеціальні класи бінарних відношень

9

Обернена функція

FAB - функціональне відношення (F:A→B – функція)

Якщо обернене відношення F-1BA також є функціональним відношенням, тоце відношення визначає деяку функцію,

яку будемо називати оберненою до F

функцією і позначати F-1:B → A

Page 10: Спеціальні класи бінарних відношень

Обернена функція

10

yxy

yxxyx lg10

33

y = x2

y = sin xне маютьобернених}

Page 11: Спеціальні класи бінарних відношень

11

Лема про добуток функціональних відношень

Добуток функціональних відношень є функціональним відношенням,

Якщо FAB та GBC – функц. відношення,то F◦GAC – також функц. відношення

F:A→B, G:B→C »»» F◦G:A→C

Page 12: Спеціальні класи бінарних відношень

12

Доведення лемиFAB, GBC, F◦GAC(x,z)F◦GyB (x,y)F, (y,z)G

(x,z1),(x,z2)F◦Gy1 (x,y1)F, (y1,z1)G; y2 (x,y2)F, (y2,z2)G(x,y1)F, (x,y2)F; (y1,z1)G, (y2,z2)G в силу функціональності F y1=y2, (y1,z1)G, (y2,z2)G (y1,z1)G, (y1,z2)G z1=z2 в силу функціональності G

Page 13: Спеціальні класи бінарних відношень

13

Добуток функціональних відношень і суперпозиція функцій

FAB, GBC, F◦GAC – функц. відношення,F:A→B, G:B→C, F◦G:A→CF:xA→yB, G:yB→zC, F◦G:xA→zCy=F(x), z=G(y)z=G(F(x))F◦G:A→C »»» z=G(F(x))

Функцію, що відповідає добутку функціональних відношень F◦G, будемо називати суперпозицією відповідних функцій z=G(F(x))

Page 14: Спеціальні класи бінарних відношень

14

Класифікація відображеньF:AB

Ін’єкція«відображення в»

Сюр’єкція«відображення на»

Бієкція«взаємно однозначне відображення»

F a F a a a( ) ( ' ) '

F A B( )

δF=A та ін’єкція і сюр’єкція одночасно

Page 15: Спеціальні класи бінарних відношень

15

Співвідношення для відображень

)()(.6)()(.5

)()()(.4

)()()(.3

)()()(.2)()()(.1:

11

111

111

1

BfAfBACfCf

DfCfDCf

DfCfDCf

BfAfBAfBfAfBAf

існуєXYfфункціяОбернена

f: XY, A,BX, C,DY

Page 16: Спеціальні класи бінарних відношень

16

Доведення 1

)()()(),(

,),(),()(

BfAfyBfyAfyBxAxxfy

BAxxfyBAfy

Page 17: Спеціальні класи бінарних відношень

17

)()()(),(

,),(),()(

BfAfyBfyAfyBxAxxfy

BAxxfyBAfy

Чи можна обернути доведення 1

не можна

Page 18: Спеціальні класи бінарних відношень

18

Приклад до п.1

)1;0()()()()1;0()()(

)1;0()(),1;0()()(,

)0;1(),1;0(,:2

BfAfBAfBfAf

BfAfBAfBABADDx

Page 19: Спеціальні класи бінарних відношень

19

Доведення 3

DCyxfyDCfx ),()(1

)(),( 1 CfxCyxfy

)()( 11 DfCfx )(),( 1 DfxDyxfy

)()( 11 DfCfx

Page 20: Спеціальні класи бінарних відношень

20

Доведення 3

)()( 11 DfCfx

CyxfyCfx ),()(1

)(),( 1 DCfxDCyxfy

DyxfyDfx ),()(1

)(),( 1 DCfxDCyxfy

Page 21: Спеціальні класи бінарних відношень

21

Доведення 5

)()(

,,),()(

11

1

CfxCfx

yCyCyyyCyxfyCfx

CyxfyCfx ),()(1

Page 22: Спеціальні класи бінарних відношень

22

Доведення 5

CyxfyCfxCfx ),()()( 11

)(

,

),(),(

1

1

Cfx

yCyCy

CyxfyCfx

Page 23: Спеціальні класи бінарних відношень

Доведення 6

23

y f(A) ∊ ⇒ y=f(x), x A ∊ ⇒ ⇒ y=f(x), x B ∊ ⇒ y f(B)∊

AB f(A) f(B)

Page 24: Спеціальні класи бінарних відношень

24

Зауваження до твердження 1Якщо f – ін'єкція, тоf(A∩B)=f(A) ∩ f(B)

f(A∩B)f(A) ∩ f(B) – вже доведеноДоведемо, що <пр.част.> <⊂ лів.част.>

y f(A) ∩ f(B)∊ y=f(x⇒ 1),x1 A, y=f(x∊ 2),x2 B∊ ⇒в силу ін'єктивності x1=x2 ⇒

y=f(x1),x1 A, x∊ 1 B y=f(x∊ ⇒ 1),x1 A∩B ∊ ⇒y f(A∩B)∊

Page 25: Спеціальні класи бінарних відношень

Якщо f ін'єкція, то f(A\B)=f(A) \ f(B)

25

y∊ f(A\B)⇒ y=f(x), y=f(x),x A, x∊ ∉B⇒

а) y∊f(B), x∉B, ⇒ x∉B, y=f(x), y=f(x’),x’∊B⇒ в силу ін'єктивності ⇒x=x’ ⇒ x∉B, x∊B⇒ неможливо

б) y∉f(B), y=f(x), x A, ∊ ⇒ y∊f(A), y∉f(B) ⇒

y∊f(A) \ f(B)

Page 26: Спеціальні класи бінарних відношень

Якщо f ін'єкція, то f(A\B)=f(A) \ f(B)

26

y∊ f(A)\f(B)⇒⇒ y∊ f(A), y∉f(B) ⇒ y=f(x),x A∊ , y∉f(B)

а) x∊B, y=f(x),x A, y∊ ∉f(B) ⇒y∊f(B), y∉f(B) ⇒ неможливо

б) x∉B, y=f(x),x A, ∊ ⇒ y=f(x),x A\B∊ ⇒ yf(A\

B)