ДИНАМИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

ЛЕКЦИЯ 6: ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ

ТОЧКИ. СЛУЧАЙ ЭЙЛЕРА

1. ОбозначенияРассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку ОРассмотрим твердое тело, имеющее одну неподвижную точку О

OXYZOxyz

неподвижная система координатнеподвижная система координат

подвижная система координат (ПСС), подвижная система координат (ПСС), жестко связанная с теломжестко связанная с телом

x

O

yz

X

Z

YУдобно работать в потому, что тензор инерции Удобно работать в потому, что тензор инерции в этой системе координат есть величина постоянная.в этой системе координат есть величина постоянная.

Oxyz

constx xy xz

xy y yz

xz yz z

I I I A F E

I I I F B D

I I I E D C

I

В каждый момент времени скорости тела распределены так, как будто происходит В каждый момент времени скорости тела распределены так, как будто происходит вращение относительно мгновенной оси с некоторой мгновенной угловой вращение относительно мгновенной оси с некоторой мгновенной угловой скоростью скоростью p

q

r

ωкомпоненты мгновенной угловой скорости компоненты мгновенной угловой скорости в подвижной системе координатв подвижной системе координат Oxyz

ω

Задача: построить уравнения движения тела в терминах Задача: построить уравнения движения тела в терминах , ,p q r

2. Выражение для кинетического момента в ПСС

напоминаниенапоминание

O i i i i i im m K r v r ω r

Если оси (Если оси (x,y,zx,y,z) главные (и только в этом случае)) главные (и только в этом случае) , ,Ox Oy OzK Ap K Bq K Cr

i i i i i im m ω r r r r ω

Формула для раскрытия Формула для раскрытия двойного векторного двойного векторного произведенияпроизведения

2 2 2i i im x y z m xp yq zr ω r

2 2 2Ox i iK p m x y z m x xp yq zr

2 2i i ip m y z q m xy r m xz

F EA

OxK Ap Fq Er

OyK Bq Dr Fp OzK Cr Ep Dq

Ox

Oy

Oz

K A F E p

K F B D q

K E D C r

a b c

b c a c a b

3. Динамические уравнения Эйлера

2 2 exAp Fq Er C B qr D r q p Fr Eq M

d d

dt dt

a aω a

абсолютная абсолютная производнаяпроизводная

относительная относительная производнаяпроизводная

напоминаниенапоминаниеТеорема об изменении кинетического моментаТеорема об изменении кинетического момента

0реакции

eOd

dt

KM

в неподвижной системе координатв неподвижной системе координат

eOO

d

dt

Kω K M

в подвижной системе координатв подвижной системе координат

O

Ap Fq Erd

Bq Dr Fpdt

Cr Ep Dq

K

O p q r

Ap Bq Cr

i j k

ω K

2 2 eyFp Bq Dr A C rp E p r q Dp Fr M

2 2 ezEp Dq Cr B A pq F q p r Eq Dp M

exAp C B qr M

eyBq A C rp M

ezCr B A pq M

Если оси (Если оси (x,y,zx,y,z) главные) главные

4. Выражение для кинетической энергии в ПСС

2 21

2 zT h dm 2 2 21 1

2 2z zh dm I

напоминаниенапоминание21

2T I I

Изменяется во времени, т.к. Изменяется во времени, т.к. мгновенная ось перемещается мгновенная ось перемещается относительно телаотносительно тела

,

x

x y z y ij i ji j

z

A F E l

I l l l F B D l I l l

E D C l

il направляющие косинусы мгновенной оси вращениянаправляющие косинусы мгновенной оси вращения

, , ,x y z

p q rl l l

2 2 21

2T Ap Bq Cr Dqr Epr Fpq

Если оси (Если оси (x,y,zx,y,z) главные (и только в этом случае)) главные (и только в этом случае) 2 2 21

2T Ap Bq Cr

В общем случае КЭ В общем случае КЭ не естьне есть сумма КЭ трех вращений! сумма КЭ трех вращений!

Моменты в правых частях динамических уравнений Эйлера Моменты в правых частях динамических уравнений Эйлера являются, вообще говоря, функциями эйлеровых углов, их производных и времениявляются, вообще говоря, функциями эйлеровых углов, их производных и времени

5. Динамические уравнения Эйлера

exAp C B qr M

eyBq A C rp M

ezCr B A pq M

Всюду далее считаем, что оси Всюду далее считаем, что оси x,y,zx,y,z направлены по главным осям тела для точки О направлены по главным осям тела для точки О

, ,e e ex y zM M M

, , , , , ,e ey yM M t

, , , , , ,e ex xM M t

, , , , , ,e ez zM M t

Поэтому динамические уравнения Эйлера не являются замкнутой системой уравнений Поэтому динамические уравнения Эйлера не являются замкнутой системой уравнений относительно Их нужно дополнить кинематическими уравнениями Эйлера, относительно Их нужно дополнить кинематическими уравнениями Эйлера, связывающими с эйлеровыми угламисвязывающими с эйлеровыми углами

, ,p q r, ,p q r

6. Эйлеровы углы и кинемати-ческие уравнения Эйлера

ω

x

O

yz

X

Z

Y

N

P

Плоскость Плоскость РР проведена через оси проведена через оси x,yx,y..

Линия узловЛиния узлов NN – линия пересечения плоскостей – линия пересечения плоскостей PP и и OXZOXZ Угол прецессииУгол прецессии - угол между - угол между NN и и OXOXУгол чистого вращенияУгол чистого вращения - угол между - угол между NN и и OxOxУгол нутацииУгол нутации - угол между - угол между OZOZ и и OzOz

P Oz

XOY OZ

zOZ ON

p q r ω i j k

p q r i j k

sin sin cosp

sin cos sinq

cosr

k

cos sin sin cos k i j

cos sin i j

Z

7. Общая система уравнений Эйлера

движения ТТ вокруг неподвижной точки

sin sin cosp

sin cos sinq

cosr

exAp C B qr M

eyBq A C rp M

ezCr B A pq M

ДСДС КСКС++

Преимущества системы уравнений Эйлера выражается в тех случаях, когда главные Преимущества системы уравнений Эйлера выражается в тех случаях, когда главные моменты действующих сил не зависят от эйлеровых углов и их производных. В этом моменты действующих сил не зависят от эйлеровых углов и их производных. В этом случае ДС – независимая система относительнослучае ДС – независимая система относительно , ,p q r

Наиболее простым и очень важным случаем является тот, когда момент внешних Наиболее простым и очень важным случаем является тот, когда момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда говорят, что имеет место сил относительно неподвижной точки равен нулю. Тогда говорят, что имеет место случай Эйлераслучай Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки. движения твердого тела вокруг неподвижной точки.

Случай Эйлера возможен, когда внешних сил нет совсем или тогда, когда внешние силы, Случай Эйлера возможен, когда внешних сил нет совсем или тогда, когда внешние силы, приложенные к телу, приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную приложенные к телу, приводятся к равнодействующей, проходящей через неподвижную точку.точку.

8. Стационарное вращение в случае Эйлера

При этом угловая скорость будет постоянна и в подвижной системе координат.При этом угловая скорость будет постоянна и в подвижной системе координат.

Будем называть стационарным вращением такое движение твердого тела, при котором Будем называть стационарным вращением такое движение твердого тела, при котором его угловая скорость постоянна относительно неподвижной системы координатего угловая скорость постоянна относительно неподвижной системы координатω

0

d d

dt dt

ω ωω ω

Д-во:Д-во:

0A C rp 0B A pq 0C B qr 0p q r

Стационарное вращение тела может происходить только вокруг главной оси инерции Стационарное вращение тела может происходить только вокруг главной оси инерции тела для точки О, причем величина угловой скорости тела может быть произвольной. тела для точки О, причем величина угловой скорости тела может быть произвольной.

A B C 0 0 0qr pq rp Возможно когда две из величин р, q, r Возможно когда две из величин р, q, r равны нулю, а третья произвольнаравны нулю, а третья произвольна

A B C

A B C , ,p q r произвольныпроизвольны Тензор инерции сферический и Тензор инерции сферический и любая ось главнаялюбая ось главная

r0,q p

произвольнапроизвольнаОсь Ось z z главнаяглавная

0r ,p q произвпроизв

Любая ось в Любая ось в плоскости плоскости xyxy главная главная

d d

dt dt

a aω a

9. Устойчивость стационарного вращения

Базовое состояние: стац. вращением твердого тела, вокруг одной из главных осейБазовое состояние: стац. вращением твердого тела, вокруг одной из главных осей

0p q r R

Пусть угловая скорость в начальный момент получила малые возмущенияПусть угловая скорость в начальный момент получила малые возмущения

00p p 00q q 00r R r 1

Предполагая отклик на возмущение малым, ищем решение в видеПредполагая отклик на возмущение малым, ищем решение в виде

1p p 1q q1r R r

21

120

d pap

dt

2C B C Aa R

AB

0Ap C B qr

0Bq A C rp

0Cr B A pq

1 1 1Ap C B q R r 0

1 1 1Bq A C p R r 0

21 1 1Cr B A p q 0

10. Устойчивость стационарного вращения

Если Если то решение выражается через тригонометрические ф-ии и остается малым то решение выражается через тригонометрические ф-ии и остается малым 0a Если Если то решение выражается через экспоненты и неограниченно возрастает то решение выражается через экспоненты и неограниченно возрастает0a

Условие устойчивостиУсловие устойчивости 0C B C A

Момент инерции относительно оси Момент инерции относительно оси zz не должен быть средним не должен быть средним

21

120

d pap

dt

2C B C Aa R

AB

2c

2a 2b

2 21

3I M b c 2 21

3I M b a 2 21

3I M c a

неустойчивнеустойчив

11. Движение динамически симмет-ричного тела в случае Эйлера

Тело называется Тело называется динамически симметричнымдинамически симметричным, если два его главных момента , если два его главных момента инерции для точки инерции для точки ОО равны, например равны, например А = ВА = В. Ось . Ось Oz Oz тогда называется тогда называется осьюдинамической симметрии..

Неподвижную систему координат Неподвижную систему координат OXYZOXYZ выберем так, выберем так, чтобы ее ось чтобы ее ось OZOZ была направлена по вектору была направлена по вектору КК00. Для . Для

проекций вектора проекций вектора КК00 на оси на оси OxyzOxyz, имеем: , имеем:

sin sinOx OK Ap K sin cosOy OK Aq K

cosOz OK Cr K 00 =constCr B A pq r r

0 const

0sin sinp

0 0cosr КСКС

2

=const

/ constOK A

1= угловая скорость прецессииугловая скорость прецессииугловая скорость угловая скорость собственного вращениясобственного вращения

напоминаниенапоминание

Oz OZ

ON

Тело вращается с угловой скоростью вокруг своей Тело вращается с угловой скоростью вокруг своей оси симметрии, а ось симметрии вращается с угловой оси симметрии, а ось симметрии вращается с угловой скоростью вокруг вектора скоростью вокруг вектора

1

2 OK

0sin sinp 0sin cosq КСКС

12. Регулярная прецессияДвижение твердого тела вокруг неподвижной Движение твердого тела вокруг неподвижной точки, состоящее из его вращения вокруг оси, точки, состоящее из его вращения вокруг оси, неизменно связанной с телом, и движения, при неизменно связанной с телом, и движения, при котором эта ось вращается вокруг пересекающей ее котором эта ось вращается вокруг пересекающей ее оси, неподвижной в рассматриваемой системе оси, неподвижной в рассматриваемой системе отсчета, называют отсчета, называют прецессиейпрецессией. Прецессия . Прецессия называется называется регулярнойрегулярной, если вращение тела вокруг , если вращение тела вокруг неизменно связанной с ним оси и вращение самой неизменно связанной с ним оси и вращение самой этой оси происходят с постоянными по модулю этой оси происходят с постоянными по модулю угловыми скоростями. угловыми скоростями.

Динамически симметричное тело в случае Эйлера Динамически симметричное тело в случае Эйлера совершает регулярную прецессиюсовершает регулярную прецессию

Z

OK

z2

1=

0

13. Первые интегралы в случае Эйлера

2 2 2const constO O O OX OY OZK K K K K K

Ap

Длина вектора (в отличие от координат) не зависит от системы отсчетаДлина вектора (в отличие от координат) не зависит от системы отсчета

2 2 2 constO Ox Oy OyK K K K 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 constO Ox Oy OyK K K K A p B q C r

2 2 2 0A pp B qq C rr CrBq 0Bq A C rp

0Cr B A pq

0Ap C B qr pq

r

0App Bqq Crr

2 2 2 const

2

Ap Bq Cr

T

Другой способ: воспользоваться теоремой о сохранении энергииДругой способ: воспользоваться теоремой о сохранении энергии