(一)

等腰三角形的性质与判定 1. 性质

(1) ：等腰三角形的两个底角相等。(2) ：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。2. 判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。等腰三角形 :

1 , 三个角都相等的三角形是等边三角形。 2 , 有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角形。 3 , 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30° ，那么它所对的直角边等于斜边的一半

( 一 )

等腰三角形性质与判定的应用（ 1 ）计算角的度数　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数，求其它角的度数②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）

（ 2 ）证明线段或角相等

以等腰三角形为条件时的常用辅助线 : 如图：若 AB=AC ① 作 AD BC⊥ 于 D ，必有结论 : 1= 2∠ ∠ ，

BD=DC ② 若 BD=DC ，连结 AD ，必有结论：∠ 1

= 2∠ ， AD BC⊥ ③ 作 AD 平分∠ BAC 必有结论： AD BC⊥ ，

BD=DC 作辅助线时，一定要作满足其中一个性质

的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作 AD BC⊥ ，使∠ 1= 2.∠

A

B CD

1 2

例 1 已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……

已知：线段 a、 h求作：△ ABC ，使 AB=AC=a，高 AD=h作法：1 、作 PQ MN⊥ ，垂足为 D2 、在 DM 上截取 DA=h3 、以点 A 为圆心，以 a为半径作弧，交PQ 于点 B 、 C4 、连结 AB 、 AC则△ ABC 为所求的三角形。

A

B CD

ah

A

B CD

M

N

h

a

P Q

例 2. 如图，已知在△ ABC 中， AB=AC ， BD AC⊥ 于 D ，CE AB⊥ 于 E ， BD 与 CE 相交于 M 点。求证： BM=CM 。

证明：∵ AB=AC ∴∠ABC= ACB∠ （等边对等

角） ∴BD AC⊥ 于 D ， CE AB⊥ 于

E ∴∠BEC= CDB=90°∠ ∴∠1+ ACB=90°∠ ，∠ 2+ A∠

BC=90° （直角三角形两个锐角互余）

∴∠1= 2∠ （等角的余角相等） ∴BM=CM （等角对等边）

A

B C

D

1 2

E M

说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。

例 3. 已知：如图，∠ A=90° ，∠ B=15° ， BD=DC.请说明 AC=BD 的理由 .

解∵ BD=DC ，∠ B=15° ∴∠DCB= B=15°∠ （等角对等

边） ∴∠ADC= B+ DCB=30°∠ ∠ （三角形的外角等于和它不相邻的

两个内角的和）

∵∠A=90°

∴AC= DC

∴AC= BD

2

1

2

1

A

B C

D

例 4. 已知：如图，∠ C=90° ， BC=AC ， D 、 E 分别在 BC 和 AC 上，且 BD=CE ， M 是 AB 的中点 .求证：△ MDE 是等腰三角形 .

分析：要证△ MDE 是等腰三角形，只需证 MD=ME 。连结CM ，可利用△ BMD CME≌△ 得到结果。证明：连结 CM

∵∠C=90° ， BC=AC∴∠A= B=45°∠∵M 是 AB 的中点∴CM 平分∠ BCA （等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE= MCB= BCA=45°∠ ∠∴∠B= MCE= MCB∠ ∠∴CM=MB （等角对等边）在△ BDE 和△ CEM 中∴△BDM CEM≌△ （ SAS ）∴MD=ME∴△MDE 是等腰三角形

CMBM

MCEB

CEBD

A

B

C

D

E

M

例 5. 如图，在等边△ ABC 中， AF=BD=CE ，请说明△ DEF 也是等边三角形的理由 .

解：∵△ ABC 是等边三角形 ∴AC=BC ，∠ A= C∠ ∵CE=BD ∴BC － BC=AC － CE ∴CD=AE 在△ AEF 和△ CDE 中

∴△AEF CDE≌△ （ SAS ） ∴EF=DE 同理可证 EF=DF ∴EF=DE=DF ∴△DEF 是等边三角形

CEAF

CA

CDAE

A

B CD

E

F

说明：证明等边三角形有三种思路：① 证明三边相等 ②证明三角相等③证明三角形是有一个角为 60° 的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。

　例 6 . 如图 2-8-1, 中， AB=AC ， D 为 AB 上一点， E 为AC 延长线上一点，且 BD=CE ， DE 交 BC 于 G请说明 DG=EG 的理由 .

思路 因为△ GDB 和△ GEC 不全等，所以考虑在△ GDB内作出一个与△ GEC 全等的三角形。

说明 本题易明显得出 DG 和 EG 所在的△ DBG 和△ ECG 不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过 E 作 EF BD∥ ，交 BC 的延长线于 F ，证明△ DBG EFG≌△ ，同学们不妨试一试。

例 7. 如图 2-8-6 ，在△ ABC 中， AB=AC=CB ， AE=CD ， AD 、 BE 相交于 P ， BQ AD⊥ 于 Q. 请说明 BP=2PQ 的理由 .

思路 在 Rt BPQ△ 中，本题的结论等价于证明∠ PBQ=30°

　证明 ∵ AB=CA ，∠ BAE= ACD=60°∠ ，AE=CD ，　　∴△ BAE ACD≌△　　∴∠ ABE= CAD∠　　∴∠ BPQ= ABE+ BAP∠ ∠　　 = CAD+ BAP=60°∠ ∠　　又∵ BQ AD⊥　　∴∠ PBQ=30°　　∴ BP=2PQ

说明 本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。

例 8 ：如图、在△ ABC 中， D ， E 在

直线 BC 上，且 AB=BC=AC=CE=BD ，

求∠ EAC 的度数。

探索：如图、在△ ABC 中， D ， E在直线 BC 上，且 AB=AC=CE=BD ，∠DAE=100° ，求∠ EAC 的度数。

D ECB

A

D ECB

A

1. 下列结论叙述正确的个数为（ ） （ 1 ）等腰三角形高、中 线、角平分线重合； （ 2 ）等腰三角形两底角 的外角相等； （ 3 ）等腰三角形有且只有一条对称轴； （ 4 ）有一个角等于 60° 的等腰三角形是等边三角

形。 （ A ） 0 个 （ B ） 1 个 （ C ） 2 个

（ D ） 3 个

2. 等腰三角形顶角为 36° ，底角为 _________ 。3. 等腰三角形顶角和一个底角之和为 100° ，则顶角

度数为 _____________ 。4. 等腰三角形两个角之比为 4:1 ，则顶角为 ______

____ ，底角为 ___________ 。5. 等腰三角形两边长为 4 、 6 ，这个三角形周长为

_____________ 。6. 已知△ ABC 中 AB=AC ， AB 垂直平分线交 AC

于 E ，交 AB 于 D ，连结 BE ，若∠ A=50° ，∠ EBC=__________ 。

7. ABC△ 中， AB=AC ， AD BC⊥ 于 D ，若△ ABC的周长为 50 ，△ ABD 的周长为 40 ，则 AD=____________ 。

8. 若等腰三角形顶角为 n度，则腰上的高与底边的夹角为 _____________ 。

　 9.　如图，线段 OD的一个端点 O在直线 a上，以 OD 为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线 a上，这样的等腰三角形能画多少个 ?

Ｏ

Ｄ

150°⌒

Ｃ aＥ ＦＨ

9. 已知等腰三角形一腰上的中线将三角形周长分成２：１两部分，已知三角形底边长为５，求腰长？

解：如图，令 CD＝ x，则 AD＝x， AB＝ 2x

∵ 底边 BC＝ 5

∴BC＋ CD＝ 5＋ x

AB＋ AD＝ 3x∴(5+x) ： 3x＝ 2:1

　或 3x： (5+x)=2:1

Ａ

Ｂ Ｃ

Ｄx

x

2x

5

10 、如图， D是正△ ABC 边 AC 上的中点，E是 BC 延长线上一点，且 CE=CD ，诬蔑说明 BD=DE 的理由 .

A

B C E

D

12

解 :∵ △ABC 是正三角形 ∴ ∠ABC= ∠ACB=600

（ ） ∵ D 是 AC 边上的中点

∴∠1= ∠ABC=300 （ ）1

2∵CE=CD∴∠2= ∠E （ ）∵ ∠2+ ∠E= ∠ACB=600 （ ）∴ ∠E=300 ， ∴ ∠ 1= ∠E∴BD=DE （ ）

3 、如图，在 Rt△ABC 中，∠ ACB=900 ， ∠ CAB 的平分线 AD 交 BC 于 D ， AB 边上的高线 CE 交 AB 于 E ，交 AD 于 F ，求证： CD=CF B

AC

ED1 2

3

F

分析：CD=CF

∠1= 2∠

∠1=∠B+∠BAD

∠2= 3+∠ ∠DAC

∠3=∠B

∠1=90°－∠ BAD

∠２ =90°－∠ CAD

∠ACB =90°， CE 是 AC 边上高

小结 1、等腰三角形的有关概念。 2 、等腰三角形的识别。 3 、应用等腰三角形的性质定理和三线合一性质解决有关问题。

4 、通过习题，能总结代数法求几何角的大小、线段长度的方法。

课本第 51 页 ( 目标与评定 )