? לחונך שקופית במצגת מהמעגל חסום במשולש

28מספר שקופיות:

– רקע-תכונות חוצה זווית 2שקופית – רקע- פגישת חוצה זווית במשולש 3שקופית

– מעגל חסום במשולש –הגדרה 4שקופית

ומושגים – קשרים שכדאי לזכור5שקופית בעיות עם רמזים לפתרון -3 – 6- 14שקופיות

להפנמת הנושא – מעגל חסום במשולש ישר זווית15- 16שקופיות – מעגל חסום במשולש ש''ש17שקופית – מעגל חסום במשולש שווה צלעות18שקופית

עם רמזים לפתרון4 – בעיה 19- 22שקופיות עם רמזים לפתרון5 – בעיה 23- 29שקופיות

לשים לב! המשכי חוצי הזווית הם לא נקודות ההשקה: דגשים חשובים

כל נקודה שנמצאת על חוצה הזווית, משפט:

נמצאת במרחקים שווים משוקי הזווית

AK חוצה זווית BAC

= KAC = BAK

D נקודה על – AK

AC DF , AB DM

DF = DM

B

A C

K

D

F

M

ADM ADF ) .ז.צ.ז (

AF =AMמהחפיפה נקבל גם ש-

נמצאת על חוצה נמצאת במרחקים שווים משוקי זווית , כל נקודה ש משפט הפוך: AC DF , AB DM , DF = DMהזווית

= KAC = BAK

B

A C

K

D

F

M

ADM ADF ) .צ.צ.ז ( 2

מסקנה מהמשפט הישר וההפוך :

שלושת חוצי הזוויות במשולש נפגשים בנקודה אחת משפט:

B

O

A

C

K

FM1

11 2

2

2

O נקודת פגישת חוצי הזוויות של המשולש – ABC

2 = A 1 A , 2 = B 1 B , 2 = C 1 C

AC OM , AB OF , BC OK

AOM AOF .צ.ז.צ

BOK BOF .צ.ז.צ

COM COK .צ.ז.צ

OF = OK = OM

נקודת פגישת חוצי הזוויות במשולש תמיד תהיה בתוך

המשולש

3

4

הגדרה:

– המעגל ששלושת צלעותיו של משולש נתון מעגל חסום במשולשמשיקות לו

יש מעגל חסוםלכל משולש

הם משיקים של המשולש הצלעות

של המעגל.

זוויות חיצוניות הן זוויות המשולש

של המעגל

מרכז המעגל החסום תמיד בתוךהמשולש

: מרכז המעגל החסום משולש הוא מפגש חוצי זוויות המשולש.משפט

) נקודת פגישת חוצי הזווית נמצאת במרחק שווה מצלעות המשולש

( OM = OK = OFרדיוס המעגל החסום , המרחק -

A

B C

O

K

FM

A

B C

O

K

FM1

11 2

2

2

קשרים שכדאי לשים לב אליהם:

O מרכז המעגל החסום במשולש – ABC

F, נקודת ההשקה של צלע – ABעם המעגל

M נקודת ההשקה של צלע – ACעם המעגל

K נקודת ההשקה של צלע –BCעם המעגל

AC OM , AB OF , BC OKרדיוס מאונך למשיק -

OF= OK = OM - רדיוסים במעגל החסום

AO חוצה זווית - A

BO חוצה זווית - B

CO חוצה זווית - C

הם BFOK , AFOM , CMOKהמרובעים:

דלתוניםO BF = BK – נקודה שיוצאים ממנה שני משיקים למעגל Bלמשל, קודקוד

5

,מצא את מרכז המעגל החסום ABCנתון משולש במשולש ואת נקודות ההשקה

A

B

C

1בעיה

6

,מצא את מרכז המעגל החסום ABCנתון משולש במשולש

A

B

C

OK F

חוצי זוויות . AF ו- CKנעביר

מחיתוך חוצי הזווית מתקבל מרכז המעגל החסום.

סמן את נקודות ההשקה

– רמזים 1בעיה לפתרון

7

,מצא את מרכז המעגל החסום במשולש ואת נק' ABCנתון משולש ההשקה

A

B

C

OK F

הן נקודות ההשקהF ו-Kטעות נפוצה !! שהנקודות

לצלעות – יתקבלו נקודות ההשקהגבהים נוריד Oמנקודה P ,M , G

P

M

G

– פתרון 1בעיה

8

A

B C

O

K

FM

ABC חסום במשולש Oמעגל

F , M , Kנקודות ההשקה

BC ס''מ = 20נתון:

BF ס''מ = 8

AM ס''מ = 5

ABCחשבו את אורכי צלעות המשול ש

2בעיה

שרטוט לדיון בשיקופית הבאה

9

A

B C

O

K

FM

ABC חסום במשולש Oמעגל

F , M , Kנקודות ההשקה

BC ס''מ = 20: נתון

BF ס''מ = 8

AM ס''מ = 5

AB , AC ,BC: חשב

- שרטוט 2בעיה לדיון

8

5

20

10

A

B C

O

K

FM

ABC חסום במשולש Oמעגל

F , M , Kנקודות ההשקה

BC ס''מ = 20נתון:

BF ס''מ = 8

AM ס''מ = 5

ABCחשבו את אורכי צלעות המשול ש

- פתרון2בעיה

8

5

20

5

8 12

12

הפתרון בשרטוט

שווים מנקודה יוצאים שני משיקים למעגל זכרו את המשפט:

11

A

B C

O

K

FM

21

, באמצעות O 12תארו את זווית ,

O מרכז המעגל החסום במשולש ABC

3בעיה

12

A

B C

O

K

FM

21

, באמצעות O 12תארו את זווית ,

O מרכז המעגל החסום במשולש ABC

– רמזים לפתרון3בעיה

נסתכל על משולש BOC

) + ( - 180 = 12 O

180 = 2 + 2+ 2 -סכום זוויות ב – ABC

90 = + + - 90 = +

+ 90 = ) - 90 ( - 180 = ) + ( - 180 = 12 O

13

A

B C

O

K

FM

21

O מרכז המעגל החסום במשולש ABC

– מסקנה3בעיה

A ½ + 90 = 12 O

12יתרון הצגה זו ,היא מתארת את זווית O

בלבדAבאמצעות זווית

14

15

מעגל חסום במשולש ישר זווית

A

BC

O

K

F

Mסמנו את הגדלים השווים בשרטוט

) ABC º ( 90 = C חסום במשולש ישר זווית Oמעגל

M , F , Kנקודות ההשקה

FOKCמה תוכלו לומר על מרובע

16

מעגל חסום במשולש ישר זווית - מסקנות

ABC נתון :

º 90 = C

ABC חסום במשולש Oמעגל

M , F , Kנקודות ההשקה

הוא FOKCה מרובע

מלבן כל זוויותיו ישרות

ריבוע זוג צלעות סמוכות שוות) רדיוסים(

A

BC

O

K

F

M

12

45 = 1 C = 2 Cמתקיים גם :

17

מעגל חסום במשולש שווה שוקיים

ABC נתון :

AC = AB

ABC חסום במשולש Oמעגל

M , F , Kנקודות ההשקה

A

B C

O

K

F M

מרכז המעגל החסוםOנמצא על הגובה לבסיס

( נקודת ההשקה נמצאת באמצע הבסיס K)

הנקודות A , O , Kנמצאות על ישר אחד –הגובה לבסיס

18

מעגל חסום במשולש שווה צלעות

ABC נתון :

AC = AB=BC

ABC חסום במשולש Oמעגל

M , F , Kנקודות ההשקה

מרכז המעגל החסוםO הוא פגישת חוצי הזוויות

) שנקודה זו היא גם פגישת האנכים האמצעיים גם פגישת הגבהים

וגם פגישת התיכונים(

המשכי חוצי הזוויות הן נקודות ההשקה

הנקודה Oהיא גם מרכז המעגל החוסם את המשולש

1 / 3)למי שלמד על נקודת פגישת התיכונים: רדיוס המעגל החסום הוא מהגובה

A

B C

O

K

F M

19

4בעיה

.O חסום מעגל ABCבתוך משולש

K , ו- F , Mנקודות ההשקה הן

80 = A , 30 = Cנתון:

FMK חשב את זוויות המשולש

שרטוט לדיון בשיקופית הבאה

A

B C

O

K

FM

20

– שרטוט לדיון 4בעיה

.O חסום מעגל ABCבתוך משולש

K , ו- F , Mנקודות ההשקה הן

80 = A , 30 = Cנתון:

FMK חשב את זוויות המשולש

A

B C

O

K

FM

30

80

1

1

12

2

2

33

3

21

– רמזים לפתרון – דרך 4בעיה א'

.O חסום מעגל ABCבתוך משולש

K , ו- F , Mנקודות ההשקה הן

80 = A , 30 = Cנתון:

FMK חשב את זוויות המשולש

A

B C

O

K

FM

30

80

70 55

55

75

75

5050

70 = B -משלימה ל - 180 במשולש ABC

משולשים BFK , MKC , AFM משולשים שווה שוקיים -

:מחישובי זוויות נקבל ש 55 = 2 M , 75 = 2 F , 50= 2 K

22

2

22

– רמזים לפתרון – דרך 4בעיה ב'

.O חסום מעגל ABCבתוך משולש

K , ו- F , Mנקודות ההשקה הן

80 = A , 30 = Cנתון:

FMK חשב את זוויות המשולש

A

B C

O

K

FM

30

80

75

75

5050

,משולשים MKC , AFM משולשים שווה שוקיים ,נשלים את זוויות - הבסיס

75 = 2 F = 3 Kזווית בין משיק ומיתר -

50 = 2 K = 3 Mזווית בין משיק ומיתר -

55 = 2 M - במשולש 180 - משלימה ל FMK

22

2

23

5בעיה

A

B

C

O

K

F

M

.Oנתון מעגל

ו – AB השוויםהמשכי המיתרים CF

Kנפגשים בנקודה

KO חותך את המעגל בנקודה M.

היא מרכז M הנקודה הוכח: AKFהמעגל החסום במשולש

שרטוט לדיון בשיקופית הבאה

24

1 – שרטוט לדיון 5בעיה

.O מעגל נתון:

AB = CF

היא מרכז המעגל M הנקודה צ.ל. :

AKF החסום במשולש צריכה להיות פגישת חוצי Mהדרכה:

הזוויות

, K = 1 K , 2 A = 1 A 2צ.ל. :

A

B

C

O

K

F

M2

1

12

25

2 – שרטוט לדיון 5בעיה

.O מעגל נתון:

AB = CF

היא מרכז המעגל M הנקודה צ.ל. :

AKF החסום במשולש נתרכז רק ב:

K = 1 K 2צ.ל. :

A

B

C

O

K

F

M2

1

26

– רמזים לפתרון5בעיה

.O מעגל נתון:

AB = CF

היא מרכז המעגל M הנקודה צ.ל. :

נתרכז רק ב: AKF החסום במשולש

K = 1 K 2צ.ל. :

A

B

C

O

K

F

M2

1

CF OP , AB OT : מרחקים למיתרים : בנית עזר

P

T

AB = CF OP = OTלמיתרים שווים מרחקים שווים מהמרכז -

OPK OTK .משפ' חפיפה רביעי צ.צ.ז -

2 K = 1 K ).מהחפיפה ) ז.מ.ב.ח -

27

3 – שרטוט לדיון 5בעיה

.O מעגל נתון:

AB = CF

היא מרכז המעגל M הנקודה צ.ל. :

AKF החסום במשולש צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות Mהדרכה:

, A = 1 A 2נתרכז ב: צ.ל. :

) ואז הזויות ההיקפיות תהיינה שוות (BFאמצע הקשת Mצ.ל. :

צ.להראות שהזוויות המרכזיות הנשענות על קשתות אלה שוות

נעבור לשרטוט נח יותר...

A

B

C

O

K

F

M2

1

12

28

3 – שרטוט לדיון 5בעיה

.O מעגל נתון:

AB = CF

היא מרכז המעגל M הנקודה צ.ל. :

AKF החסום במשולש צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות Mהדרכה:

O = 1 O 2 צ.ל. : A = 1 A , 2נתרכז ב: צ.ל. :

A

B

C

O

K

F

M2

1

1 2

P

T

29

– רמזים לפתרון -5בעיה .O מעגל נתון: המשך

AB = CF

היא מרכז המעגל M הנקודה צ.ל. :

AKF החסום במשולש צריכה להיות פגישת חוצי הזוויות Mהדרכה:

O = 1 O 2 צ.ל. : A = 1 A , 2נתרכז ב: צ.ל. :

A

B

C

O

K

F

M2

1

1 2

P

T

OPK OTK .משפ' חפיפה רביעי צ.צ.ז -

OPF OTB – משפ' חפיפה שלישי צ.צ.צ. ) חצאי מיתרים שווים - שווים (

2 O = 1 O הפרשי זוויות שוות - חוצה זווית K AM חוצה זווית KMלסכום: הראנו ש-

A

AFK – מרכז מעגל החסום במשולש M ולכן