管理运筹学 - 管理科学方法

中国人民大学出版社

谢家平 编著

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第第 1111 章 库存管理章 库存管理

Sub titleSub title学习要点学习要点

正确理解库存系统、库存策略和库存费用 经济订货批量和经济生产批量的适用前提 允许缺货或价格折扣的经济订货批量问题 报童模型与多周期库存模型的应用前提 需求不确定下设置安全库存的目的和方法

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第一节 库存的相关概念

一、库存系统

即存储物的库存数量水平，反映存储物随时间推移而发生的数量变化，库存量随需求过程而减少，又随供应过程而增加

需求是不可控制的外生变量，表现形式：有的需求是连续的，有的是间断的；有的需求是确定的，有的是随机的

补充 (供应 )是库存的输入，补充的形式可以是对外订货，也可以是自行生产。从提出订货到货物进入库存状态所需的时间称为进货延迟。

库存状态

需求过程

补充过程

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第一节 库存的相关概念

• 相关需求库存是指物品的需求之间具有内在的相关性。 • 独立需求库存是指物品的需求不依赖于其它物品，而是直接来源于企业外部的需求。

独立需求与相关需求库存二、库存类型

确定性库存与随机性库存•确定性库存是指供应过程和需求过程都是确定性的•随机性库存是指供应过程的交货提前期或者需求过程

的需求数量是不确定性的，服从于一定的概率分布。

单周期与多周期需求库存•单周期库存是指易腐品以及短寿命产品的存储。•多周期需求库存则指在足够长的时间里对某种物品

的重复而连续的需求，其库存需要不断地补充。

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第一节 库存的相关概念

三、库存策略

订货批

量周转库存

最高库存

库存量

时间安全库存

订货间隔期订货提前期

订货点

库存控制参数

订货间隔期、订货点和订货批量等参数的不同组合称为库存策略。

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第一节 库存的相关概念

三、库存策略

(s,Q) 策略是指事先设定订货点，连续性检查库存量，在每次出库时，均盘点剩余量，检查库存量是否低于预先设定的订货点。

这是定量订货控制策略 (Perpetual Inventory Control)

1. (s,Q) 策略

2. (t,S) 策略(t,s) 策略是指补充过程是每隔时间补充一次，每次补充到目标库

存水平。这是定期库存控制策略 (Periodic Inventory Control) 。3. (s,S) 策略

事先设定最低（订货点 s ）和最高（目标库存水平 S ）库存标准，随时检查库存量。这是最大最小系统。

4. (t,s,S) 策略此策略是策略 2 和策略 3 的结合，即每隔时间检查库存量一

次，当库存量小于等于订货点时就发出订货。

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第一节 库存的相关概念

四、库存费用

指货物在库存期间因储存和保管而发生的有关费用。具体包括仓库管理费、保险费、存货占用资金的利息，存储

物的损坏、变质、报废等库存风险费用。

1. 存储费

2. 存储费为订购货物所付出的手续费、旅差费、电信费等商务交易业

务的费用支出。

3. 缺货费这是指库存未能完全满足需求，出现供不应求时所引起的损

失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失、不能履行合同而支付的违约金以及商誉下降所造成的无形损失等。

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第二节 确定性库存模型

一、经济订货批量模型（ Economic Order Quantity ， EOQ ） 哈里斯（ F.W.Harris ） 1915 年提出

① 需求是已知而连续均匀的，需求率均匀且为常数；② 订货提前期为固定常量；③ 补货时间为零，即当库存降为零时，立即补充至定额水平；④ 每次订货批量相同；⑤ 每次订购费 ( 或装配费 )不变，与批量大小无关；⑥ 库存费用与库存量成正比，单位存储费不变；⑦ 无价格折扣，货物单价为不随批量而变化；⑧ 不允许缺货，缺货费用为无穷大。

2

t

0时间

库存

t

-

D

Q

假设：

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为求 的极小值，

由一阶条件：

解得经济订货批量

第二节 确定性库存模型

一、经济订货批量模型

( )C Q

2

10

2

dC D KH

dQ Q

* 2D KQ

H

令 为年订货次数， 为全年总需求量，易知 ，则年总费用为

1( )

2

DC Q Q H K c D

Q

/N D QN D

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10

第二节 确定性库存模型

一、经济订货批量模型

订购费

存储费

总费用费

经济订货批量

( )C Q

Q

库存费用与库存量之间的关系

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第二节 确定性库存模型

一、经济订货批量模型例：某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把，

每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元，每把刀的单价为 50元，每把滚刀的年库存费用是 3元，试计算其经济订货批量。若每年按 250个工作日计算，最优订货次数？

解：根据经济订货批量公式和已知条件，经济订货批量

把，

最优订货次数 次

* 2 2 1000 60

3

D KQ

H200

**

10005

200

DN

Q

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第二节 确定性库存模型

二、经济生产批量模型① 需求是已知而连续均匀的，需求率均匀且为常数；② 供给是已知而连续均匀的，供给率均匀且为常数；③ 每次生产批量相同；④ 每次生产准备费用不变，与批量大小无关；⑤ 库存费用与库存量成正比，单位存储费不变；⑥ 无价格折扣，单位产品生产成本为；⑦ 不允许缺货，缺货费用为无穷大。

假设：

t 2t0 T时间

库存

P DD

P

mI ax

Q

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第二节 确定性库存模型

二、经济生产批量模型

库存水平的最大值为 )1()(max P

DQDP

P

QI

年总库存费用为1

( ) ( )2

Q DC Q P D H K c D

P Q

由一阶条件 2

1(1 ) 0

2

dC D D KH

dQ P Q

解得经济生产批量 * 2D K PQ

H P D

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第二节 确定性库存模型

二、经济生产批量模型例 : 某汽车零部件厂为汽车售后市场提供发动机配件，每年

的这种配件的需求量为 90000个，按每年 360个工作日计算，平均日需求量为 250个。若该厂的日生产量为 500个，现知每次生产的准备费用为 1000元，每个配件的单价为 50元，每年每个配件的库存费用是 10元，试计算其经济生产批量。

解：根据经济生产批量公式和已知条件，经济生产批量

件 2 90000 1000 5006000

10 500 250

* 2

D K P

QH P D

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第二节 确定性库存模型

三、允许缺货的订货量

允许缺货的库存量变化状态

2t0时间

库存

t

-D

td

S

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第二节 确定性库存模型

三、允许缺货的订货量

单位时间总库存费用（库存费 + 缺货费 + 订货费）

为订货量 Q 和初始库存量 S 函数 :

2 21( , ) ( ) 2

2C Q S S H Q S L K D

Q

由一阶偏导数求得：

最大库存量： * 2D K LS

H H L

经济订货批量： * 2D K H LQ

H L

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第二节 确定性库存模型

三、允许缺货的订货量例：某汽车变速箱厂每年需要齿轮加工的专用滚刀 1000把，每次采购均按经济批量订货。现知每次的订货费用为 60元，每把滚刀的年库存费用是 3元，若每把刀的年缺货损失费为1元，试求最大库存量和最大缺货量？

解：最大库存量：

=100 * 2 2 1000 60 1

3 3 1

D K LS

H H L

* 2 2 1000 60 3 1

3 1

D K H LQ

H L

经济订货批量：

=400

最大缺货量 =400-100=300 * *Q S

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第二节 确定性库存模型

四、价格折扣的的订货量

两个折扣点的价格与费用变化关系

0

费用

采购量

订货费用

存储费用

库存总费用

1Q*Q 2Q

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第二节 确定性库存模型

四、价格折扣的的订货量

取最低点价格代入基本 ECQ 模型，求出 Q* 。如果 Q* 位于其价格区间，则即为最优订货批量。否则转步骤（ 2 ）

取次低价格代入基本 ECQ 模型并求出相应的 Q* 。如果 Q*可行，计算订货量为 Q* 时的总费用和所有大于 Q* 的数量折扣点所对应的总费用，取其中最小费用对应的数量，该数量即为最优订货批量，停止步骤。

若 Q* 不可行，则重复步骤（ 2 ），直至找到一个可行的最优订货批量为止。

计算步骤

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解：根据经济订货批量公式和已知条件，第一步，取最低价格8元，

第二节 确定性库存模型

四、价格折扣的的订货量例：某冰箱厂每年需要某种配件为 2000个。该配件的售价为：1～ 499个为 10元， 500～ 999个为 9元， 1000个以上为 8元。现知每次订货费用为 320元，每个配件每年的库存费用是为售价的 20% ，试计算其最优订货批量以及总费用？

8 0.2 1.6H

*8

2 2 2000 320894

1.6

DSQ

H

*8 894Q

由于 894 位于 500 ～ 999的区间，此时的售价是 9 元而不是 8 元。

不是可行解。

件

元。

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第二节 确定性库存模型

四、价格折扣的的订货量

是可行解。

9 0.2 1.8H

*9

2 2 2000 320843

1.8

DSQ

H

*9 843Q

1 2000(843) 843 1.8 320 2000 9 19517.89

2 843C

1 2000(1000) 1000 1.6 320 2000 8 17440

2 1000C

第二步，取次低价格9元， 元

由于 843 位于 500 ～ 999的区间，售价为 9 元，因此

由库存费用计算式可知：

元，

显然，总费用最低的订货批量为 1000 件，此时的总费用为 17440 元

件

元。

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理想目标是能够实现供求平衡，这样可以使得滞销损失和机会损失之和为最小。根据供求关系，存在如下两种情况：

当产品供过于求时，即订货量 Q 大于需求量 r ，此时因产品积压而导致滞销的数量为 Q-r ，滞销损失期望值为：

当产品供不应求时，即订货量 Q 小于需求量 r ，此时因缺货而导致少销售机会失去量为 r-Q ，机会损失期望值为：

总损失的期望值为

第三节 随机性库存模型

一、单周期库存模型

( ) ( ) ( )ur Q

C Q u Q r P r

( ) ( ) ( )vr Q

C Q v r Q P r

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )u vr Q r Q

C Q C Q C Q u Q r P r v r Q P r

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第三节 随机性库存模型

一、单周期库存模型

假设某产品的需求是不确定的，用随机变量 r表示需求量，每销售一件产品盈利 v元，如果未售出，则每件亏损 u元。产品销售需求量的概率 P(r) 可以根据历史销售记录统计而得。如果订货过多而供过于求，因过剩致使资金积压，会造成滞销损失；如果订货过少而供不应求，则出现缺货而失去盈利机会，造成机会损失。那么订货量为多少是期望利润值最大？

最优订货量应按下列不等式确定：

1

0 0

( ) ( )i ir r

r r

vP r P r

v u

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解：由已知条件可知 u=60 ， v=40 ，临界值

由表中的数据可知 ，最优进货量为 8筐。

第三节 随机性库存模型

一、单周期库存模型例：某水产批发店进一批大虾，每售出一筐可赢利 60元。如果

当天不能及时售出，必须削价处理。假如降价处理后全部售完，此时每一筐损失 40元。根据历史销售经验，市场每天需求的概率如下表所示。试求最优进货量。

(7) 0.45, (8) 0.8F F

60

60 40

v

v u

=0

.6

r( )P r

( )F r

需求量 （筐） ≤5 6 7 8 9 ≥10

概率 0.05 0.15 0.25 0.35 0.15 0.05

累积概率 0.05 0.2 0.45 0.8 0.95 1

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第三节 随机性库存模型

二、多周期库存模型此模型的假设条件为：采用 ( t , s , S) 策略需求随机且每个固定 t 周期内的需求量的概率分布 P(r) 可知。

令货物单位成本为 c ，每次订购费用为 K ，单位库存持有费用为 H ，单位缺货费用为 L

离散需求下总费用期望为进货费、库存费和缺货费之和

最优订货量按下列不等式确定：

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )r S r S

C S K c S I H S r P r L r S P r

1

( ) ( )i ir S r S

L cP r P r

L H

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第三节 随机性库存模型

二、多周期库存模型下面讨论一个周期 t后，库存数量 I达到什么水平时，可

以不需订货，假设这一库存水平是 s ，如何找到订货点 s呢 ?

显然， s 点不需订货时的总费用期望值 C(s) 为

订货补充库存为 S 点时的总费用期望值 C(S) 如下：

C(s) 和 C(S) 的关系必为 。 ( ) ( )C s C S

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r s r s

C s c s H s r P r L r s P r

( ) ( ) ( ) ( ) ( )r S r S

C S K c S H S r P r L r S P r

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第三节 随机性库存模型

二、多周期库存模型

例：某机械厂生产某种产品每月都不定量地需要螺钉，历史同期的每月需求量及其概率如下表。

每次订货费为 500 元；每千个螺钉一框，每框500元；每月每框的保管费用为 10 元，缺货费用为 2000 元。

试求订货点和目标库存水平；若 I=30 框，则月初进货多少为宜。

需求量( 框 )

30 40 50 60 70 80 90 100

概 率 0.05 0.10 0.10 0.15 0.25 0.2 0.1 0.05

累积概率 0.05 0.15 0.25 0.4 0.65 0.85 0.95 1

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第三节 随机性库存模型

二、多周期库存模型解：由题意和已知条件可知： k=500 元 / 次， c=500 元 / 框，H=10 元 / 框 / 月， L=2000 元 / 框 / 月。计算临界值 =0.67 ，由于累积概率 所以目标库存水平 =80 框。计算 =500+50080+10[(80-30)0.05+(80-40) 0.1+(80-50) 0.1+(80-60)0.15+(80-70)0.25]+2000[(80-80)0.2 +(90-80)0.1+(100-80)0.05]=241250 ，故月初进货框 80-30=50框，可使期望费用达到最小。 =50030+50[(30-30)0.05]+2000[(40-30)0.1+(50-30)0.1 +(60-30)0.15+(70-30)0.25+ (80-30)0.2+(90-30)0.1+(100 -30)0.05]=89000.因 < ，故知 s=30 。

1500 500

1500 10

L c

L H

(70) 0.65F (80) 0.85F

(80)C

(30)C

( 30)C s ( 80)C S

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第三节 随机性库存模型

三、安全库存的设置1、需求的变化程度如何表示安全库存既与变化方差有关，又与服务水平有关

不确定性下的库存关系

服务水平

0

平均库存概率

库存量

最大库存

安全库存

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30

第三节 随机性库存模型

三、安全库存的设置2、提前期的需求期望和方差

3、订货点与安全库存的测定

提前期内的需求可以看作数学期望为 、方差为 的正态分布，即

TL D2

T DL 2( , )

TL T T DD N L D L

需求和订货提前期都不确定

订货点 +

安全库存 2 2 2

TT D LZ L D

2 2 2

TT D LZ L D TL D